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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-23 17:58:22 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-23 17:58:22 +0100
commita9973f55afaa61ffa610972d7d6973d88ee4cfaa (patch)
tree8c31c2e73bc1f45620cece4147bdb52f8410471d /chapitres
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[Calculs] Une bribe de démonstration.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex47
1 files changed, 47 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index d87e8ba..c9b392e 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -958,6 +958,53 @@ non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
polynôme comme proposé.
\end{remarques2}
+\begin{proposition2}
+Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
+corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
+les racines comptées avec multiplicité dans un corps de rupture $L$.
+Alors, pour $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, les
+deux affirmations suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant
+ par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire tel que
+ $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
+ $\sigma\in \mathfrak{G}$) on a $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$,
+\item \XXX
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{lemme2}
+Sous les conditions de la proposition précédente, supposons en outre
+que $f = X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec
+$d=p^e$) sont tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$ (dans ces
+conditions, le corps $K$ est, bien entendu, de caractéristique $p$).
+Alors les deux affirmations de la proposition sont équivalentes à :
+$\mathfrak{G}$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Supposons d'abord que $\mathfrak{G}$ opère transitivement
+sur $\{1,\ldots,p^e\}$. Soit $P$ un $p$-Sylow de $\mathfrak{G}$ :
+alors $P$ opère encore transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$ (\XXX),
+donc on peut supposer que $\mathfrak{G}=P$, c'est-à-dire que l'ordre
+de $\mathfrak{G}$ est une puissance de $p$. Soit maintenant $M$ un
+monôme sur les variables $Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant
+par $\mathfrak{G}$, alors il peut s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e}
+Z_i)^r$, et sa valeur sur $(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r
+\in K$. Si $M$ n'est pas invariant par $\mathfrak{G}$, alors le
+nombre de ses conjugués par $\mathfrak{G}$ est une puissance non
+triviale de $p$, donc leur somme, évaluée sur l'élément diagonal
+$(\xi,\ldots,\xi)$, vaut $0$ dans $K$ qui est de caractéristique $p$.
+Il s'ensuit que si $P$ est un polynôme invariant par $\mathfrak{G}$,
+sa valeur sur $(\xi,\ldots,\xi)$ appartient à $K$.
+
+Si au contraire $\mathfrak{G}$ n'opère pas transitivement
+sur $\{1,\ldots,p^e\}$, considérons une orbite $O$ sous
+$\mathfrak{G}$, et le monôme $P$ produit des $Z_i$ pour $i\in O$.
+Alors $P$ est invariant par $\mathfrak{G}$, mais son image sur
+$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{\#O}$ qui n'appartient pas à $K$ car le
+polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de degré $p^e$.
+\end{proof}
+
\subsection{Résolvantes}
\begin{definition2}\label{definition-resolvante}