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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-01-25 14:12:09 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-01-25 14:12:09 +0100 |
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[Radicaux] Très légères améliorations rédactionnelles.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 17 |
1 files changed, 12 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 0b8f1f2..4bcf56f 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1256,7 +1256,13 @@ de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ près. Compte tenu du fait que $\xi_0 + \xi_1 + (selon le choix de la détermination de chaque racine cubique) parcourent les $\zeta^j \xi_i$. -\XXX +En résumé, les racines de $X^3 + pX + q$ en caractéristique $\neq 2,3$ +sont de la forme : +\[ +\zeta^{j} \root3\of{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} ++ \zeta^{j'} \root3\of{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} +\] +pour certaines combinaisons de $j,j'$. \subsubsection{} Pour $k$ de caractéristique $3$, étudions maintenant la résolution par radicaux de l'équation $X^3 + b X^2 + c X + d = 0$ @@ -1304,14 +1310,15 @@ a bien sûr pour solution (unique) $\root 3\of{-d}$, qui n'est pas une polynôme de degré $4$ sur un corps $k$, dont on cherche à exprimer les racines, $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$. -Lorsque $k$ est de caractéristique $\neq 2$, on peut commencer par +Lorsque $k$ est de caractéristique $\neq 2$, on pourrait commencer par utiliser la transformation de Tschirnhaus $U = X + \frac{a_1}{4}$ (qui transforme $f$ en $X^4 + b_2 X^2 + b_3 X + b_4$ avec $b_2 = -\frac{3}{8} a_1^2 + a_2$, $b_3 = \frac{1}{8} a_1^3 - \frac{1}{2} a_1 a_2 + a_3$ et $b_4 = -\frac{3}{256} a_1^4 + \frac{1}{16} a_1^2 a_2 - -\frac{1}{4} a_1 a_3 + a_4$). L'intérêt de cette opération est de -simplifier les calculs en annulant le terme sous-dominant, mais elle -ne sera pas fondamentalement utile pour ce qui va suivre. +\frac{1}{4} a_1 a_3 + a_4$). Cette opération permettrait de +simplifier légèrement les calculs en annulant le terme sous-dominant, +mais elle ne sera pas fondamentalement utile pour ce qui va suivre et +nous ne l'appliquerons donc pas. On a vu en \refext{Calculs}{calcul-galois-degre-4} que la quantité $\pi = \xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$, choisie pour stabiliser le |