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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-12 15:16:25 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-12 15:16:25 +0200
commitaf24249cab5a90b1d44f4bd666c6168b37106dbc (patch)
treef80316138a672b1dfd7babe3f030cce51a2f4b45 /chapitres
parent9d697f9716813e67229fb829ac1f926bd8d6019a (diff)
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galois-af24249cab5a90b1d44f4bd666c6168b37106dbc.tar.gz
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[Gröbner] Suite exemple (explications peut-être un peu vaseuses).
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex24
1 files changed, 18 insertions, 6 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 5932fb9..14762c7 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1900,18 +1900,30 @@ suivants : $Y^6 - 14 Y^4 + 49 Y^2 - 49$, $Z_1 + \frac{3}{14} Y^4 -
\frac{5}{2} Y^2 - \frac{1}{2} Y + 5$, $Z_2 + \frac{3}{14} Y^4 -
\frac{5}{2} Y^2 + \frac{1}{2} Y + 5$ et $Z_3 - \frac{3}{7} Y^4 + 5 Y^2
- 9$. Le premier polynôme $h(Y) = Y^6 - 14 Y^4 + 49 Y^2 - 49$ de
-cette liste, se factorise comme $(Y^3 - 7 Y - 7) \penalty0\, (Y^3 - 7
-Y + 7)$. En appelant $h_1$ et $h_2$ ces deux facteurs (dans l'ordre
+cette liste, se factorise comme $(Y^3 - 7 Y + 7) \penalty0\, (Y^3 - 7
+Y - 7)$. En appelant $h_1$ et $h_2$ ces deux facteurs (dans l'ordre
où on les a écrits), les deux idéaux maximaux de $\QQ[Y,Z_1,Z_2,Z_3]$
contenant $\tilde I$ sont $\tilde J_1 = \tilde I + (h_1)$ et $\tilde
J_2 = \tilde I + (h_2)$ (par exemple, $\tilde J_1$ a pour base de
-Gröbner $Y^3 - 7 Y - 7$, $Z_1 - Y^2 + Y + 5$, $Z_2 - Y^2 + 2 Y + 5$ et
-$Z_3 + 2 Y^2 - 3 Y - 9$), et les deux idéaux maximaux de
+Gröbner $Y^3 - 7 Y + 7$, $Z_1 - Y^2 - 2 Y + 5$, $Z_2 - Y^2 - Y + 5$ et
+$Z_3 + 2 Y^2 + 3 Y - 9$), et les deux idéaux maximaux de
$\QQ[Z_1,Z_2,Z_3]$ contenant $I$ sont $J_1 = I + (g_1)$ et $J_2 = I +
(g_2)$ où $g_1 = h_1(c_1 Z_1 + c_2 Z_2 + c_3 Z_3) = h_1(Z_1-Z_2)$ et
de même pour $g_2$. On peut bien sûr en calculer une base de Gröbner,
-par exemple pour $J_1$ : $Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $Z_2 + Z_1^2 +
-Z_1 - 1$ et $Z_3 - Z_1^2 + 2$.
+par exemple pour $J_1$ : $Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $Z_2 - Z_1^2 +
+2$ et $Z_3 + Z_1^2 + Z_1 - 1$.
+
+Pour rendre cet exemple plus compréhensible, notons que les racines de
+$f$ dans $\CC$ sont $\xi_1 = \cos\frac{2\pi}{7}$, $\xi_2 =
+\cos\frac{4\pi}{7}$ et $\xi_3 = \cos\frac{6\pi}{7}$ : les relations
+$q_1,q_2,q_3$ engendrent l'idéal $I$ de toutes les relations possibles
+entre $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ quelle que soit la manière dont on les nomme
+$Z_1,Z_2,Z_3$, et le polynôme $h$ a pour racines les six différences
+possibles $Y = Z_1 - Z_2$ où $Z_1,Z_2$ sont deux quelconques des
+$\xi_i$. Le fait de choisir d'annuler $h_1$ ou $h_2$ limite les choix
+de nommages de $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ en $Z_1,Z_2,Z_3$ à seulement trois
+possibilités parmi les six : on va expliquer pourquoi ce qu'on a fait
+revient exactement à calculer le groupe de Galois de $f$.
\end{exemple2}