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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-23 13:23:02 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-23 13:23:02 +0100
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[calculs] Promotion de sous-section à section de la partie sur Tschirnhaus.
Du coup, je la déplace avant les résolvantes.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex505
1 files changed, 255 insertions, 250 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index cea87ee..3e98e73 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -258,256 +258,9 @@ théorème 7.27.
factorisant successivement dans tous les corps de rupture possibles.
-\section{La notion de résolvante}
-
-\subsection{Polynômes invariants}
-
-La proposition suivante assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
-$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
-$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
-$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
-\begin{proposition2}\label{polynomes-invariants-de-sous-groupes}
-Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
-on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
-$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) =
-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$, alors il existe $P \in
-K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$. De plus,
-lorsque c'est le cas (pour un $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$), le corps $E
-:= \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est engendré sur corps $F :=
-\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des fonctions rationnelles
-totalement symétriques par l'unique élément $P$ (autrement dit, $E =
-F(P)$).
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Pour la première affirmation, on considère le polynôme
-\[
-P := \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d
-\]
-Manifestement, il comporte bien $\#H$ monômes distincts, il est
-invariant par $H$, et toute permutation $\sigma$ des variables le
-laissant invariant doit envoyer $Z_1 Z_2^2 \cdots Z_d^d$ sur un des
-monômes $Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d$ de
-sorte que $\sigma \in H$.
-
-Supposons maintenant $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$ tel que
-$\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$.
-
-Le lemme d'Artin (\refext{CG}{lemme-d-Artin}) assure que
-$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est une extension galoisienne de $F =
-\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ de groupe de
-Galois $\mathfrak{S}_d$, et d'après la correspondance de Galois
-(\refext{CG}{correspondance Galois finie}), l'extension intermédiaire
-$E = \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est séparable de degré
-$(\mathfrak{S}_d:H) = d!/\#H$ sur $F$.
-
-L'hypothèse que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$ entraîne que l'orbite
-de $P$ par $\mathfrak{S}_d$ est de cardinal $d!/\#H$, c'est-à-dire,
-que $P$ a $d!/\#H$ conjugués, donc ce nombre est son degré sur $F$.
-Il s'ensuit que $F(P)$ est inclus dans $E$ et que leurs degrés sur $F$
-sont égaux, donc $E = F(P)$.
-\end{proof}
-
-\begin{remarques2}
-La démonstration donnée ci-dessus est constructive, mais le polynôme
-$P = \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots
-Z_{\sigma(d)}^d$ ainsi construit est généralement très loin d'être
-optimal ! Lorsqu'on cherche à trouver un polynôme tel que décrit
-ci-dessus, pour construire une résolvante
-(cf. \ref{definition-resolvante} plus bas), il convient généralement
-d'essayer de symétriser un monôme de petit degré.
-
-Deux cas particuliers sont fréquemment importants : d'une part,
-lorsque $H$ est le stabilisateur d'une partie $A$ de cardinal $r$ de
-$\{1,\ldots,d\}$ (peu importe laquelle, les sous-groupes
-correspondants sont de toute façon conjugués), un polynôme $P$ évident
-comme ci-dessus est donné par $\sum_{i \in A} Z_i$. D'autre part,
-lorsque $H$ est le stabilisateur d'un $r$-uplet $(i_1,\ldots,i_r)$
-d'éléments de $\{1,\ldots,d\}$ (de nouveau, les sous-groupes
-correspondants sont conjugués), si le corps $K$ a au moins $r+1$
-éléments et que $c_1,\ldots,c_r \in K$ sont deux à deux distincts et
-non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
-polynôme comme proposé.
-\end{remarques2}
-
-\subsection{Résolvantes}
-
-\begin{definition2}\label{definition-resolvante}
-Soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ un polynôme en $d$ variables à
-coefficients dans un corps $K$, et soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} +
-\cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme (unitaire, de degré $d$) séparable
-à coefficients dans le même corps $K$ : si $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont
-les racines de $f$ dans son corps de décomposition noté $L$ (de sorte
-que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$). On définit la \emph{résolvante
- relativement à $P$} de $f$ comme
-\[
-R_P(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
-(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}))
-\in L[X]
-\]
-où $H = \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \{\sigma\in\mathfrak{S}_d :
-F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
-stabilisateur de $F$ pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ opérant sur
-$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ par permutation des variables ; ce polynôme
-$R_P(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
-
-Avec les notations $P,H$ du paragraphe précédent, on appelle
-\emph{résolvante générale relativement à $P$} le polynôme
-\[
-R_P = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
-(X-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))
-\in K[X,Z_1,\ldots,Z_d]
-\]
-totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$.
-
-Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, si $\mathfrak{G}$ est
-un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ contenant le groupe de Galois
-$\Gal(L/K)$ de $f$ (vu comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ par la
-numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines), on définit
-la \emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement à $P$} de $f$
-comme
-\[
-R_{\mathfrak{G},P}(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
-(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})) \in L[X]
-\]
-où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(F) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
-F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
-stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse que
-$\mathfrak{G}$ contient $\Gal(L/K)$ assure ce polynôme
-$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
-\end{definition2}
-
-Le fait que $R_P(f)$ et $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sont à coefficients
-dans $K$ est clair puisqu'ils sont invariants par $\Gal(L/K)$ (en
-effet, $\Gal(L/K)$ opère en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs
-de $R_P(f)$, et aussi, grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq
-\mathfrak{G}$, de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$).
-
-Le fait que la résolvante générale $R_P$ est un polynôme totalement
-symétrique dans les $Z_1,\ldots,Z_d$ n'est pas moins clair : on le
-considérera donc, généralement, comme polynôme dans les fonctions
-symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ ; ceci permet de
-considérer $R_P(f)$ comme l'évaluation de $R_P$ en remplaçant
-$\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ (et ceci démontre de nouveau que $R_P(f)
-\in K[X]$). On pourrait définir de façon évidente une résolvante
-générale $R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
-de $\mathfrak{S}_d$, mais le polynôme ainsi défini n'est pas
-totalement symétrique dans les $Z_i$.
+\section{Transformations de Tschirnhaus}
-\begin{exemples2}\label{exemples-resolvantes}
-\begin{itemize}
-\item Si $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un polynôme totalement
- symétrique en $Z_1,\ldots,Z_d$, alors $H :=
- \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \mathfrak{S}_d$, si bien que $R_P$ est
- simplement le polynôme linéaire $X - P(Z_1,\ldots,Z_d)$ et, pour
- chaque $f \in K[X]$, le polynôme $R_P(f)$ vaut simplement $X-c$ où
- $c$ est la valeur $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ obtenue en remplaçant
- $\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ dans une écriture de $P$ au moyen des
- fonctions symétriques élémentaires $\sigma_i$ des $Z_i$.
-\item Si $K$ est de caractéristique $\neq 2$ et si $P = \prod_{i<j}
- (Z_i-Z_j)$ (cf. \refext{CG}{construction discriminant et
- 2-distinguant}), alors $H = \mathfrak{A}_d$, et $R_P = X^2 -
- \Delta_{2'}$ avec les notations de \refext{CG}{definition
- discriminant et 2-distinguant}, c'est-à-dire que $R_P(f) = X^2 -
- \Delta(f)$ où $\Delta(f)$ est le discriminant de $f$. En
- particulier, la proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
- alterne} assure que $f$ (un polynôme séparable quelconque) est
- inclus dans le groupe alterné $\mathfrak{A}_d$ si et seulement si
- $R_P(f)$ est scindé sur $K$.
-\item Considérons (pour $d=4$) le polynôme $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 \in
- \QQ[Z_1,\ldots,Z_4]$. On a alors $H = \{\Id, (1\,3), (2\,4),
- (1\,3)(2\,4), \penalty-100 (1\,2)(3\,4), (1\,4)(2\,3), (1\,2\,3\,4),
- (1\,4\,3\,2)\}$ (groupe diédral du carré ont les sommets sont
- cycliquement numérotés $1,2,3,4$), et l'ensemble des classes à
- gauche $\mathfrak{S}_4/H$ a trois éléments, les deux autres images
- correspondantes de $P$ étant $P' = Z_1 Z_2 + Z_3 Z_4$ et $P'' = Z_1
- Z_4 + Z_2 Z_3$. Le polynôme $R_P = (X-P)(X-P')(X-P'')$ s'écrit $X^3
- - \sigma_2 X^2 + (\sigma_1 \sigma_3 - 4 \sigma_4) X - \sigma_1 ^2
- \sigma_4 - \sigma_3^2 + 4 \sigma_2 \sigma_4$ : c'est-à-dire que si
- $f = X^4 + a_1 X^3 + a_2 X^2 + a_3 X + a_4$ alors $R_P(f) = X^3 -
- a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X - a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4$.
- Remarquons notamment que si $f$ est de la forme $X^4 + a_2 X^2 +
- a_4$ (c'est-à-dire $a_1 = a_3 = 0$) alors $R_P(f) = X^3 - a_2 X^2 -
- 4 a_4 X + 4 a_2 a_4$ se factorise comme $(X - a_2)\, (X^2 - 4 a_4)$
- dans $K[X]$.
-\item Si $P = Z_1$, alors $H$ est le fixateur de $1$
- dans $\mathfrak{S}_d$, et $\mathfrak{S}_d/H$ s'identifie à
- $\{1,\ldots,d\}$, si bien que $R_P(f)$ est simplement le polynôme
- $f$ lui-même.
-\end{itemize}
-\end{exemples2}
-
-La proposition suivante justifie l'intérêt porté à la notion de
-résolvante pour le calcul de groupes de Galois :
-
-\begin{proposition2}\label{utilisation-des-resolvantes}
-Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
-(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$
-dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe
-$\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, et soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$
-dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur dans
-$\mathfrak{G}$ opérant en permutant les indéterminées $Z_i$. Alors :
-\begin{itemize}
-\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué
- de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors
- $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine dans $K$,
-\item et réciproquement, \emph{en supposant que
- $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable}, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
- admet une racine dans $K$, le groupe de Galois $G$ de $f$ est
- contenu dans un conjugué de $H$.
-\end{itemize}
-Plus précisément, en supposant $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ séparable, le
-groupe de Galois de ce dernier est isomorphe à $G/(G \cap
-\bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$ opérant sur
-l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Supposons d'abord que $G$ est contenu dans un conjugué $\sigma H
-\sigma^{-1}$ (pour $\sigma \in \mathfrak{G}$) de $H$. Alors, comme le
-polynôme $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$ est invariant par
-$\sigma H \sigma^{-1}$ (opérant en permutant les variables), l'élément
-$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $L$ est invariant
-par $G$, donc appartient à $K$, de sorte que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
-admet cette racine dans $K$.
-
-Montrons maintenant la dernière affirmation : comme les racines
-$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de
-$R_{\mathfrak{G},P}(f)$, donc le corps de décomposition de ce dernier,
-sont contenues dans $L$, le groupe de Galois
-de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est un quotient de $G$, et il s'agit de
-comprendre l'action de $G$ sur $\mathscr{R} :=
-\{P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) : \sigma\in\mathfrak{G}\}$
-(le groupe de Galois de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sera le quotient de
-$G$ par le noyau de cette action). Posons $X = \mathfrak{G}/H$ : on
-définit une application $X \to \mathscr{R}$ envoyant $\sigma H$ sur
-$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ : celle-ci est bien
-définie (car si $\tau \in H$ alors
-$P(\xi_{\sigma\tau(1)},\ldots,\xi_{\sigma\tau(d)}) =
-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ vu que $P$ est invariant
-par $\tau$). Cette application est une surjection par définition
-de $\mathscr{R}$, et une bijection car l'hypothèse de séparabilité
-de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ assure que $\mathscr{R}$ et $X$ ont même
-cardinal. Enfin, elle transporte l'action de $G$ sur $X$ par
-multiplication à gauche en l'action naturelle de $G$
-sur $\mathscr{R}$. Ceci montre bien l'affirmation recherchée : le
-noyau de l'action de $G$ sur $X$ par multiplication à gauche est $G/(G
-\cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$.
-
-Enfin, dans le cas particulier où $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une
-racine dans $K$, avec les notations ci-dessus ceci signifie que $G$
-fixe un élément $\sigma H$ de $X = \mathfrak{G}/H$, c'est-à-dire que
-$G \leq \sigma H\sigma^{-1}$.
-\end{proof}
-
-\XXX --- vérifier que je ne me suis pas trompé dans la latéralité des
-actions des trucs les uns sur les autres.
-
-On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que
-$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, qu'il est scindé sur $K$ si et
-seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans
-$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
-grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
-
-\subsection{Transformations de Tschirnhaus}
+\subsection{Généralités}
\begin{definition2}\label{definition-transformation-de-tschirnhaus}
Soit $P \in k[X]$ un polynôme unitaire à coefficients dans un
@@ -893,6 +646,8 @@ les $(\lambda,\mu)$ tels que $\mu = \frac{b}{2}(\lambda-1)$ --- \XXX
revérifier ce truc.)
\end{exemple2}
+\subsection{Transformations de Tschirnhaus et factorisation}
+
Cherchons à présent à montrer comment les transformations de
Tschirnhaus sur un polynôme quelconque peuvent se ramener à celles sur
un polynôme irréductible. Commençons par le cas facile d'un produit
@@ -999,7 +754,7 @@ Ceci découle de \ref{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit} et
\ref{relevement-transformation-de-tschirnhaus}.
\end{proof}
-\medbreak
+\subsection{Polynômes Tschirnhaus-équivalents}
Intéressons-nous maintenant à la relation d'équivalence définie par
l'existence d'une transformation de Tschirnhaus :
@@ -1130,6 +885,256 @@ corps $\QQ(\root4\of2)$ et $\QQ(\root4\of{-2})$ ne sont pas
isomorphes.
\end{exemple2}
+
+\section{La notion de résolvante}
+
+\subsection{Polynômes invariants}
+
+La proposition suivante assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
+$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
+$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
+$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
+\begin{proposition2}\label{polynomes-invariants-de-sous-groupes}
+Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
+on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
+$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) =
+P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$, alors il existe $P \in
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$. De plus,
+lorsque c'est le cas (pour un $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$), le corps $E
+:= \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est engendré sur corps $F :=
+\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des fonctions rationnelles
+totalement symétriques par l'unique élément $P$ (autrement dit, $E =
+F(P)$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour la première affirmation, on considère le polynôme
+\[
+P := \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d
+\]
+Manifestement, il comporte bien $\#H$ monômes distincts, il est
+invariant par $H$, et toute permutation $\sigma$ des variables le
+laissant invariant doit envoyer $Z_1 Z_2^2 \cdots Z_d^d$ sur un des
+monômes $Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d$ de
+sorte que $\sigma \in H$.
+
+Supposons maintenant $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$ tel que
+$\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$.
+
+Le lemme d'Artin (\refext{CG}{lemme-d-Artin}) assure que
+$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est une extension galoisienne de $F =
+\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ de groupe de
+Galois $\mathfrak{S}_d$, et d'après la correspondance de Galois
+(\refext{CG}{correspondance Galois finie}), l'extension intermédiaire
+$E = \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est séparable de degré
+$(\mathfrak{S}_d:H) = d!/\#H$ sur $F$.
+
+L'hypothèse que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$ entraîne que l'orbite
+de $P$ par $\mathfrak{S}_d$ est de cardinal $d!/\#H$, c'est-à-dire,
+que $P$ a $d!/\#H$ conjugués, donc ce nombre est son degré sur $F$.
+Il s'ensuit que $F(P)$ est inclus dans $E$ et que leurs degrés sur $F$
+sont égaux, donc $E = F(P)$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+La démonstration donnée ci-dessus est constructive, mais le polynôme
+$P = \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots
+Z_{\sigma(d)}^d$ ainsi construit est généralement très loin d'être
+optimal ! Lorsqu'on cherche à trouver un polynôme tel que décrit
+ci-dessus, pour construire une résolvante
+(cf. \ref{definition-resolvante} plus bas), il convient généralement
+d'essayer de symétriser un monôme de petit degré.
+
+Deux cas particuliers sont fréquemment importants : d'une part,
+lorsque $H$ est le stabilisateur d'une partie $A$ de cardinal $r$ de
+$\{1,\ldots,d\}$ (peu importe laquelle, les sous-groupes
+correspondants sont de toute façon conjugués), un polynôme $P$ évident
+comme ci-dessus est donné par $\sum_{i \in A} Z_i$. D'autre part,
+lorsque $H$ est le stabilisateur d'un $r$-uplet $(i_1,\ldots,i_r)$
+d'éléments de $\{1,\ldots,d\}$ (de nouveau, les sous-groupes
+correspondants sont conjugués), si le corps $K$ a au moins $r+1$
+éléments et que $c_1,\ldots,c_r \in K$ sont deux à deux distincts et
+non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
+polynôme comme proposé.
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Résolvantes}
+
+\begin{definition2}\label{definition-resolvante}
+Soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ un polynôme en $d$ variables à
+coefficients dans un corps $K$, et soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} +
+\cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme (unitaire, de degré $d$) séparable
+à coefficients dans le même corps $K$ : si $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont
+les racines de $f$ dans son corps de décomposition noté $L$ (de sorte
+que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$). On définit la \emph{résolvante
+ relativement à $P$} de $f$ comme
+\[
+R_P(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}))
+\in L[X]
+\]
+où $H = \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \{\sigma\in\mathfrak{S}_d :
+F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
+stabilisateur de $F$ pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ opérant sur
+$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ par permutation des variables ; ce polynôme
+$R_P(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
+
+Avec les notations $P,H$ du paragraphe précédent, on appelle
+\emph{résolvante générale relativement à $P$} le polynôme
+\[
+R_P = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))
+\in K[X,Z_1,\ldots,Z_d]
+\]
+totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$.
+
+Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, si $\mathfrak{G}$ est
+un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ contenant le groupe de Galois
+$\Gal(L/K)$ de $f$ (vu comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ par la
+numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines), on définit
+la \emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement à $P$} de $f$
+comme
+\[
+R_{\mathfrak{G},P}(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
+(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})) \in L[X]
+\]
+où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(F) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
+F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
+stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse que
+$\mathfrak{G}$ contient $\Gal(L/K)$ assure ce polynôme
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
+\end{definition2}
+
+Le fait que $R_P(f)$ et $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sont à coefficients
+dans $K$ est clair puisqu'ils sont invariants par $\Gal(L/K)$ (en
+effet, $\Gal(L/K)$ opère en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs
+de $R_P(f)$, et aussi, grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq
+\mathfrak{G}$, de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$).
+
+Le fait que la résolvante générale $R_P$ est un polynôme totalement
+symétrique dans les $Z_1,\ldots,Z_d$ n'est pas moins clair : on le
+considérera donc, généralement, comme polynôme dans les fonctions
+symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ ; ceci permet de
+considérer $R_P(f)$ comme l'évaluation de $R_P$ en remplaçant
+$\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ (et ceci démontre de nouveau que $R_P(f)
+\in K[X]$). On pourrait définir de façon évidente une résolvante
+générale $R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
+de $\mathfrak{S}_d$, mais le polynôme ainsi défini n'est pas
+totalement symétrique dans les $Z_i$.
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-resolvantes}
+\begin{itemize}
+\item Si $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un polynôme totalement
+ symétrique en $Z_1,\ldots,Z_d$, alors $H :=
+ \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \mathfrak{S}_d$, si bien que $R_P$ est
+ simplement le polynôme linéaire $X - P(Z_1,\ldots,Z_d)$ et, pour
+ chaque $f \in K[X]$, le polynôme $R_P(f)$ vaut simplement $X-c$ où
+ $c$ est la valeur $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ obtenue en remplaçant
+ $\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ dans une écriture de $P$ au moyen des
+ fonctions symétriques élémentaires $\sigma_i$ des $Z_i$.
+\item Si $K$ est de caractéristique $\neq 2$ et si $P = \prod_{i<j}
+ (Z_i-Z_j)$ (cf. \refext{CG}{construction discriminant et
+ 2-distinguant}), alors $H = \mathfrak{A}_d$, et $R_P = X^2 -
+ \Delta_{2'}$ avec les notations de \refext{CG}{definition
+ discriminant et 2-distinguant}, c'est-à-dire que $R_P(f) = X^2 -
+ \Delta(f)$ où $\Delta(f)$ est le discriminant de $f$. En
+ particulier, la proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
+ alterne} assure que $f$ (un polynôme séparable quelconque) est
+ inclus dans le groupe alterné $\mathfrak{A}_d$ si et seulement si
+ $R_P(f)$ est scindé sur $K$.
+\item Considérons (pour $d=4$) le polynôme $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 \in
+ \QQ[Z_1,\ldots,Z_4]$. On a alors $H = \{\Id, (1\,3), (2\,4),
+ (1\,3)(2\,4), \penalty-100 (1\,2)(3\,4), (1\,4)(2\,3), (1\,2\,3\,4),
+ (1\,4\,3\,2)\}$ (groupe diédral du carré ont les sommets sont
+ cycliquement numérotés $1,2,3,4$), et l'ensemble des classes à
+ gauche $\mathfrak{S}_4/H$ a trois éléments, les deux autres images
+ correspondantes de $P$ étant $P' = Z_1 Z_2 + Z_3 Z_4$ et $P'' = Z_1
+ Z_4 + Z_2 Z_3$. Le polynôme $R_P = (X-P)(X-P')(X-P'')$ s'écrit $X^3
+ - \sigma_2 X^2 + (\sigma_1 \sigma_3 - 4 \sigma_4) X - \sigma_1 ^2
+ \sigma_4 - \sigma_3^2 + 4 \sigma_2 \sigma_4$ : c'est-à-dire que si
+ $f = X^4 + a_1 X^3 + a_2 X^2 + a_3 X + a_4$ alors $R_P(f) = X^3 -
+ a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X - a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4$.
+ Remarquons notamment que si $f$ est de la forme $X^4 + a_2 X^2 +
+ a_4$ (c'est-à-dire $a_1 = a_3 = 0$) alors $R_P(f) = X^3 - a_2 X^2 -
+ 4 a_4 X + 4 a_2 a_4$ se factorise comme $(X - a_2)\, (X^2 - 4 a_4)$
+ dans $K[X]$.
+\item Si $P = Z_1$, alors $H$ est le fixateur de $1$
+ dans $\mathfrak{S}_d$, et $\mathfrak{S}_d/H$ s'identifie à
+ $\{1,\ldots,d\}$, si bien que $R_P(f)$ est simplement le polynôme
+ $f$ lui-même.
+\end{itemize}
+\end{exemples2}
+
+La proposition suivante justifie l'intérêt porté à la notion de
+résolvante pour le calcul de groupes de Galois :
+
+\begin{proposition2}\label{utilisation-des-resolvantes}
+Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
+(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$
+dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe
+$\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, et soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$
+dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur dans
+$\mathfrak{G}$ opérant en permutant les indéterminées $Z_i$. Alors :
+\begin{itemize}
+\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué
+ de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors
+ $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine dans $K$,
+\item et réciproquement, \emph{en supposant que
+ $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable}, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+ admet une racine dans $K$, le groupe de Galois $G$ de $f$ est
+ contenu dans un conjugué de $H$.
+\end{itemize}
+Plus précisément, en supposant $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ séparable, le
+groupe de Galois de ce dernier est isomorphe à $G/(G \cap
+\bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$ opérant sur
+l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons d'abord que $G$ est contenu dans un conjugué $\sigma H
+\sigma^{-1}$ (pour $\sigma \in \mathfrak{G}$) de $H$. Alors, comme le
+polynôme $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$ est invariant par
+$\sigma H \sigma^{-1}$ (opérant en permutant les variables), l'élément
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $L$ est invariant
+par $G$, donc appartient à $K$, de sorte que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+admet cette racine dans $K$.
+
+Montrons maintenant la dernière affirmation : comme les racines
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$, donc le corps de décomposition de ce dernier,
+sont contenues dans $L$, le groupe de Galois
+de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est un quotient de $G$, et il s'agit de
+comprendre l'action de $G$ sur $\mathscr{R} :=
+\{P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) : \sigma\in\mathfrak{G}\}$
+(le groupe de Galois de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sera le quotient de
+$G$ par le noyau de cette action). Posons $X = \mathfrak{G}/H$ : on
+définit une application $X \to \mathscr{R}$ envoyant $\sigma H$ sur
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ : celle-ci est bien
+définie (car si $\tau \in H$ alors
+$P(\xi_{\sigma\tau(1)},\ldots,\xi_{\sigma\tau(d)}) =
+P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ vu que $P$ est invariant
+par $\tau$). Cette application est une surjection par définition
+de $\mathscr{R}$, et une bijection car l'hypothèse de séparabilité
+de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ assure que $\mathscr{R}$ et $X$ ont même
+cardinal. Enfin, elle transporte l'action de $G$ sur $X$ par
+multiplication à gauche en l'action naturelle de $G$
+sur $\mathscr{R}$. Ceci montre bien l'affirmation recherchée : le
+noyau de l'action de $G$ sur $X$ par multiplication à gauche est $G/(G
+\cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$.
+
+Enfin, dans le cas particulier où $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une
+racine dans $K$, avec les notations ci-dessus ceci signifie que $G$
+fixe un élément $\sigma H$ de $X = \mathfrak{G}/H$, c'est-à-dire que
+$G \leq \sigma H\sigma^{-1}$.
+\end{proof}
+
+\XXX --- vérifier que je ne me suis pas trompé dans la latéralité des
+actions des trucs les uns sur les autres.
+
+On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, qu'il est scindé sur $K$ si et
+seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans
+$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
+grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
+
\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du