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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-05-04 16:04:12 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-05-04 16:04:12 +0200
commita7039ed419f2816ebde03040ef0622778f047214 (patch)
tree3dd3c6bcfdc5c903788fac4c6c8375828d93590c /chapitres
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex86
-rw-r--r--chapitres/exemples-galois.tex4
2 files changed, 62 insertions, 28 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index d76283a..35b5586 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1381,6 +1381,18 @@ symétriques élémentaires).
dans $\mathfrak{S}_d$, et $\mathfrak{S}_d/H$ s'identifie à
$\{1,\ldots,d\}$, si bien que $R_P(f)$ est simplement le polynôme
$f$ lui-même.
+\item Si $1\leq r \leq d$, le polynôme $P := Z_1 + \cdots + Z_r$ a
+ pour stabilisateur le sous-groupe $H$ de $\mathfrak{S}_d$
+ stabilisant la partie $A = \{1,\ldots,r\}$ de cardinal $r$. La
+ résolvante $R_P(f)$ a pour racines toutes les $\frac{d!}{r!(d-r)!}$
+ sommes de $r$ racines de $f$, et, à supposer que celles-ci soient
+ distinctes, étudier l'action du groupe de Galois de $f$ dessus
+ revient à étudier l'action de ce groupe de Galois sur les ensembles
+ de $r$ racines. Au chapitre \refext{ExG}{} (voir notamment les
+ exemples \refext{ExG}{exemple-galois-psl-3-f-2} et
+ \refext{ExG}{exemple-galois-m-12}), on a vu que l'étude de cette
+ action pouvait permettre de distinguer utilement des groupes de
+ Galois.
\end{itemize}
\end{exemples2}
@@ -1461,32 +1473,54 @@ grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
-La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du
-groupe de Galois d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$
-est la suivante : dans un premier temps classifier, à conjugaison
-près, tous les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les
-inclusions entre eux (certaines techniques permettant d'y arriver
-seront esquissées au chapitre suivant) ; puis, pour chacun de ces
-sous-groupes, déterminer une résolvante dont la réductibilité ou non
-assure (en utilisant la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes})
-que le groupe de Galois appartient au sous-groupe en question
-(généralement en supposant qu'il est déjà connu comme appartenant à
-tel ou tel sous-groupe $\mathfrak{G}$ plus grand, ce qui permet
-d'utiliser la notion de résolvante dans $\mathfrak{G}$) : ces deux
-premières étapes s'effectuent pour un polynôme général ; puis,
-connaissant le polynôme $f$ dont il s'agit de déterminer le groupe de
-Galois, il suffit de calculer les valeurs des résolvantes
-prédéterminées et de chercher à les factoriser (la
-proposition \ref{factorisation-des-polynomes-est-algorithmique} nous
-assure que ceci est algorithmique pour les polynômes sur les
-rationnels : en pratique, il faut bien sûr chercher des algorithmiques
-plus efficaces que ceux, complètement théoriques, exposés dans la
-preuve de celle-ci).
-
-\XXX --- À expliquer : pourquoi on risque d'avoir besoin de
-transformations de Tschirnhausen et pourquoi elles conviennent ; et ce
-qui va se passer pour évaluer des résolvantes dans $\mathfrak{G}$ (pas
-très clair dans ma tête, ça).
+La notion de résolvante nous permet d'esquisser la stratégie générale
+suivante pour le calcul algorithmique en pratique du groupe de Galois
+d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$ :
+
+\begin{itemize}
+
+\item Dans un premier temps classifier, à conjugaison près, tous les
+ sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les inclusions entre
+ eux (certaines techniques permettant d'y arriver seront esquissées
+ au chapitre suivant).
+
+\item Pour chacun de ces sous-groupes $H$, déterminer un polynôme $P$
+ (généralement choisi de degré aussi petit que possible) tel que
+ $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$
+ (cf. \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}), ce qui définit une
+ résolvante générale $R_P$ associée
+ (cf. \ref{definition-resolvante}). En général, on ne cherchera pas
+ à calculer $R_P$ comme polynôme des variables $X,Z_1,\ldots,Z_d$
+ mais seulement à se donner les moyens de calculer $R_P(f)$ pour $f$
+ un polynôme unitaire de degré $d$ fixé. Par ailleurs, si $H$ est
+ inclus dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$ plus grand, il est souvent
+ plus efficace de se contenter d'une résolvante $R_{\mathfrak{G},P}$
+ dans $\mathfrak{G}$. On remarquera que ces deux premières étapes ne
+ font pas encore appel à la connaissance du polynôme $f$ dont on
+ cherche à calculer le groupe de Galois.
+
+\item Donné le polynôme $f$, pour chaque résolvante $R_P$ préparée à
+ l'étape précédente, calculer $R_P(f)$ et factoriser ce polynôme (la
+ proposition \ref{factorisation-des-polynomes-est-algorithmique} nous
+ assure que ceci est algorithmique pour les polynômes sur les
+ rationnels : en pratique, il faut bien sûr chercher des
+ algorithmes plus efficaces que ceux, complètement théoriques,
+ exposés dans la preuve de celle-ci), ou au moins en calculer les
+ racines dans $K$. Lorsque $R_P(f) \in K[X]$ est séparable (ce qui
+ est « le plus souvent » le cas), la
+ proposition \ref{utilisation-des-resolvantes} donne alors des
+ informations sur le groupe de Galois $G$ de $f$.
+
+\item Lorsque, dans l'étape précédente, $R_P(f)$ n'est pas séparable,
+ choisir une transformation de Tschirnhaus aléatoire sur $f$
+ (cf. \ref{remarques-calcul-transformation-de-tschirnhaus}), ce qui
+ fournit un polynôme $f^\$$ ayant même groupe de Galois que $f$
+ (cf. \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois}) mais dont
+ on peut espérer que $R_P(f^\$)$ ne présente plus le problème d'avoir
+ des racines multiples ; sinon, répéter jusqu'à ce que ce soit le
+ cas.
+
+\end{itemize}
\section{Calculs en petits degrés}
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index 1aadf2f..fb2f3a8 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -1737,7 +1737,7 @@ $c(\tau)$.
\section{Autres exemples}
-\subsection{$PSL_3(\FF_2)$}
+\subsection{$PSL_3(\FF_2)$}\label{exemple-galois-psl-3-f-2}
Considérons le polynôme $f = X^7 - 7X + 3$ sur $\QQ$ : il est
irréductible car sa réduction modulo $2$ l'est. On va montrer que son
@@ -1886,7 +1886,7 @@ maximaux que d'ordres $24$ et $21$, donc le seul sous-groupe d'ordre
multiple de $28$ est $PSL_3(\FF_2)$ tout entier.
\end{proof}
-\subsection{$M_{12}$}
+\subsection{$M_{12}$}\label{exemple-galois-m-12}
%% R.<x> = ZZ['x']
%% f = x^12 - 375*x^8 - 3750*x^6 - 75000*x^3 + 228750*x^2 - 750000*x + 1265625