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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-29 13:26:03 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-29 13:26:03 +0200
commita8e832b736ab4cd940bd10fe7cdf0b26616d547a (patch)
tree3e409ebd11adeed83a2344a91155d4d604ed6ab5 /chapitres
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex21
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index b90e7ea..3748ae5 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -987,8 +987,8 @@ construire des polynômes invariants par $H$ et qui « séparent » deux
points dont les coordonnées ne sont pas images l'une de l'autre par
l'action de $H$.
-Le lemme suivant est évident, mais nous le démontrons pour en
-souligner le caractère constructif :
+Le lemme suivant est évident (et très loin d'être optimal), mais nous
+le démontrons pour en souligner le caractère constructif :
\begin{lemme2}\label{interpolation-de-lagrange-en-d-variables}
Soit $K$ un corps, soient $x_1,\ldots,x_r \in K^d$ des $d$-uplets deux
à deux distincts d'éléments de $K$, et soient $y_1,\ldots,y_r \in K$
@@ -1064,7 +1064,7 @@ moins un, appelons-le $Q$, tel que $Q(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq
Q(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Ceci montre que (ii) n'est pas vérifié.
\end{proof}
-\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable}
+\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-polynomes-et-fractions-rationnelles}
Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
les racines comptées avec multiplicité dans un corps de
@@ -1079,8 +1079,7 @@ $\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont équivalentes :
invariante par $H$ (c'est-à-dire telle que
$R(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = R(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
$\sigma\in H$) et dont le dénominateur ne s'annule pas en
- $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
-\item \XXX
+ $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{proof}
@@ -1148,15 +1147,15 @@ sous l'action de $H$ : on a donc montré que cette orbite est $X$ tout
entier.
\end{proof}
-\begin{lemme2}
+\begin{proposition2}
Sous les conditions de la
-proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
+proposition \ref{action-sur-les-racines-polynomes-et-fractions-rationnelles},
supposons en outre que $K$ est de caractéristique $p$ et $f =
X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec $d=p^e$) sont
tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$. Alors les affirmations de
la proposition sont équivalentes à : $H$ opère
transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
-\end{lemme2}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Supposons d'abord que $H$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
Soit $P$ un $p$-Sylow de $H$ : alors $P$ opère encore transitivement
@@ -1180,14 +1179,14 @@ pas à $K$ car le polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de
degré $p^e$.
\end{proof}
-\begin{lemme2}
+\begin{proposition2}
Sous les conditions de la
-proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
+proposition \ref{action-sur-les-racines-polynomes-et-fractions-rationnelles},
supposons en outre que $f$ soit séparable sur $K$. Alors les
affirmations de la proposition sont équivalentes à : $H$ contient le
groupe de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ en
opérant sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$).
-\end{lemme2}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $H$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout polynôme $P
\in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ l'est en particulier par $G$