summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-30 17:44:41 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-30 17:44:41 +0200
commita5578c2dfbeb620da37986440b30bc0603a3f6af (patch)
treed363d31b34df4abe0ad66fbfe2094e3effb57d5c /chapitres
parent73287bebb8469cebc67a376886487d6eece97035 (diff)
parenteea9e2a8de137a8a286919bb33895c05839f9a20 (diff)
downloadgalois-a5578c2dfbeb620da37986440b30bc0603a3f6af.tar.gz
galois-a5578c2dfbeb620da37986440b30bc0603a3f6af.tar.bz2
galois-a5578c2dfbeb620da37986440b30bc0603a3f6af.zip
Merge branch 'master' of git.madore.org:galois
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex29
1 files changed, 27 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 7702cd2..e400add 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -963,15 +963,40 @@ Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
les racines comptées avec multiplicité dans un corps de rupture $L$.
Alors, pour $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, les
-deux affirmations suivantes sont équivalentes :
+affirmations suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant
par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire tel que
$P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
- $\sigma\in \mathfrak{G}$) on a $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$,
+ $\sigma\in \mathfrak{G}$) on a $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
+\item pour toute fraction rationnelle $R \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$
+ invariante par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire telle que
+ $R(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = R(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
+ $\sigma\in \mathfrak{G}$) et dont un dénominateur possible ne
+ s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d)
+ \in K$ ;
+\item on a $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$, où $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$
+ est une fraction rationnelle quelconque telle que
+ $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \mathfrak{G}$ et dont un dénominateur
+ possible ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ (on rappelle
+ qu'on peut trouver un tel $P$ dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$,
+ cf. \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes} ci-dessus) ;
\item \XXX
\end{enumerate}
\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que (ii) implique (i) ou (iii) est trivial, ainsi que le fait
+que (i) implique (iii) lorsque $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$. Or d'après
+\ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}, il existe effectivement $P
+\in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) =
+\mathfrak{G}$, et dans ce cas on a $\Fix_{\mathfrak{G}}
+K(Z_1,\ldots,Z_d) = F(P)$ où $F = \Fix_{\mathfrak{S}_d}
+K(Z_1,\ldots,Z_d)$. En supposant que (iii) est vérifié pour ce $P$,
+il l'est pour tout élément de $F(P)$ puisque $Q(\xi_1,\ldots,\xi_d)
+\in K$ est clair si $Q \in F$ (en exprimant $Q(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
+avec les fonctions totalement symétriques des $\xi_i$, qui sont au
+signe près les coefficients de $f$) : or ceci implique (ii).
+\end{proof}
\begin{sslemme2}\label{transitivite-des-sylow}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de