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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-26 11:23:15 +0200 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-26 11:23:15 +0200 |
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[LG] 1+2+3+4+… = -1/12 ; remarque sur approche un chouïa différente.
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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 32 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 5511d42..5f6bf8d 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -1458,7 +1458,7 @@ que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge pour aucune valeur de $s$.) On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de \[ -∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!} +β(t)=∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!} t^{k-1}, \] où la seconde égalité n'est autre que la définition @@ -1468,6 +1468,8 @@ et celle de ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t} \] la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$. +(Les notations $β$ et $ψ$ ne sont pas standards.) %% standard ? + \subsubsection{} Notons que la fonction $Γ ζ$ n'est \emph{a priori} définie que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après @@ -1515,6 +1517,34 @@ satisfait l'équation fonctionnelle \] \end{théorème2} +En particulier $ζ(-1)=\text{« }1+2+3+4+5+\cdots\text{»}=-\frac{1}{12}$ car +$B₂=⅙$. + +\begin{remarque2} +Certains auteurs considèrent plutôt $M(f,s)=Γ(s)^{-1}ζ(f,s)$ (cf. \cite[VII.2]{Elements@Colmez}). +Supposons que $f$ n'a pas de singularités : +elle est $𝒞^∞$ sur $𝐑_+$ (c'est-à-dire restriction d'une fonction $𝒞^∞$ sur un +ouvert $]-ε,+∞[$, pour un $ε>0$) et à décroissance rapide à l'infini, ainsi que toutes ses dérivées. +Dans ce cas, la fonction holomorphe $M(f,s)$, définie \emph{a priori} sur le +demi-plan $\Re(s)>0$, se prolonge en une fonction holomorphe +sur $𝐂$ en vertu de l'égalité +\[ +M(f,s)=- M(f′,s+1), +\] +obtenue par intégration par partie. +On en déduit que $M(f,0)=-M(f′,1)=-∫₀^{+∞} f′=f′(0)$ et, plus généralement, +les égalités +\[ +M(f,-k)=(-1)^k f^{(k)}(0) +\] +pour chaque $k ∈ 𝐍$. Hormis l'équation fonctionnelle, on retrouve les résultats +du théorème précédent en constatant que $β(t)=\frac{1}{t}f(t)$, où +$f(t)=\frac{t}{e^t-1}=∑_n \frac{B_n}{n!}t^n$, +si bien que la fonction zêta de Riemann $ζ(s)=ζ(β,s)=ζ(f,s-1)$ coïncide avec +le produit $Γ(s-1)M(f,s-1)$. +\end{remarque2} + + \begin{remarque2} Signalons un argument élémentaire conduisant à l'existence d'un pôle simple en $s=1$ de |