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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-28 15:56:49 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-28 15:56:49 +0100
commita6fd6eeeb67b352b049f230b506bf6c3128a8cdf (patch)
tree888516754cb52f4f8d5e03dd5ddd7bf6e201e7aa /chapitres
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[LG] clarifications sur ζ_𝐑, ζ_𝐂 et fonction Γ
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex54
1 files changed, 35 insertions, 19 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 910620b..2eecfc4 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1611,10 +1611,17 @@ Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)=
\label{fonction zêta archimédienne}
Supposons maintenant $K=𝐑$ ou $𝐂$ archimédien,
dont on note $d$ le degré sur $𝐑$. La gaussienne $g_K ∈ 𝒮(K)$ définie par
+$g_K(x)=\frac{2}{μ₁^{\mbox{\minus $+$}}(\{x: |x| ≤ 1\})}
+\exp(- d π |x|²)$ — où $|x|$ désigne la norme usuelle —
+joue un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ considérée dans le cas ultramétrique.
+Ainsi :
\[
-g_K(x)=\exp(- d π |x|²)
+g_𝐑(x)=\exp(- π |x|²)
+\]
+et
+\[
+g_𝐂(z)=\frac{1}{π} \exp(- 2 π |z|²).
\]
-joue un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ considérée dans le cas ultramétrique.
On s'intéresse donc à la fonction
\[
ζ_K(s):=ζ(g_K,χ \text{ trivial},s).
@@ -1626,29 +1633,38 @@ positive, on a
\]
et
\[
-ζ_𝐂(s)=(2 π)^{1-s} Γ(s),
+ζ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s} Γ(s),
\]
où $Γ(s)= \displaystyle ∫_0^{+∞} e^{-r} r^s \frac{dr}{r}$
est la fonction Gamma usuelle.
-Sous forme plus compacte :
-\[
-ζ_K(s)=(dπ)^{d(1-\frac{s}{2})-1}Γ(d\frac{s}{2}).
-\]
Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
-$x=√r$ dans le cas réel ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas complexe.
+$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
+\[
+ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
+\]} ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas
+complexe\footnote{Explicitement :
+\[
+ζ_𝐂(s)
+:=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π |z|} |z|_𝐂^s \frac{dxdy}{|z|_𝐂}
+=\frac{1}{π} ∫_{𝐑_× × [0, 2 π]} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ
+=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑_×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
+\]}.
+\begin{remarque2}
À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions
-zêta locales sont appelées « facteurs Gamma »
-et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
-(Cf. Serre, « Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés
-algébriques ».)
-
-% Vérifier que je ne me trompe pas d'un facteur $2$ pour $Γ_𝐂$. \XXX
-% cf. ζ_K(s)=(dπ)^{d(1-\frac{s}{2})-1}Γ(d\frac{s}{2}) qui
-% semble fausse car les bons facteurs Gamma sont ceux
-% ci-dessus.
+zêta locales sont appelées « facteurs Gamma » et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
+On suit ici le choix de P. Deligne, « Les constantes
+des équations fonctionnelles des fonctions $L$ », §3.2 ;
+voir aussi J. Tate, « Number theoric background », §3.1.
+Pour une variante, voir par exemple J.-P. Serre, « Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques »
+Notons qu'avec notre convention, on a la \emph{formule de duplication} :
+\[
+ζ_𝐂(s)=ζ_𝐑(s)ζ_𝐑(s+1).
+\]
+(Cf. P. Deligne, \emph{op. cit.}, prop. 3.8 pour une
+interprétation.)
+\end{remarque2}
-% plus généralement… Bump, 271.
\XXX
\[
γ(χ,s)=?
@@ -3056,7 +3072,7 @@ $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$, ou encore : $r_𝐑=r_𝐂=0$.
\label{fonction zêta étendue}
Enfin, on pose :
\[
-\chap{ζ}_K(s)=|d_K|^{½s} \sur{ζ}_K(s).
+\chap{ζ}_K(s)=|d_K|^{½s} ⋅ \sur{ζ}_K(s).
\]
C'est cette fonction qui satisfait une équation
fonctionnelle (cf. \ref{} \emph{infra}).