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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-20 16:45:35 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-20 16:45:35 +0200
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[calculs] Clarifications et corrections sur la construction de polynômes invariants.
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--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -890,11 +890,34 @@ isomorphes.
\subsection{Polynômes invariants}
+\begin{definition2}\label{definition-polynomes-invariants-par-permutations}
+Soit $H$ un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_d$ sur $d$
+objets. On fait agir $H$ sur l'anneau $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ des
+polynômes en $d$ indéterminées (sur un anneau $K$ de coefficients
+quelconque) par permutation sur les indéterminées :
+$\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) = P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$.
+On dit notamment qu'un polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est
+invariant par $H$ lorsque $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
+P(Z_1,\ldots,Z_d)$ pour tout $\sigma\in H$, et on note $\Fix_H
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ la sous-algèbre des polynômes invariants par $H$.
+On fait les mêmes conventions pour le corps des fractions rationnelles
+en $d$ variables sur un corps $K$.
+\end{definition2}
+
+\begin{remarque2}\label{base-des-polynomes-invariants}
+Si $H$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et $K$ un anneau
+quelconque, alors l'algèbre $\Fix_H K[Z_1,\ldots,Z_d]$ des polynômes
+invariants par $H$ admet une base comme $K$-module formée des
+polynômes $\sum_{M\in \Omega} M$ où $\Omega$ parcourt les orbites des
+l'ensemble des monômes $Z_1^{v_1}\cdots Z_d^{v_d}$ sous l'action
+de $H$.
+\end{remarque2}
+
La proposition suivante, qui sera essentielle pour construire des
résolvantes, assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
-$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
+$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $H$ :
\begin{proposition2}\label{polynomes-invariants-de-sous-groupes}
Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
@@ -958,21 +981,104 @@ non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
polynôme comme proposé.
\end{remarques2}
+Les deux propositions qui vont suivre (et dont la démonstration est en
+principe constructive) montrent qu'on peut faire un peu mieux, et
+construire des polynômes invariants par $H$ et qui « séparent » deux
+points dont les coordonnées ne sont pas images l'une de l'autre par
+l'action de $H$.
+
+Le lemme suivant est évident, mais nous le démontrons pour en
+souligner le caractère constructif :
+\begin{lemme2}\label{interpolation-de-lagrange-en-d-variables}
+Soit $K$ un corps, soient $x_1,\ldots,x_r \in K^d$ des $d$-uplets deux
+à deux distincts d'éléments de $K$, et soient $y_1,\ldots,y_r \in K$
+quelconques. Alors il existe $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que
+$P(x_i) = y_i$ pour chaque $i$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Il suffit de construire $P$ dans le cas $y_1 = 1$ et
+$y_2=\ldots=y_r=0$, le cas général s'en déduisant par combinaison
+linéaire. Il suffit alors de construire $P$ s'annulant en
+$x_2,\ldots,x_r$ et ne s'annulant pas en $x_1$. Or pour chaque
+$\ell\geq 2$, comme $x_\ell \neq x_1$, il existe une coordonnée
+$i_\ell$ (c'est-à-dire $Z_{i_\ell}$) telle que $x_\ell$ et $x_1$
+diffèrent sur la coordonnée en question : $x_{\ell,i_\ell} \neq
+x_{1,i_\ell}$. Le polynôme $\prod_{\ell=2}^r
+(Z_{i_\ell}-x_{\ell,i_\ell})$ répond alors aux critères demandés.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{separation-des-points-du-quotient-de-l-espace-affine-par-des-permutations}
+Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et $(\xi'_1,\ldots,\xi'_d)$ sont deux
+$d$-uplets d'éléments de $K$, alors il y a équivalence entre les
+affirmations suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item il existe $\sigma \in H$ tel que $\xi'_i = \xi_{\sigma(i)}$ pour
+ tout $i$,
+\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$
+ (au sens où $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
+ P(Z_1,\ldots,Z_d)$ pour chaque $\sigma \in H$), on a
+ $P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$,
+\item tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ qui
+ s'annule en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ s'annule aussi en
+ $(\xi'_1,\ldots,\xi'_d)$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que (i) implique (ii) est évident, ainsi que le fait que (ii)
+implique (iii). Il reste à prouver que (iii) implique (i) : mais
+d'après \ref{interpolation-de-lagrange-en-d-variables}, si (i) n'est
+pas vérifié, on peut construire un polynôme $P$ qui s'annule en
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ mais en aucun des
+$(\xi'_{\sigma(1)},\ldots,\xi'_{\sigma(d)})$ pour $\sigma\in H$, et le
+produit $\prod_{\sigma\in H} P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$
+est invariant par $H$ et s'annule alors en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ mais
+pas en $(\xi'_1,\ldots,\xi'_d)$, c'est-à-dire que (iii) n'est pas
+vérifié.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{separation-des-points-du-quotient-de-l-espace-affine-par-des-permutations-bis}
+Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, soit $K$ un corps et soit
+$L$ une extension quelconque de $K$ : si $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et
+$(\xi'_1,\ldots,\xi'_d)$ sont deux $d$-uplets d'éléments de $L$, alors
+il y a équivalence entre les affirmations suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item il existe $\sigma \in H$ tel que $\xi'_i = \xi_{\sigma(i)}$ pour
+ tout $i$,
+\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$
+ (au sens où $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
+ P(Z_1,\ldots,Z_d)$ pour chaque $\sigma \in H$), on a
+ $P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+De nouveau, le fait que (i) implique (ii) est évident. Supposons que
+(i) ne soit pas vérifié : d'après la proposition précédente, il existe
+$P \in L[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ tel que
+$P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Écrivons $P$
+comme combinaison linéaire (à coefficients dans $L$) des polynômes qui
+sont somme de l'orbite d'un monôme par l'action de $H$
+(cf. \ref{base-des-polynomes-invariants}) : ces monômes sont dans
+$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ et invariants par $H$, et il doit y en avoir au
+moins un, appelons-le $Q$, tel que $Q(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq
+Q(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Ceci montre que (ii) n'est pas vérifié.
+\end{proof}
+
\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable}
Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
les racines comptées avec multiplicité dans un corps de
-décomposition $L$. Alors, pour $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de
+décomposition $L$. Alors, pour $H$ un sous-groupe de
$\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant
- par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire tel que
- $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
- $\sigma\in \mathfrak{G}$) on a $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
+\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$
+ (c'est-à-dire tel que $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
+ P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que $\sigma\in H$) on a
+ $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
\item pour toute fraction rationnelle $R \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$
- invariante par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire telle que
+ invariante par $H$ (c'est-à-dire telle que
$R(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = R(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
- $\sigma\in \mathfrak{G}$) et dont le dénominateur ne s'annule pas en
+ $\sigma\in H$) et dont le dénominateur ne s'annule pas en
$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
\item \XXX
\end{enumerate}
@@ -982,20 +1088,19 @@ Le fait que (ii) implique (i) est trivial. Montrons que (i) implique
(ii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur
commun (on rappelle que $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est factoriel, ce qui
donne un sens à cette affirmation), où $Q$ ne s'annule pas en
-$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et où $R$ est invariante par $\mathfrak{G}$.
-Pour chaque $\sigma\in\mathfrak{G}$, on a alors $R =
-\sigma(P)/\sigma(Q)$, c'est-à-dire que $P\,\sigma(Q) = Q\,\sigma(P)$
-dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et comme $P,Q$ ont été supposés sans facteur
-commun on peut en déduire $\sigma(Q) = c_\sigma Q$ et $\sigma(P) =
-c_\sigma^{-1} P$ avec $c_\sigma\in K^\times$, en particulier
-$\sigma(Q)$ ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Si on
-introduit $Q^* = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma(Q) =
-(\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} c_\sigma) Q$, et de même $P^* =
-\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma(P) =
-(\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} c_\sigma^{-1}) P$, on a $P^*/Q^* = P/Q
-= R$, le polynôme $Q^*$ ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et
-comme $P^*$ et $Q^*$ sont tous deux invariants par $\mathfrak{G}$, la
-conclusion du (i) permet d'affirmer que $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) =
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et où $R$ est invariante par $H$. Pour chaque
+$\sigma\in H$, on a alors $R = \sigma(P)/\sigma(Q)$, c'est-à-dire que
+$P\,\sigma(Q) = Q\,\sigma(P)$ dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et comme $P,Q$
+ont été supposés sans facteur commun on peut en déduire $\sigma(Q) =
+c_\sigma Q$ et $\sigma(P) = c_\sigma^{-1} P$ avec $c_\sigma\in
+K^\times$, en particulier $\sigma(Q)$ ne s'annule pas en
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Si on introduit $Q^* = \prod_{\sigma\in H}
+\sigma(Q) = (\prod_{\sigma\in H} c_\sigma) Q$, et de même $P^* =
+\prod_{\sigma\in H} \sigma(P) = (\prod_{\sigma\in H} c_\sigma^{-1})
+P$, on a $P^*/Q^* = P/Q = R$, le polynôme $Q^*$ ne s'annule pas en
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et comme $P^*$ et $Q^*$ sont tous deux
+invariants par $H$, la conclusion du (i) permet d'affirmer que
+$R(\xi_1,\ldots,\xi_d) =
P^*(\xi_1,\ldots,\xi_d)/Q^*(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
\end{proof}
@@ -1003,19 +1108,19 @@ P^*(\xi_1,\ldots,\xi_d)/Q^*(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
Il est tentant de comparer le (ii) de la proposition ci-dessus
avec \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}. Notamment, on sait
qu'il existe des polynômes $P$ tels que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) =
-\mathfrak{G}$, et que si $P$ est un tel polynôme, alors le corps
-$F(P)$ qu'il engendre au-dessus du corps $K(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$
-des fonctions rationnelles totalement symétriques en les $Z_i$ est
+H$, et que si $P$ est un tel polynôme, alors le corps $F(P)$ qu'il
+engendre au-dessus du corps $K(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$ des
+fonctions rationnelles totalement symétriques en les $Z_i$ est
précisément le corps des fonctions rationnelles invariantes
-par $\mathfrak{G}$ : on peut donc être tenté de penser que l'hypothèse
+par $H$ : on peut donc être tenté de penser que l'hypothèse
$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ suffit à entraîner la conclusion (ii) de
la dernière proposition. Or il n'en est rien : par exemple, si $K$
est un corps de caractéristique $3$ non parfait, $L$ l'extension
purement inséparable de $K$ obtenue en ajoutant la racine cubique
$\xi$ d'un élément $a \in K$ qui ne soit pas un cube dans $K$, si on
-pose $d=3$ et $\mathfrak{G} = \ZZ/2\ZZ$ opérant en échangeant les
+pose $d=3$ et $H = \ZZ/2\ZZ$ opérant en échangeant les
indéterminées $Z_2$ et $Z_3$, et $P = Z_2 Z_3^2 + Z_2^2 Z_3$ qui
-vérifie bien $\Stab_{\mathfrak{S}_3}(P) = \mathfrak{G}$, on peut
+vérifie bien $\Stab_{\mathfrak{S}_3}(P) = H$, on peut
écrire $Z_1 = \frac{\sigma_1 \sigma_3}{\sigma_3 + P} \in F(P)$ où
$\sigma_1 = Z_1+Z_2+Z_3$ et $\sigma_3 = Z_1 Z_2 Z_3$, on a bien
$P(\xi,\xi,\xi) = 2 \xi^3 \in K$, et pourtant $Z_1$ prend en
@@ -1023,12 +1128,12 @@ $(\xi,\xi,\xi)$ une valeur ($\xi$) qui n'appartient pas à $K$,
c'est-à-dire que la conclusion (i) ou (ii) ne tient pas.
\end{remarque2}
-\begin{sslemme2}\label{transitivite-des-sylow}
+\begin{proposition2}\label{transitivite-des-sylow}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de
cardinal $p^e$ avec $p$ un nombre premier, et soit $H$ un sous-groupe
de $G$ dont l'indice $(G:H)$ est premier avec $p$. Alors $H$ est
encore transitif sur $X$.
-\end{sslemme2}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $U = \Stab_G(x)$ le fixateur dans $G$ d'un élément $x\in X$ : on
a $(G:U) = p^e$. On peut écrire $(H:(U\cap H)) = (G:U) \, (U:(U\cap
@@ -1049,77 +1154,61 @@ proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
supposons en outre que $K$ est de caractéristique $p$ et $f =
X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec $d=p^e$) sont
tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$. Alors les affirmations de
-la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$ opère
+la proposition sont équivalentes à : $H$ opère
transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
-Supposons d'abord que $\mathfrak{G}$ opère transitivement
-sur $\{1,\ldots,p^e\}$. Soit $P$ un $p$-Sylow de $\mathfrak{G}$ :
-alors $P$ opère encore transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$
-(d'après \ref{transitivite-des-sylow}), donc on peut supposer que
-$\mathfrak{G}=P$, c'est-à-dire que l'ordre de $\mathfrak{G}$ est une
+Supposons d'abord que $H$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
+Soit $P$ un $p$-Sylow de $H$ : alors $P$ opère encore transitivement
+sur $\{1,\ldots,p^e\}$ (d'après \ref{transitivite-des-sylow}), donc on
+peut supposer que $H=P$, c'est-à-dire que l'ordre de $H$ est une
puissance de $p$. Soit maintenant $M$ un monôme sur les variables
-$Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant par $\mathfrak{G}$, alors
-il peut s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e} Z_i)^r$, et sa valeur sur
-$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r
-\in K$. Si $M$ n'est pas invariant par $\mathfrak{G}$, alors le
-nombre de ses conjugués par $\mathfrak{G}$ est une puissance non
-triviale de $p$, donc leur somme, évaluée sur l'élément diagonal
-$(\xi,\ldots,\xi)$, vaut $0$ dans $K$ qui est de caractéristique $p$.
-Il s'ensuit que si $P$ est un polynôme invariant par $\mathfrak{G}$,
-sa valeur sur $(\xi,\ldots,\xi)$ appartient à $K$.
-
-Si au contraire $\mathfrak{G}$ n'opère pas transitivement
-sur $\{1,\ldots,p^e\}$, considérons une orbite $O$ sous
-$\mathfrak{G}$, et le monôme $P$ produit des $Z_i$ pour $i\in O$.
-Alors $P$ est invariant par $\mathfrak{G}$, mais son image sur
-$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{\#O}$ qui n'appartient pas à $K$ car le
-polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de degré $p^e$.
-\end{proof}
-
-\begin{sslemme2}
-Soient $\xi_1,\ldots,\xi_d$ des éléments distincts d'une extension $L$
-quelconque d'un corps $K$, et soit $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de
-$\mathfrak{S}_d$. Alors il existe un polynôme $P \in
-K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que pour $\sigma \in \mathfrak{S}_d$ les trois
-affirmations suivantes soient équivalentes :
-\begin{itemize}
-\item $\sigma \in \mathfrak{G}$,
-\item $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$, et
-\item $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) =
- P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$.
-\end{itemize}
-\end{sslemme2}
-\begin{proof}
-\XXX
+$Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant par $H$, alors il peut
+s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e} Z_i)^r$, et sa valeur sur
+$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r \in K$. Si $M$ n'est pas
+invariant par $H$, alors le nombre de ses conjugués par $H$ est une
+puissance non triviale de $p$, donc leur somme, évaluée sur l'élément
+diagonal $(\xi,\ldots,\xi)$, vaut $0$ dans $K$ qui est de
+caractéristique $p$. Il s'ensuit que si $P$ est un polynôme invariant
+par $H$, sa valeur sur $(\xi,\ldots,\xi)$ appartient à $K$.
+
+Si au contraire $H$ n'opère pas transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$,
+considérons une orbite $\Omega$ sous $H$, et le monôme $P$ produit des
+$Z_i$ pour $i\in \Omega$. Alors $P$ est invariant par $H$, mais son
+image sur $(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{\#\Omega}$ qui n'appartient
+pas à $K$ car le polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de
+degré $p^e$.
\end{proof}
\begin{lemme2}
Sous les conditions de la
proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
supposons en outre que $f$ soit séparable sur $K$. Alors les
-affirmations de la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$
-contient le groupe de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de
-$\mathfrak{S}_d$ en opérant sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$
-de $f$).
+affirmations de la proposition sont équivalentes à : $H$ contient le
+groupe de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ en
+opérant sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$).
\end{lemme2}
\begin{proof}
-Si $\mathfrak{G}$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout
-polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $\mathfrak{G}$ l'est
-en particulier par $G$ opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
+Si $H$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout polynôme $P
+\in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ l'est en particulier par $G$
+opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
pour tout $\sigma\in G$, c'est-à-dire que $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ est
invariant par $G$ opérant comme groupe d'automorphismes sur le corps
de décomposition $L = K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ de $f$, donc
$P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ appartient bien au corps fixe $K$ de $G$.
-Réciproquement, si $\mathfrak{G}$ ne contient pas le groupe de Galois
-$G$ de $f$, considérons un polynôme $P$ tel que donné par le
-sous-lemme précédent : le polynôme $P$ est invariant
-par $\mathfrak{G}$. Si $\sigma$ appartient à $G$ mais non à
-$\mathfrak{G}$, on a alors $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})
-\neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ d'après la conclusion du sous-lemme (comme
-$\sigma \in \mathfrak{G}$), donc $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$.
+Réciproquement, si $H$ ne contient pas le groupe de Galois $G$ de $f$,
+il existe $\sigma$ dans $G$ n'appartenant pas à $H$. Si on définit
+$(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) = (\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$,
+alors comme les $\xi_i$ sont distincts, $\sigma$ est l'unique élément
+de $\mathfrak{S}_d$ tel que $\xi'_i = \xi_{\sigma(i)}$, et d'après
+\ref{separation-des-points-du-quotient-de-l-espace-affine-par-des-permutations-bis},
+il existe $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ tel que
+$P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, c'est-à-dire
+$\sigma(P(\xi_1,\ldots,\xi_d)) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, donc
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$ puisque $G$ est le groupe de Galois
+de $f$.
\end{proof}
\subsection{Résolvantes}