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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-25 18:17:56 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-25 18:17:56 +0100
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[LG] suite préparatifs Fourier-Poisson adélique
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex258
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index 4c8dfa8..6785094 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -928,9 +928,11 @@ La conclusion en résulte aussitôt.
Soit $L\bo K$ une extension séparable non ramifiée [nette ?]
de corps locaux et soit $ψ$ un caractère de $K$.
Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
-du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$.
+du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. Plus généralement, […]
\end{proposition2}
+Cela devrait avoir un rapport avec Riemann-Hurwitz \XXX.
+
\begin{démo}
Trivial : cf. \ref{}.\XXX
\end{démo}
@@ -955,7 +957,9 @@ de \emph{Bruhat-Schwartz}.
%et variantes uniquement dans cas archimédien).
\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
-et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
+et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$\footnote{À
+ne pas confondre avec les $ψ_x$ considérés dans le cas global... \XXX}
+le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
@@ -969,8 +973,12 @@ en fait une somme \emph{finie}
∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\]
où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
localement constante à support compact $f ψ_x$.
-Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ est la transformation de Fourier usuelle — au choix de la
-normalisation près — de $f$ : $x ↦ ∫ f(t)\exp(-2i π tx) dt$.
+Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}$ est la
+transformation de Fourier usuelle, que nous noterons
+aussi $ℱ_𝐑$, % notation XXX
+\[
+f↦ (x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big).
+\]
\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
@@ -1785,21 +1793,17 @@ Mesures produits/colimites : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minim
\subsection{Adèles}
\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ_f(K)$ un ensemble \emph{cofini} de places finies.
-On note $A_K(U)$ l'anneau
+On note $K_𝐀(U)$ l'anneau
\[
∏_{v ∉ U} k_v × ∏_{v ∈ U} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.
\[
-A_K=\colim_S A_K(U).
+K_𝐀=\colim_S K_𝐀(U).
\]
Description de la topologie.
-\XXX Notation concurrente (peut-être préférable) : $K_𝐀$
-etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.)
-
-
\subsubsection{Mesure}
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
@@ -1816,13 +1820,13 @@ Trivial. cf. p. ex Saïtô p. 239.
\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
-Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme,
+Alors $K_𝐀⊗_K L → L_𝐀$ est un isomorphisme,
envoyant $K$ sur $L$.
-Le morphisme $𝐀_K → 𝐀_L$ correspondant
+Le morphisme $K_𝐀 → L_𝐀$ correspondant
est $(a_x)↦ (b_y)$ où pour $y↦ x$, $b_y=a_x$
-et $A_K^n ⥲ A_L$ étend $K^n ⥲ L$ etc. \XXX
-Dans le cas étale, toute forme $𝐀_K$-linéaire
-$𝐀_L → 𝐀_K$ est de la forme $\Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_K} ∘ [× a]$.
+et $K_𝐀^n ⥲ L_𝐀$ étend $K^n ⥲ L$ etc. \XXX
+Dans le cas étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
+$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
\end{proposition2}
(Pas d'hypothèse de séparabilité.)
@@ -1830,9 +1834,9 @@ $𝐀_L → 𝐀_K$ est de la forme $\Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_K} ∘ [× a]$.
\begin{théorème2}
\label{cocompacité}
\begin{enumerate}
-\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
+\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
-dans $A_K$ est discrète et le quotient $A_K / K$ est compact.
+dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
\item Si $U ⊆ P_K$ est cofini et contient $P_K^∞$, l'inclusion canonique
$𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$, où $𝒪_S$ est muni de la topologie discrète, est
continu et est un quasi-isomorphisme.
@@ -1876,21 +1880,22 @@ compact ou commutatif}).
\subsection{Idèles}
-\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$ ; $I_K¹$ ; $C_K=I_K/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
+\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $K^×_𝐀$ ; $I_K¹$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
$I^∞_K=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
-☡ $C_K$ n'est *pas* compact.
+☡ $C_K$ n'est *pas* compact. \XXX Utiliser d'autres notations :
+$K^×_𝐀$ etc.
-☡ La topologie de $I_K$ est n'est pas topologie induite par
-l'inclusion $I_K ⊆ A_K$. Par exemple ([Saitô]p241),
-la suite d'éléments $x_n$ de $I_𝐐$ dont les coordonnées
+☡ La topologie de $K^×_𝐀$ est n'est pas topologie induite par
+l'inclusion $K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$. Par exemple ([Saitô]p241),
+la suite d'éléments $x_n$ de $𝐐^×_𝐀$ dont les coordonnées
sont $1$ en la place réelle et $n!+1$ ailleurs tend
-vers $1$ dans $A_𝐐$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
+vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
Variante : considérer les idèles $x_p$ ($p$ variable) valant $p$ en $p$ et $1$ ailleurs.
\begin{proposition2}
\label{topologies induites coïncident}
Les topologies induites sur $I¹_K$ par les inclusions
-$I¹_K ⊆ I_K$ et $I¹_K ⊆ A_K$ coïncident. Plus précisément, …
+$I¹_K ⊆ K^×_𝐀$ et $I¹_K ⊆ K_𝐀$ coïncident. Plus précisément, …
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -1911,11 +1916,11 @@ l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nul
\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). [Saitô] p. 236.
-(i). $K^×$ est discret dans $I¹_K$ car $K$ est discret dans $A_K$ et
+(i). $K^×$ est discret dans $I¹_K$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et
la topologie de $I¹_K$ induite
-$A^×_K ⊆ A_K$ est continu. Il « suffit » de montrer
-que $μ(I_K/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
-de $A_K/K$ et le lemme \ref{topologies induites coïncident}.
+$A^×_K ⊆ K_𝐀$ est continu. Il « suffit » de montrer
+que $μ(K^×_𝐀/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
+de $K_𝐀/K$ et le lemme \ref{topologies induites coïncident}.
Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration
repose sur RR.
\end{démo}
@@ -2151,7 +2156,7 @@ On a la formule des résidus suivante.
C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin.
\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
-Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
+Comme $K^×_𝐀/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
isomorphisme canonique
\[
C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K
@@ -2239,8 +2244,8 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsection{Transformée de Fourier}
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
-\label{Bruhat-Schwart adélique}
-On note $𝒮(A_K)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
+\label{Bruhat-Schwartz adélique}
+On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
externes restreints $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$, où chaque
fonction $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}) % mettre des \bigboxtimes
@@ -2264,7 +2269,7 @@ $⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^u
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
D'après \ref{densité K dans AKS}, il existe $a ∈ K$
tel que $a-a_x ∈ 𝒪_x$ pour chaque $x ∈ Σ(K)$.
-Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(A_K)$ est combinaison
+Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^a ⊠ f^u$, où $f^u$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
@@ -2280,19 +2285,19 @@ a=(a_p)↦ ∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{x_p\}_p -x_∞)
\]
est bien défini — car $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$, de sorte que pour chaque
adèle $a$ le produit ci-dessus est à support fini — et induit
-un caractère additif de $𝐀_𝐐$, trivial sur $𝐐$ par la formule
+un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).
-Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐀_𝐐 → \chap{𝐀_𝐐}$
+Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐐_𝐀 → \chap{𝐐_𝐀}$
est un \emph{isomorphisme} et $𝐐$ est orthogonal à lui-même :
-un élément $a$ de $A_𝐐$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
+un élément $a$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
$ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b∈𝐐$, c'est-à-dire si et seulement si la
restriction de $[×a]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
En effet, on a :
— injectivité car si $ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b
-∈ 𝐀_𝐐$, on a $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐((…,0,a_p b_p,0,…))=1$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$, tout $b_p ∈ 𝐐_p$
+∈ 𝐐_𝐀$, on a $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐((…,0,a_p b_p,0,…))=1$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$, tout $b_p ∈ 𝐐_p$
et, d'après \ref{dual corps local}, ceci entraîne $a_p=0$ ;
— surjectivité car tout caractère est de la forme
@@ -2303,7 +2308,7 @@ de groupes compacts est trivial sur presque tous les
facteurs. \XXX}, et chaque $ψ_p$ est, d'après \emph{loc. cit.},
de la forme $[× a_p]^* e_p$ ;
-— si $a ∈ 𝐐^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐐 : ψ_𝐐(b 𝐐)=\{1\}\}$,
+— si $a ∈ 𝐐^⊥ =\{b ∈ 𝐐_𝐀 : ψ_𝐐(b 𝐐)=\{1\}\}$,
on peut écrire $a=λ + c$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
diagonalement) et $c=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
(\ref{cocompacité}). Naturellement,
@@ -2311,11 +2316,11 @@ $c ∈ 𝐐^⊥$. (L'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
vectoriel des adèles.). On a
$1=ψ_𝐐(c)=𝐞_{∞}(-c_∞)$ et finalement $c_∞=0$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
-(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐀_𝐐$ tout entier. Ainsi, $c=0$
+(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐐_𝐀$ tout entier. Ainsi, $c=0$
et $a ∈ 𝐐$\footnote{En utilisant un peu la théorie
de la dualité, on pourrait montrer que le quotient
$𝐐^⊥ \bo 𝐐$ est discret. Comme il est compact,
-car $𝐀_𝐐 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
+car $𝐐_𝐀 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]
% ici : méthode de Weil, BNT p. 67.
@@ -2323,19 +2328,20 @@ car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]
Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$.
Notons enfin $ψ_∞$ le caractère additif du corps
-local $𝐤_∞$ construit en \ref{exemples caractères additifs
+local $𝐤_∞$, construit en \ref{exemples caractères additifs
locaux} : si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$,
$c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
\[
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
-On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ : le niveau
+Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
+$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ : le niveau
de $ψ_∞$ est égal à $1$.
Le caractère composé $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝒪_{𝐤_∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
se factorise à travers la surjection $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝐀_𝐤 \bo 𝐤$ (\ref{cocompacité})
car \mbox{$ψ_∞(𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞})=\{1\}$}. On en déduit donc
un caractère additif (continu) des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
-note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})$. Par construction, $ψ_{𝐤,x}$ est trivial
+note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$. Par construction, $ψ_{𝐤,x}$ est trivial
sur $𝒪_{𝐤_x}$ pour chaque $x ≠ ∞$. Nous allons voir comment
calculer ce caractère et montrer qu'il est de \emph{niveau nul}.
Soit $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant.
@@ -2345,16 +2351,17 @@ et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
inférieur à $δ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut écrire $f=f_-+f_+$,
où $f_+ ∈ 𝒪_{𝐤_x}$ et, en mettant au même dénominateur,
\[
-f_-=\frac{λ_{r δ_x -1}t^{rd_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
+f_-=\frac{λ_{\max }t^{r δ_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
\]
pour un entier $r>0$, des $λ_i$ dans $𝐅_p$, et
-un polynôme $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ de degré inférieur ou égal à $δ_x$.
-Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{r δ_x-1})$ et
+un polynôme $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ de degré inférieur ou égal à $δ_x$
+tel que $ϖ_x = t^{ δ_x} u$.
+Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{\max})$ et
$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_- ∈ 𝒪_{𝐤_y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
-Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)=ψ_{𝐤,x}(f_-)=ψ_{𝐅_p}(-λ_{r δ_x-1})$,
+Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)=ψ_{𝐤,x}(f_-)=ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$,
la première égalité étant conséquence de la trivialité
de $ψ_{𝐤,x}$ sur $𝒪_{𝐤_x}$. % itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
-En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x) ≠ 1$. Ceci montre que
+En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x) = ψ_{𝐅_p}(-1)≠ 1$. Ceci montre que
$n(ψ_{𝐤,x})=0$ compte tenu du fait que $t^{δ_x-1} ∈ 𝒪_{𝐤_x}^×$ ($x
≠ ∞$).
Montrons que $𝐀_𝐤 → \chap{𝐀_𝐤}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
@@ -2366,7 +2373,7 @@ Soit $a ∈ 𝐤^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐤 : ψ_𝐤(b 𝐤)=\{1\}\}$.
On peut écrire $a=f + c$ où $λ$ appartient à $𝐤$ (plongé
diagonalement) et $c=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
à translater par une constante dans $𝐅_p$, on peut
-supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$.
+supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞$.
Naturellement, $c ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
si bien que $c_∞ ∈ 𝔪_∞²$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$, et $𝐤$ donc
@@ -2377,13 +2384,11 @@ et $a ∈ 𝐤$.
Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}
- \[⁂\]
-
\begin{proposition2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
Soit $K$ un corps global.
-Il existe un caractère non trivial $ψ$ de $A_K$, trivial sur $K$.
-Le morphisme $A_K → \chap{A_K}$, $a↦ [×a]^*ψ$
+Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$.
+Le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme et $K$ est orthogonal à lui-même.
\end{proposition2}
@@ -2396,61 +2401,136 @@ D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
cela permettra de conclure.
Si $ψ_{K}$ est un caractère additif non trivial de $𝐀_{K}$
(resp. et trivial sur $K$), il résulte de \ref{adèles et cb}
-que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_{K}}$ est également
+que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo 𝐀_{K}}$ est également
non trivial (resp. et trivial sur $L$).
-Si $ψ_L(a 𝐀_L)=\{1\}$, et $a_x ≠ 0$ ($x$ place de $K$)
+Si $ψ_L(a L_𝐀)=\{1\}$, et $a_x ≠ 0$ ($x$ place de $K$)
on a $ψ_{K,x}(K_x)=\{1\}$ (car $\Tr_{L_x \bo
K_x}(L_x)=K_x$), ce qui est absurde. (Cf. calculs
explicites ci-dessus : le niveau des $ψ_{K,x}$ est fini.)
-Ainsi $a=0$ et $A_L → \chap{A_L}$ est donc injective.
+Ainsi $a=0$ et $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$ est donc injective.
La surjectivité résulte formellement du fait
-que $𝐀_L = 𝐀_K^n$ (car si l'on note $b↦ (b₁,…,b_n)$
-cet isomorphisme, il existe des $a_i$ dans $𝐀_K$
-tels que $ψ(b)=ψ_K(⟨a,(b₁,…,b_n⟩)$) et que toute forme $𝐀_K$-linéaire
-$𝐀_L → 𝐀_K$ est de la forme $\Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_K} ∘ [× a]$.
+que $L_𝐀 = K_𝐀^n$ (car si l'on note $b↦ (b₁,…,b_n)$
+cet isomorphisme, il existe des $a_i$ dans $K_𝐀$
+tels que $ψ(b)=ψ_K(⟨a,(b₁,…,b_n⟩)$) et que toute forme $K_𝐀$-linéaire
+$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
Orthogonalité : il existe pour chaque $i$, un $l_i
∈ L$ tel que $\Tr(a l_i K)=a_i K$. En conséquence,
si $ψ_K ∘ \Tr (aL)=\{1\}$, on a $ψ_K(a_iK)=\{1\}$
d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
+\XXX détailler cette esquisse.
\end{démo}
-\subsubsection{Fourier sur $A_K$}
-Soit $ψ= (ψ_x)$ un caractère comme en \ref{Pontrâgin pour adèles}.
-Pour chaque fonction $f=(f_x)$ produit externe restreint
-comme en \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on pose :
+\subsubsection{Fourier sur $K_𝐀$}
+Soit $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
+sur $K$. Il résulte de ce qui précède
+que les niveaux $n(ψ_x)$ sont nuls pour presque tout $x$.
+Notons $ℱ_{ψ_x}$ les transformées de Fourier
+locales auto-duales (\ref{Fourier et mesure locaux}).
+Pour chaque fonction $f=⊠′_x f_x$ produit externe restreint
+comme en \ref{Bruhat-Schwartz adélique},
+il résulte de \emph{loc. cit.} que les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$
+sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$
+et induisent donc une fonction $ℱ_ψ(f)=⊠′_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sur $K_𝐀$.
+De plus, chaque $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient à $𝒮(K_x)$
+(\emph{loc. cit.}, (i)) si bien que $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
+
+\XXX Si l'on note $μ_ψ$ mesure sur $K_𝐀$ déduite
+des $μ_{ψ_x}$, définie par [...],
+on a bien sûr l'égalité
+\[
+ℱ_ψ(f)(t)=∫_{K_𝐀} f ψ_t   dμ_ψ
+\]
+pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où
+$ψ_t=[× t]^* ψ$.
+
+\begin{exemple2}[Cas des rationnels]
+Considérons :
+
+— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$ ;
+
+— un élément $N∈ 𝐙-\{0\}$ ;
+
+— un élément $x$ un élément de $𝐐$.
+
+Alors,
\[
-ℱ_ψ(f)=(ℱ_{ψ_x}(f_x)),
+ℱ_{ψ_𝐐}(f^∞ ⊠ 𝟭_{x+N \chap{𝐙}})=
+\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^∞) \big) ⊠
+\big( [×x]^* ψ_𝐐^{≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big),
\]
-où l'on rappelle que $ℱ_{ψ_x}$ désigne la transformée
-de Fourier local auto-duale (\ref{Fourier et mesure locaux}).
+où $ψ_𝐐^{ ≠ ∞}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
+déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
+$\chap{𝐙}=\lim_P 𝐙/P ⥲ ∏_p 𝐙_p$.
+Cela résulte immédiatement de l'égalité
+$𝟭_{x_p+ N 𝐙_p}=[-x_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
+de \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii), et de la formule du produit
+$∏_p |N|_p=1/|N|$.
-Fait : $ℱ_ψ(f)$ appartient à $𝒮(𝐀)$. Utilise dévissage
-$f^u=𝟭_{a+M𝒪}$. [à écrire différemment : commencer par ça puis faire la définition.]
+On peut déduire de cette expression une \emph{formule
+de Poisson adélique}
+\[
+∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ)
+\]
+qui sera généralisée ci-dessous (\ref{Fourier adélique} (iii)).
+Par linéarité, on peut supposer $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ comme
+ci-dessus. Compte tenu de ce qui précède, il nous faut
+vérifier l'égalité
+\[
+∑_{λ ∈ x+N 𝐙} f^∞(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ x) \chap{f^∞}(λ)
+\]
+qui résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
+appliquée à la fonction $φ(λ)=f^∞(N λ + x)$, dont la transformée
+de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ x/N)\chap{f^∞}(\frac{λ}{N})$.
+\end{exemple2}
+
+
+\begin{exemple2}[Cas des fonctions rationnelles]
+Considérons :
-Exemple. Cas archimédien sur $𝐐$ [?]
+— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐅_p((t^{-1}))=𝒮(𝐤_∞)$ ;
+
+— un élément $N ∈ 𝐅_p[t]-\{0\}$ ;
+
+— un élément $x$ un élément de $𝐤$.
+
+On a alors comme ci-dessus l'égalité
\[
-ℱ_ψ(f^a ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀})=ℱ_{ψ_∞}(f_∞)/|a|_∞ ⊠ 𝟭_{-a+P^{-1}𝒪_𝐀}.
+ℱ_{ψ_𝐤}(f^∞ ⊠ 𝟭_{x+N \chap{𝐅_p[t]}})=
+\big( \frac{1}{p^{\deg(N)}} ℱ_{ψ_∞}(f^∞) \big) ⊠
+\big( [×x]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
\]
+où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif
+du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$,
+et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲ ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$.
+Bien entendu les formules de \emph{op. cit.}
+permettent également le calcul, par dévissage,
+de $ψ_{ψ_∞}(f^∞)$. On a notamment
+$ψ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= q^½ [× ϖ_∞]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$
+On en tire en particulier que $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_𝐤})(0)=μ_{ψ_𝐤}(𝒪_𝐤)$
+est égal à $q^½$. Ce résultat sera généralisé
+en \ref{mesure quotient adélique}. [\XXX rapport pas si clair.]
+Dans ce cas, la formule de Poisson adélique est moins immédiate.
+La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des
+rationnels nous ramène en effet au théorème
+de Riemann-Roch énoncé ci-après. [à vérifier/détailler] \XXX
+\end{exemple2}
-\begin{remarque2}
-$ℱ_ψ(f)=∫ f ψ d μ_ψ$ et infra (mesure indépendante de $ψ$)… \XXX
-\end{remarque2}
Formule d'inversion.
\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
\XXX
-Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $A_K/K$.
+Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$.
\begin{enumerate}
-\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $A_K$ associées
-aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.
+\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associées
+aux mesures auto-duales $μ_{ψ_x}$. Alors, $μ_ψ(K_𝐀/K)=1$.
\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
-\item Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$,
+\item Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
\[
-∑_{x ∈ K} f(x)=∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x).
+∑_{λ ∈ K} f(λ)=∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ).
\]
\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
Pour tout idèle $a$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
@@ -2515,23 +2595,6 @@ pour fonction $h$ dans $𝒮$.
$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
\end{démo}
-\begin{remarque2}Démonstration de la formule de Poisson dans
-le cas des corps de nombres (esquisse) ; cf. \cite{Elements@Colmez})
-Par linéarité, on peut supposer que
-$f=f_∞ ⊠ ⊠_{x ∈ Σ^u(𝐐} 𝟭_{a_x+ϖ_x^{n_x}}$.
-Il existe $a ∈ 𝐐$ tel que $a-a_x ∈ 𝒪_𝐀$ pour tout $x$ (cf. \ref{}).
-En conséquence, $f=f_∞ ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀}$ où $P=∏_x ϖ_x^{n_x}$.
-Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
-que
-\[ℱ(f_∞ ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀})=ℱ_{ψ_∞}(f_∞)/|a|_∞ ⊠
-𝟭_{-a+P^{-1}𝒪_𝐀},\]
-où $ℱ$ est calculé relativement
-au caractère canonique.
-Finalement, on se ramène \XXX au cas de la formule
-de Poisson archimédienne ! Dans le cas des corps de
-fonctions cette méthode nous ramène au théorème de Riemann-Roch
-énoncé ci-après.
-\end{remarque2}
\subsection{Premières applications}
@@ -2586,8 +2649,9 @@ cf. Lang, [Introduction to…] ou Weil, [BNT], remarque p. 101.
Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
\begin{théorème2}
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
+\label{mesure quotient adélique}
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
\end{théorème2}
\begin{démo}