summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-11-25 18:24:22 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-11-25 18:24:22 +0100
commitacb02a741911225891a40325b3d6d3b2bf74a415 (patch)
tree31e9012fb86e29145de296887837e5fa0dab9b85 /chapitres
parent67b5d565ff54baf8c5cf2ed136efc8e0ba87717c (diff)
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galois-acb02a741911225891a40325b3d6d3b2bf74a415.tar.bz2
galois-acb02a741911225891a40325b3d6d3b2bf74a415.zip
[calculs] Minuscule remarque sur la résolvante relativev (D_5 dans M_20).
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex12
1 files changed, 12 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 4271c95..682b65d 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2578,6 +2578,18 @@ $\mathfrak{S}_5$), la résolvante sextique $R_P(f)$ sera irréductible
seule façon dont cette résolvante puisse être réductible (si elle est
séparable), c'est d'avoir une racine.
+Il est facile de relier $P$ à $Q$ : on a $P = Q^2 - \sigma_2 Q +
+\sigma_1 \sigma_3 - 3 \sigma_4$ (avec $\sigma_i$ les fonctions
+symétriques élémentaires de $Z_1,\ldots,Z_5$), c'est-à-dire que la
+résolvante dans $D_5$ relativement à $Q$ vaut $R_{D_5,Q}(f) = X^2 -
+a_2 X + a_1 a_3 - 3 a_4 - \pi$ où $\pi$ est une racine de $R_P(f)$.
+En supposant $R_P(f)$ séparable et réductible, ce polynôme
+$R_{D_5,Q}(f)$ est donc réductible si, et lorsqu'il est séparable
+seulement si, le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_5$. Ceci
+ne présente qu'un intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon
+probablement déjà testé au préalable si le groupe de Galois de $f$ est
+inclus dans $\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = M_{20} \cap \mathfrak{A}_5$.
+
\ifx\danslelivre\undefined