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authorFabrice (Sorcerer) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-23 19:52:30 +0100
committerFabrice (Sorcerer) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-23 19:52:30 +0100
commitaa11f268bc62934766de08b30c0a0c2ec5929be6 (patch)
treefe077acb3059de8dc5608d6fcdbeec431a519c2a /chapitres
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[AVD] dualité des corps locaux (début)
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-rw-r--r--chapitres/AVD.tex140
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diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD.tex
index e021fbf..d5b7857 100644
--- a/chapitres/AVD.tex
+++ b/chapitres/AVD.tex
@@ -690,12 +690,152 @@ la généralisation.
Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
\end{définition2}
+\section{Analyse harmonique : corps locaux}
+
+\subsection{Corps locaux}
+
+On note $𝐐_∞=𝐑$.
+
+\begin{définition2}
+On appelle \emph{corps local} un corps contenant
+un sous-corps isomorphe un corps $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de
+séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci.
+\end{définition2}
+
+\begin{remarque2}
+On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}) est localement compact
+si et seulement si il peut être muni d'une topologie
+non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
+\end{remarque2}
+
+Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
+Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$
+son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪$,
+et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
+le cardinal.
+
+\begin{définition2}
+Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble
+des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
+décroissante à l'infini suivante :
+\begin{itemize}
+\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact.
+\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction
+à une ou deux variables réelles et pour toute paire de
+polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction
+réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. \XXX
+\end{itemize}
+Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou
+\emph{Bruhat-Schwartz}.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Théorie additive}
+
+\subsubsection{}
+Caractères : ils sont continus.
+
+\begin{définition2}
+Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
+non-archimédien.
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+\begin{enumerate}
+\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes.
+Plus précisément :
+\begin{enumerate}
+\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$,
+et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$,
+\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\]
+est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$
+est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour
+un unique élément $λ ∈ k$.
+\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$,
+$K → \chap{K}$,
+\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\]
+est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$
+est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément
+$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\}
+∈ 𝐙_p$.
+\end{enumerate}
+\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme
+\[
+y ↦ \exp(2 i π λ y),
+\]
+pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application
+précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$.
+
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
+et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$.
+Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
+\[
+ℱ_{ψ,μ}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ.
+\]
+
+\begin{remarques2}
+Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est
+en fait une somme \emph{finie}.
+
+D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
+de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
+alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ}(f)$ comme une
+fonction sur $\chap{K}$.
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}
+\begin{enumerate}
+\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
+\item Il existe une constante $c_{ψ,μ}$ telle que
+\[
+ℱ_{ψ,μ} ∘ ℱ_{ψ,μ} = c_{ψ,μ} ⋅ [-1]^*,
+\]
+où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
+\item Il existe une unique mesure de Haar $μ_ψ$ telle que
+$c_{ψ,μ_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, on a $μ_ψ(𝒪)=q^{n/2}$
+où $n$ est le niveau de $ψ$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
+à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ_ψ}$.
+
+\begin{démo}
+Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
+\end{démo}
+
+\subsection{Théorie multiplicative}
+
+\subsection{Quasi-caractères}
+
+\begin{définition2}
+Conducteur.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Structure des quasi-caractères.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Cf. p. ex. Tate.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soit $μ^×$ une mesure de Haar sur $K^×$.
+
\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}
Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).
+\section{Notes}
+
+Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart}.
+
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}