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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-02 21:15:40 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-02 21:15:40 +0100
commita81abaad2ea5ee16fcb20d3c2b078095a1139d8f (patch)
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[Alg] réécriture de : sous-quotient diagonalisable=diagonalisable
Rien de nouveau mathématiquement ; juste la présentation. (Finalement j'aime bien le style : « blabla. En résumé : Théorème. ».)
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-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex176
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index 561050e..39b017c 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -146,12 +146,13 @@ est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne
(\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}).
Ainsi, $A$ est isomorphe à un produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$
de $k$-algèbre finies locales $A_𝔵$ et l'ensemble
-$π₀(A)$ des composantes connexes est en bijection
+$π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ des composantes connexes est en bijection
avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)).
-
-L'égalité $[A:k]=∑_{𝔵 ∈ π₀(A)} [A_𝔵:k]$ entraîne notamment
-la majoration : $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$, avec égalité si et seulement
-si chaque $A_𝔵$ est isomorphe à $k$.
+L'isomorphisme $\Spec(A) ⥲ π₀(A)$ ainsi obtenu
+n'est autre que l'application envoyant $𝔭 ∈ \Spec(A)$
+sur l'image de l'application du singleton $π₀(A/𝔭)$
+vers l'ensemble $π₀(A)$ déduite de la surjection $A → A/𝔭$.
+[À détailler] \XXX
Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans
le théorème suivant.
@@ -159,16 +160,19 @@ le théorème suivant.
\begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{enumerate}
-\item Le spectre $\Spec(A)$ est fini de cardinal au plus $[A:k]$ ;
-il coïncide avec $\Specmax(A)$ et est en bijection naturelle avec $π₀(A)$.
+\item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
+finis ; ils satisfont la condition suivante :
+\[♯ \japmath{田}A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\]
+\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec $\Specmax(A)$.
+Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
+reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
\item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵
∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbres locales d'idéal maximal nilpotent.
-\item L'application $\japmath{田}A(k) → \Spec(A)$, $f ↦ \Ker(f)$, est
-une injection.
-\item L'épimorphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est un isomorphisme \ssi $A$ est
-réduit.
-\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est surjectif.
-C'est un isomorphisme \ssi $\# \japmath{田}A(k)=[A:k]$.
+\item Le morphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est
+surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit.
+\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est
+surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi on a égalité :
+\[♯ \japmath{田}A(k)=[A:k].\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -212,34 +216,29 @@ des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs.
Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{A^\japmath{田}(k)}$ est un
-isomorphisme ;
-\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme (d'algèbres) $A⥲k^X$ ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $\#A^\japmath{田}(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{\japmath{田}A(k)}$ est un isomorphisme ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\#\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
-\item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈
-\End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est
-\emph{codiagonalisable}.
+\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
+\item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
-(i)⇒(ii) et (i)⇔(iii) sont évidents.
-(ii)⇒(iii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
+(i) ⇔ (ii) est évident et déjà signalé en \ref{k-algebres-finies} (v).
+(ii) ⇒ (iii). Résulte de \ref{k-algebres-finies} (iii).
+(iii) ⇒ (iv). Si $A=∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$, on a $[A:k]=∑_𝔵 [A_𝔵:k]$,
+où chaque entier $[A_𝔵:k]$ est supérieur ou égal à un.
+L'égalité $♯ π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
+algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
+isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
-est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$.
-Ceci résulte de l'existence des projections
+est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections
$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
-étant un morphisme de $k^X$ vers $k$.
-(ii) ⇒ (iv). On a vu en \refext{Spec}{pi0 produit}
-que $π₀(k^X)$ est canoniquement isomorphe à l'ensemble $X$,
-dont le cardinal est égal à la dimension $[k^X:k]$.
-(iv) ⇒ (ii). Le cas d'égalité se produit lorsque
-chaque composante connexe $A_𝔵$ de $A$ est de dimension $1$
-sur $k$, c'est-à-dire isomorphe à $k$.
-(ii) ⇒ (v). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
-des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
-(v) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
+étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
+La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
+des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
+(v) ⇒ (iv). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
propres des endomorphismes de multiplication par les éléments $a$ d'une
$k$-algèbre $A$, le morphisme $A → k^X$, $a ↦ (λ_x(a))_x$,
où $a e_x=λ_x(a) e_x$, est un isomorphisme.
@@ -253,70 +252,65 @@ si elle satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
Le choix d'un isomorphisme comme en (ii) est parfois appelé une
\emph{diagonalisation} de $A$ sur $k$.
-Les deux propositions suivantes sont des corollaires immédiats
-de \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b).
-
-\begin{proposition2}\label{quotient diagonalisable}
-Le quotient d'une $k$-algèbre diagonalisable est diagonalisable.
-\end{proposition2}
-
-Esquissons une autre démonstration s'appuyant notamment sur
-\ref{structure-algebres-finies}. Soient $A=k^X$ une algèbre diagonale et $B$ un quotient de $A$,
-dont on souhaite montrer qu'il est diagonalisable.
-D'après \emph{loc. cit.}, on peut supposer que $B$ est une $k$-algèbre finie
-locale, donc connexe au sens de \refext{Spec}{définition anneau
-connexe}. Il résulte du lemme \refext{Spec}{produit=somme} que l'application
-$k^X→B$ se factorise en un morphisme composé $k^X↠k→B$, où la première flèche est la projection
-sur un facteur. Puisque par hypothèse le morphisme $k^X→B$ est surjectif,
-il en est de même de $k→B$, qui est donc un isomorphisme.
-
-\begin{proposition2}\label{nombre ideaux fini}
-Le nombre d'idéaux d'une $k$-algèbre diagonalisable est fini.
-\end{proposition2}
-
-%Ce nombre est même égal à $2^{\dim_k}$.
-
-Après avoir étudié les algèbres quotients des algèbres diagonalisables, nous allons
-maintenant étudier leurs sous-algèbres.
-
-\begin{lemme2}\label{sous-diag=diag}
-Une sous-$k$-algèbre d'une $k$-algèbre diagonalisable est diagonalisable.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-Soient $A$ une $k$-algèbre diagonalisable et $B$ une sous-$k$-algèbre de $A$.
-Le carré suivant, où la flèche horizontale inférieure est déduite de l'application
-de restriction $A^\japmath{田}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)→B^\japmath{田}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(B,k)$, est commutatif
-
-$$\xymatrix{
-B \ar@{^{(}->}[r] \ar@{>>}[d] & A \ar[d]^{\textrm{isom.}} \\
-k^{B^\japmath{田}(k)} \ar[r] & k^{A^\japmath{田}(k)}
-}
-$$
-
-La flèche verticale de droite étant un isomorphisme, l'épimorphisme vertical de gauche est injectif ;
-c'est donc un isomorphisme : l'algèbre $B$ est diagonale.
-\end{démo}
-
-\subsubsection{}Il résulte de la démonstration que si $B↪A$ sont comme ci-dessus,
-l'application $π_{AB}:A^\japmath{田}(k)→B^\japmath{田}(k)$ est \emph{surjective}. D'autre part,
-l'image de $k^{B^\japmath{田}(k)}$ dans $k^{A^\japmath{田}(k)}$ n'est autre que l'ensemble
-des applications de $A^\japmath{田}(k)$ vers $k$ constantes sur les fibres de $π_{AB}$. Ces fibres
-forment une partition de $A^\japmath{田}(k)$. Réciproquement, toute partition de $A^\japmath{田}(k)$ définit une
+Notons que si $A$ est une algèbre diagonalisable, les trois
+ensembles finis $\japmath{田}A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
+naturellement en bijection.
+
+
+\subsubsection{Sous-quotients d'une algèbre diagonalisable}
+
+Soient $k$ un corps, $X$ un ensemble fini et $A=k^X$.
+On a donné en \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b)
+une description explicite des idéaux de $A$ : ils
+sont en bijection naturelle avec $𝔓(π₀(A))$ et le quotient de $A$
+par l'idéal correspondant à la partie $Y ⊆ π₀(A)$ par la
+bijection de \emph{loc. cit.} est isomorphe à
+l'algèbre diagonale $k^Y$. Le fait qu'une algèbre $B$ quotient
+de $A$ soit diagonalisable peut également se vérifier de la façon suivante.
+D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), on peut
+supposer que $B$ est une $k$-algèbre finie \emph{connexe},
+car un quotient d'un quotient est un quotient et un produit fini
+d'algèbres diagonalisables est diagonalisable. Or, sous
+cette hypothèse de connexité, il résulte du lemme \refext{Spec}{produit=somme} (i) que
+la surjection $A=k^X→B$ se factorise à travers un morphisme
+de projection $A↠k$ sur l'un des facteurs. Le morphisme
+induit $k → B$ étant surjectif, c'est un isomorphisme.
+L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable.
+
+Considérons maintenant un morphisme de $k$-algèbres $f:B → A$.
+Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{\japmath{田}A(k)}$
+de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B$.
+Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est
+également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la
+sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable.
+D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}:k^{\japmath{田}B(k)} → k^{\japmath{田}A(k)}$
+étant injectif, l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$
+est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est
+l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes sur les fibres de $\japmath{田}f$.
+Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$.
+Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une
sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.
-On a donc démontré le lemme suivant.
-\begin{lemme2}\label{sous-diag=nombre fini}
-Soit $A$ une $k$-algèbre diagonalisable.
-L'ensemble des sous-$k$-algèbres de $A$ est en bijection avec l'ensemble
-des partitions de $A^\japmath{田}(k)$. Cet ensemble est fini.
-\end{lemme2}
+Résumons les résultats obtenus.
+
+\begin{théorème2}
+\label{sous-diag=diag}
+\label{sous-diag=nombre fini}
+Soit $A$ une algèbre diagonalisable sur un corps.
+\begin{enumerate}
+\item L'ensemble des d'idéaux de $A$ est en bijection
+avec l'ensemble fini des parties de $π₀(A)$ et toute algèbre quotient de $A$ est également diagonalisable.
+\item L'ensemble des sous-algèbres de $A$ est
+en bijection avec l'ensemble fini des partitions de $π₀(A)$
+et toute sous-algèbre de $A$ est également diagonalisable.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
\subsection{Produit tensoriel de deux $k$-algèbres}\label{section définition restreinte produit tensoriel}
La notion de produit tensoriel d'algèbres et de modules joue un rôle central dans ce livre.
Pour la commodité du lecteur nous en donnons ici une définition
-\emph{ad hoc} dans le cas particulier de deux algèbres sur un corps.
+\emph{ad hoc} dans le cas particulier de deux algèbres sur un corps.
La définition générale, ainsi que les démonstrations
détaillées de ses propriétés essentielles se trouvent également
en appendice, \refext{Tens}{}.