summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-20 17:56:22 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-20 17:56:22 +0200
commitadebca82716b7b7afd0df77ea36dbf1c4a3fffa1 (patch)
tree3cdcf1d7a3b997ba0530252dd6deade6b2d8ac95 /chapitres
parentd234e5e67015aeffdd265597025bfdf2ba7aa038 (diff)
downloadgalois-adebca82716b7b7afd0df77ea36dbf1c4a3fffa1.zip
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[Gröbner] Discussion qu'il va falloir reformuler comme une démonstration.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex16
1 files changed, 16 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 505746f..a8265dd 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1863,6 +1863,22 @@ l'anneau ci-dessus : lui aussi est intègre si $I$ est premier, et a
des diviseurs de $0$ s'il y en a déjà dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$.
\end{proof}
+En fait, on a fait mieux : une fois trouvés $c_1,\ldots,c_d$ tels que
+$I$ soit en position nette par rapport à $c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d$
+au sens où l'idéal $\tilde I$ engendré par $I$ et $Y - (c_1 Z_1 +
+\cdots + c_d Z_d)$ est en position nette par rapport à $Y$ dans $k[Y,
+ Z_1,\ldots,Z_d]$, si $h$ est le générateur de l'idéal d'élimination
+$\tilde I \cap k[Y]$, on a $k[Y]/(h) = k[Y] / (\tilde I \cap k[Y])
+\cong k[Y, Z_1,\ldots,Z_d] / \tilde I \cong k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ : si
+$h = h_1 \cdots h_r$ est la décomposition en facteurs irréductibles
+de $h$ (forcément étrangers puisque $h$ est sans facteur carré), alors
+le théorème chinois assure que $k[Y]/(h)$ est le produit des
+$k[Y]/(h_i)$, si bien que, en appelant $g_i$ le polynôme obtenu en
+substituant $c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d$ à $Y$ dans $h_i$, et $J_i$
+l'idéal $I + (g_i)$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, on a $k[Y]/(h_i) \cong
+k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$, les $J_i$ sont donc premiers et $k[Y]/(h)
+\cong \prod_i (k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i)$. Ceci prouve :
+