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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-01-25 18:33:09 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-01-25 18:33:09 +0100 |
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[Radicaux] Un théorème de Galois sur les équations résolubles de degré p.
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 59 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index cdc07a0..f1216f7 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1733,7 +1733,7 @@ $\FF_p^\times$ donc $a=1$, et l'élément en question est bien dans $C_p$. \end{proof} -\begin{proposition2} +\begin{proposition2}\label{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p} Soit $G \leq \mathfrak{S}_p$ un sous-groupe transitif (c'est-à-dire que son action sur $\FF_p$ est transitive). Alors il existe $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ tel que $C_p \leq \sigma G \sigma^{-1}$. Si de @@ -1788,6 +1788,63 @@ $\gamma\tau\gamma^{-1} \in \AGL_1(\FF_p)$, donc $\gamma\tau\gamma^{-1} la récurrence. \end{proof} +\subsection{Un théorème de Galois} + +\XXX Référencer : \textit{Mémoire sur les conditions de résolubilité + des équations par radicaux}, propositions VII et VIII. + +\begin{theoreme2} +Soit $f \in k[X]$ un polynôme irréductible de degré $p$ premier. +Alors les conditions suivantes sont équivalentes : +\begin{itemize} +\item Les racines de $f$ sont exprimables par radicaux. +\item Le groupe de Galois de $f$ est résoluble. +\item Le groupe de Galois de $f$ est, à conjugaison près, un + sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$. +\item Le corps de décomposition de $f$ est engendré par n'importe + quelle paire de racines distinctes $\xi \neq \xi'$ de $f$. +\item Le corps de décomposition de $f$ est engendré par une paire de + racines distinctes $\xi \neq \xi'$ de $f$. +\end{itemize} +\end{theoreme2} +\begin{proof} +L'équivalence entre les deux premières conditions a déjà été prouvée +en \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} et est citée +ici pour mémoire. + +Si le groupe de Galois de $f$ est résoluble, la +proposition \ref{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p} montre +qu'il est un sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$ ; réciproquement, comme +$\AGL_1(\FF_p)$ est résoluble, ses sous-groupes le sont +(cf. \ref{enonces-standards-groupes-resolubles}). Les trois premières +conditions sont donc bien équivalentes. + +Si le groupe de Galois de $f$ est un sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$ +(ou, quitte à renuméroter, s'il en est un à conjugaison près), comme +aucun élément de $\AGL_1(\FF_p)$ autre que l'identité ne fixe deux +points, le groupe des automorphismes du corps de décomposition de $f$ +fixant $\xi$ et $\xi'$ (deux racines quelconques de $f$) est trivial, +donc ces racines engendrent tout le corps de décomposition. + +Enfin, si $\xi\neq\xi'$ sont deux racines distinctes de $f$ qui +engendrent le corps de décomposition de $f$, alors comme $[k(\xi):k] = +p$, on a $[k(\xi,\xi'):k] = pr$ pour un certain $r = +[k(\xi,\xi'):k(\xi)]$, compris entre $1$ et $p-1$. D'après la +première partie de \ref{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p} (et +quitte à renuméroter les racines) on a $C_p \leq G$ où $G$ désigne le +groupe de Galois de $f$. Les $p$-sous-groupes de Sylow de $G$ sont +d'ordre $p$ et leur nombre doit diviser $r$ et être congru à $1$ +modulo $p$, ce qui n'est possible que pour $r=1$, de sorte que $C_p$ +est le seul, et il est donc distingué dans $G$. Mais alors $G$ +normalise $C_p$ dans $\mathfrak{S}_p$ et, comme on l'a fait remarquer, +ceci implique $G \leq \AGL_1(\FF_p)$. +\end{proof} + +\XXX Regarder s'il n'y a pas quelque chose d'intéressant à extraire +autour de la page 110 (théorème 5.29) du Rotman de théorie des +groupes. Galois prétend avoir une généralisation aux puissances des +nombres premiers ? + \ifx\danslelivre\undefined |