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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-06 16:04:22 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-06 16:04:22 +0200
commitadbd80b67ed5c18e13aceeb6b43ebdc9944dc988 (patch)
tree8d9e060af3c89c41594a73ca38c646453a4a1977 /chapitres
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[Gröbner] Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme.
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex61
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 6449814..b8a6168 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -15,6 +15,8 @@
%\usepackage{tikz}
%\usetikzlibrary{matrix,arrows}
+\externaldocument{spectre}
+
\synctex=1
\title{Bases de Gr\"{o}bner et applications}
@@ -92,7 +94,9 @@ algébrique (on parlera d'ordre « admissible » ci-dessous), et toutes
les définitions seront relatives à ce choix d'un ordre monomial.
Pour se faire une idée du contexte dans lequel on utilisera ces
-notions, on pourra notamment penser au cas où $f \in k[X]$ est un
+notions, on pourra notamment penser au cas, qui sera étudié plus
+précisément en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle}
+ci-dessous, où $f \in k[X]$ est un
polynôme univarié irréductible et séparable, disons $f = X^d + a_1
X^{d-1} + \cdots + a_d$ et où on considère l'idéal $I$ de
$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$
@@ -1372,10 +1376,61 @@ vient de présenter).
\end{remarque2}
-\subsubsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}
+\subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle}
+
+\begin{proposition2}\label{relations-algebre-de-decomposition-universelle}
+Soit $k$ un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire, disons $f =
+X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d$. On considère l'idéal $I$ de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$
+où $\sigma_i$ désigne le $i$-ième polynôme symétrique élémentaire en
+$Z_1,\ldots,Z_d$. Alors $I$ est de dimension $0$, et une base de
+Gröbner de $I$ pour l'ordre lexicographique (où on est convenu
+d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots
+\preceq Z_d$) est fourni par les
+\[
+h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) - \sum_{j=1}^k a_j h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})
+\]
+où $h_j$ est le $i$-ième polynôme homogène symétrique complet de
+$Z_1,\ldots,Z_d$, c'est-à-dire la somme de tous les monômes de degré
+$i$ en ces variables (on pose notamment $h_0=1$), et
+$h_j(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$ signifie qu'il est évalué en remplaçant
+les $i-1$ dernières variables par $0$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+\XXX
+\end{proof}
+
+\begin{exemple2}
+Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est
+formée des trois relations : $Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $Z_2^2 + Z_1
+Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $Z_3 + Z_2 + Z_1 + 1$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-algebre-de-decomposition-universelle}
+Si $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire dont on note
+$a_i$ le coefficient de degré $d-i$, l'algèbre $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$,
+où $I$ est l'idéal (décrit
+en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}) engendré par
+les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de
+ décomposition universelle} de $f$.
+\end{definition2}
+
+
+\subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}
+
+On rappelle (\XXX) qu'un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit
+\emph{radical} lorsque $x^n \in I$ implique $x \in I$ (quel que
+soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $A/I$ est réduit.
+
+Soit maintenant $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Si $I$ est à la fois radical
+et de dimension $0$, autrement dit si $A/I$ est réduit et artinien,
+d'après \refext{Spec}{artinien réduit=produit corps}, cet anneau est
+un produit de corps, à savoir les $A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$
+parcourt les idéaux maximaux de $A$ contenant $I$, qui sont en nombre
+fini et dont $I$ est l'intersection (\XXX).
-\subsubsection{Idéaux premiers de dimension $0$}
+\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\strut