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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-21 18:26:23 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-21 18:26:23 +0100 |
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[LG] formule de la moyenne/masse [à réécrire/vérifier]
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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 55 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index fa596dd..8dd27f6 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -5475,9 +5475,9 @@ D'après \ref{formule-des-traces}, la majoration de la différence $|N(n)-(1+q^n)|$ est conséquence immédiate des égalités $|α_i|=q^{½}$. La réciproque est élémentaire (cf. \ref{} ci-dessous). \XXX -\subsubsection{Stratégie} +\subsection{Stratégie et majoration fondamentale} -Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, +\subsubsection{}Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, pour chaque entier $n ≥ 1$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$ de degré $n$. On veut estimer la taille — notée $N(n)$ ci-dessus — des ensembles $X(k_n)$ définis en \ref{notation-Xk}. @@ -5488,7 +5488,7 @@ $X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$. (Explicitement : par composition d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation avec la puissance $q$ de $\sur{k} ∪ \{∞\}$ dans lui-même.) -Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps +\subsubsection{}Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps $k(t)$, corps dont on note $𝐏¹_k$ le foncteur des $k$-places ultramétriques (\ref{notation-Xk}). Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹_k(\sur{k})$ et si le morphisme correspondant est net, il existe un unique $σ ∈ G$ tel @@ -5503,13 +5503,26 @@ Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$. +\subsubsection{} +Pour contourner le problème de ramification auquel il a été +fait allusion ci-dessus, il est utile d'introduire — suivant +\cite[chap. 4]{Fried-Jarden} — le nombre de points fixes pondérés par +le degré : +\[ +\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)= ∑_{x ∈ X \atop σ(x)=\Frob_k(x)} \deg(x). +\] +(Voir \ref{formule de la moyenne}, \emph{infra}.) +Notons le cas particulier important suivant (cas où $σ=\Id$) : +\[ +\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^\Id|X(\sur{k})\big)=\# \Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=\# X(k). +\] \begin{théorème2}[Bombieri] Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$, satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$. Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration \[ -\# \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}. +\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}. \] En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)√{q}$. \end{théorème2} @@ -5579,6 +5592,38 @@ Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$, le cardinal recherché est donc inférieur ou égal à $1+(N+q′M)=(1+q)+(2g+1)q′-1$. CQFD. \end{démo} + +\subsection{Minoration et fin de l'argument} + +\begin{proposition2} +\label{formule de la moyenne} +Soit $L\bo K$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ +et soit $Y$ l'ensemble des points du corps global $L$. +Si le corps des constantes de $L$ égal à $k$ alors, pour tout +$σ ∈ \Aut(K \bo k)$, on a la formule de la moyenne : +\[ +\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big) +=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big). +\] +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Fixons un $x ∈ X$ tel que $σ(x)=\Frob_k(x)$. +Soit $r$ le cardinal de la fibre $Y_x$, $e$ l'indice de ramification +des $y$ dans cette fibre et $f$ le degré de l'extension résiduelle. +On a $\# G = efr$. Pour chaque $y$ dans la fibre, il existe exactement +$e$ éléments $γ ∈ G$ tels que $γ σ(y)=\Frob_k(y)$ et chaque $y$ +est de degré $f$ sur le corps résiduel de $x$. La formule +à démontrer est donc conséquence de l'égalité « ponctuelle » +\[ +1 = \frac{1}{\#G} (r × e × f). +\] +[On doit pouvoir dire ça mieux] \XXX +\end{démo} + +\subsubsection{} + + \[⁂\] Utiliser astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$ @@ -5588,8 +5633,6 @@ pour simplifier ? (cas $σ=1$ ?). $B_K(n) = q^n/n + O(q^{n/2})$ [cf. Gauß]. \end{corollaire2} -[référence optimale : [Fried-Jarden] (et Katz) pour interprétation un chouia -géométrique.] \subsection{Dévissage} |