summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 17:53:31 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 17:53:31 +0200
commit9ebd0f147d09caf7427bd3cb30881162f9ca2db3 (patch)
tree2707a549e9b11fcebee9afc99aee33075083cb0c /chapitres
parent65fc33d9efeed4c8553e22294add8b7c9a0a28f1 (diff)
downloadgalois-9ebd0f147d09caf7427bd3cb30881162f9ca2db3.zip
galois-9ebd0f147d09caf7427bd3cb30881162f9ca2db3.tar.gz
galois-9ebd0f147d09caf7427bd3cb30881162f9ca2db3.tar.bz2
[Gröbner] Fonction et polynôme de Hilbert-Samuel d'un idéal affine.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex57
1 files changed, 57 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 72d67d2..24fb71e 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1254,6 +1254,63 @@ critère de comparaison, et en cas d'égalité comparer avec
$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.)
+\section{Idéaux de dimension $0$}
+
+\subsection{Fonction et polynôme de Hilbert-Samuel}
+
+\begin{definition2}
+Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. On appelle \emph{fonction
+ de Hilbert-Samuel affine} de $I$ la fonction qui à un entier
+naturel $\ell$ associe la dimension du $k$-espace vectoriel engendré
+par les classes modulo $I$ de monômes de degré total $\leq\ell$.
+\end{definition2}
+
+Lorsque $I$ est l'idéal nul, la fonction de Hilbert-Samuel affine
+de $I$ compte le nombre total de monômes de degré total $\leq\ell$
+en $d$ variables, autrement dit, le nombre de $d$-uplets d'entiers
+naturels de somme $\leq\ell$ : un raisonnement combinatoire classique
+(\XXX --- l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut
+$\frac{(\ell+d)!}{\ell!\,d!} =
+\frac{1}{d!}\ell(\ell-1)\cdots(\ell-d+1)$, qui est un polynôme de
+degré $d$ en $\ell$ et de terme dominant $\frac{1}{d!} \ell^d$.
+
+De façon plus générale, si $I$ est un idéal quelconque et
+$f_1,\ldots,f_r$ une base de Gröbner de $I$ dont on note $c_i s_i =
+\initial(f_i)$ le terme dominant (avec $s_i$ un monôme), la fonction
+de Hilbert-Samuel affine de $I$ compte (cf. par
+exemple \ref{algorithmes-fondamentaux-anneau-quotient}) le nombre de
+monômes de degré total $\leq\ell$ en $d$ variables qui ne sont
+divisibles par aucun des monômes $s_1,\ldots,s_r$, autrement dit, le
+nombre de $d$-uplets $(v_1,\ldots,v_d)$ d'entiers naturels de
+somme $\leq\ell$ tels que pour tout $1\leq i\leq r$ il existe $1\leq
+j\leq d$ avec $v_i < w_{ij}$, où on a noté $w_{ij}$ les exposants de
+$s_i$, soit $s_i = Z_1^{w_{i1}} \cdots Z_d^{w_{id}}$. Par un
+raisonnement purement combinatoire, on peut montrer :
+\begin{proposition2}\label{polynomialite-hilbert-samuel}
+Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Il existe un polynôme,
+prenant des valeurs entières sur tous les entiers, dont le terme
+dominant est de la forme $\frac{A}{\delta!} \ell^\delta$ avec
+$0\leq\delta\leq d$ et $A$ un entier naturel, et de plus $\delta=d$ si
+et seulement si $I=0$, qui coïncide pour $\ell$ assez grand avec la
+fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$.
+\end{proposition2}
+
+\XXX --- Le prouver ?
+
+\begin{definition2}
+Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Le polynôme (manifestement
+unique) coïncidant pour $\ell$ grand avec la fonction de
+Hilbert-Samuel affine de $I$, et dont l'existence est garantie par la
+proposition \ref{polynomialite-hilbert-samuel}, est appelé
+\emph{polynôme de Hilbert-Samuel affine} de $I$.
+
+Son degré $\delta$ est appelé \emph{dimension affine} de $I$, et
+l'entier naturel $A$ tel que le coefficient dominant soit
+$\frac{A}{\delta!} \ell^\delta$ est appelé \emph{degré} (affine en
+dimension $\delta$) de $I$.
+\end{definition2}
+
+
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}