summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-10 12:36:17 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-10 12:36:17 (GMT)
commita7e37713c819649811f3e1ce11d01a784825c35e (patch)
tree7c82d6061c9d8fc3d3411cd97935711629c82c2f /chapitres
parentc388cd310d8fbb15833403bbd85590983f034c08 (diff)
downloadgalois-a7e37713c819649811f3e1ce11d01a784825c35e.zip
galois-a7e37713c819649811f3e1ce11d01a784825c35e.tar.gz
galois-a7e37713c819649811f3e1ce11d01a784825c35e.tar.bz2
[ExG] petits ajouts/remarques
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/exemples-galois.tex17
1 files changed, 14 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index 092d910..0cabc42 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -226,7 +226,12 @@ dont les racines réelles sont $x_1 = 2\cos\frac{2\pi}{7}, x_2 =
en évaluant les fonctions symétriques élémentaires de
$2\cos\frac{2\pi}{7}, 2\cos\frac{4\pi}{7}, 2\cos\frac{6\pi}{7}$ au
moyen de formules trigonométriques, ce qui donne explicitement $g = X^3 +
-X^2 - 2 X - 1$. On peut vérifier de nouveau que $g$ est irréductible
+X^2 - 2 X - 1$. (Pour vérifier que $g$ convient sans
+utiliser de formule trigonométrique, il suffit
+de constater que $x_{α} =ζ_α + ζ_α^{-1}$, avec $ζ_α=e^{2 i α π /7}$,
+et par un calcul formel immédiat que $g(Z+Z^{-1})=Z^{-3}Φ₇(Z)$. On rappelle que
+$Φ₇(Z)=Z⁶+Z⁵+Z⁴+Z³+Z²+Z+1$.)
+On peut vérifier de nouveau que $g$ est irréductible
en constatant que $2\cos\frac{2\pi}{7} \not\in \QQ$ car
$2\cos\frac{2\pi}{7} \not\in \ZZ$ soit par encadrement soit parce que
la réduction de $g$ est irréductible modulo, disons, $2$ (ou $3$,
@@ -239,7 +244,11 @@ s'en persuader en se rappelant que $x_2 = x_1^2 - 2$ et $x_3 = -x_1^2
-x_1 +1$, ce qui montre que le corps de rupture $\QQ(x_1) \cong \QQ(x_2)
\cong \QQ(x_3)$ de $g$ en est déjà un corps de décomposition (on a $g =
(X-x_1)(X-x_1^2+2)(X+x_1^2+x_1-1)$), si bien qu'il est de degré $3$
-sur $\QQ$ et que $\Gal(g)$ ne peut pas contenir d'élément d'ordre $2$.
+sur $\QQ$. (Ceci résulte également du fait que l'extension
+$𝐐(x₁,x₂,x₃)$ de $𝐐(x₁)$ est de degré $2$ ou $1$
+selon qu'elle est égale à $𝐐(e^{2 i π /7})$ — de degré $6$ sur $𝐐$ —
+ou non. Ces deux corps ne sont pas égaux car l'un se plonge
+dans $𝐑$ et pas l'autre.)
On a donc $\Gal(g) \cong \ZZ/3\ZZ$, opérant cycliquement sur
$\{x_1,x_2,x_3\}$. (Intuitivement, il faut se figurer que, bien que
les racines $x_1,x_2,x_3$ de $g$ soient indiscernables sur $\QQ$, leur
@@ -295,7 +304,9 @@ c'est-à-dire lorsque $x\sim y$ implique $\sigma(x)\sim\sigma(y)$ pour
$\sim$ la relation d'équivalence dont les classes sont la partition
considérée.} avec la partition $\{\{\sqrt{2+\sqrt{3}},
-\sqrt{2+\sqrt{3}}\}, \{\sqrt{2-\sqrt{3}}, -\sqrt{2-\sqrt{3}}\}\}$
-de $R_f$ ; mais ceci garantit aussi l'existence d'un élément $\sigma$
+de $R_f$. (Ceci résulte également du fait trivial que si $r$ est
+une racine, $σ(-r)=-σ(r)$.) Que $\Gal(f)$ ait pour quotient
+$\Gal(h)$ garantit aussi l'existence d'un élément $\sigma$
de $\Gal(f)$ envoyant $\sqrt{3}$ sur $-\sqrt{3}$, donc
$\sqrt{2+\sqrt{3}}$ sur $\pm\sqrt{2-\sqrt{3}}$ pour au moins un des
deux signes.