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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-05-04 16:04:02 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-05-04 16:04:02 +0200
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[LC] réécriture zêta/Mellin local
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex295
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index 1ec7c8f..b7566cb 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -237,13 +237,13 @@ de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[non arch.] Soit $K$ un corps local non archimédien et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
-constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
+constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
-f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^n}.
+f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^e}.
\]
On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
-à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^n})=q^{-n}$.
+à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
à multiplication par une constante non nulle près. \XXX Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
@@ -580,14 +580,14 @@ Tout élément $x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
\[
x=x₁ ρ,
\]
-où $x₁ ∈ U=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
+où $x₁$ appartient au groupe \emph{compact} $𝒰=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
est archimédien (resp. ultramétrique). De plus, $x ↦ x₁$
est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité
-sur $U$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
-est isomorphe au produit direct $U × K^×_{>0}$,
+sur $𝒰$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
+est isomorphe au produit direct $𝒰 × K^×_{>0}$,
où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas
-ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $U$
+ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $𝒰$
égal à $𝒪^×$.)
\begin{définition2}
@@ -596,26 +596,26 @@ On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps l
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \emph{non
ramifié} ou \emph{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
-$U_K=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
+compact $𝒰=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}
-\begin{définition2}
+Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}. (Si $K^×$ était compact, tout quasi-caractère serait un caractère.)
+
+\subsubsection{}
\label{définition conducteur}
-Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
-ultramétrique $K$. On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
+Supposons $K$ ultramétrique. Les sous-groupes $1+𝔪^n$ de $𝒰$ forment un système fondamental
+de voisinages (compacts ouverts) de l'unité.
+Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ de $K$
+est donc trivial sur l'un d'entre eux.
+On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
-\end{définition2}
-
En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
aussi $𝔣_χ$ l'\emph{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
quasi-caractère $χ$.
-Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné} ; si $K^×$ était compact, tout
-quasi-caractère serait un caractère.
-
\subsubsection{}Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
multiplicatif net.
@@ -623,18 +623,22 @@ multiplicatif net.
\label{description quasi-caractères}
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
-où $χ₁$ est un caractère de $U_K$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
+où $χ₁$ est un caractère de $𝒰$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
-(resp. archimédien). Si $K$ est archimédien (resp.
-ultramétrique), le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^n$,
-où $n ∈ 𝐙$, unique si $K=𝐂$ et unique modulo $2$ si $K=𝐑$
-(resp. se factorise de façon unique à travers un caractère du groupe
-fini $U_K/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$).
+(resp. archimédien).
+Si $K$ est archimédien, le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^a$,
+pour un unique entier $a$ appartenant à $𝐙$ si $K=𝐂$ et à $\{0,1\}$ si $K=𝐑$.
+Si $K$ est ultramétrique, le caractère $χ₁$ se factorise de façon unique à travers
+un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$.
\end{proposition2}
+Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^a)$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
+Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
+bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien.
+
\begin{démo}
-Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|U_K}$ ; c'est un
-caractère de $U_K$ et, par construction, le quasi-caractère
+Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
+caractère de $𝒰$ et, par construction, le quasi-caractère
multiplicatif $x ↦ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit
donc de démontrer que tout quasi-caractère net $χ$ est de la
forme $ω_s$. Par définition, $χ$ se factorise
@@ -650,8 +654,7 @@ unique $s ∈ 𝐂$. Si $f$ est à valeurs réelles positives
toute fonction additive continue $𝐑 → 𝐑$
(resp. $𝐑 → 𝐑/𝐙$) est une homothétie (resp. se relève en une
homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
-immédiat.
-% références ?
+immédiat. % références ?
\end{démo}
\begin{définition2}
@@ -660,7 +663,6 @@ local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \emph{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}
-
\subsection{Transformée de Mellin}
\subsubsection{Mesures multiplicatives}
@@ -691,73 +693,173 @@ multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{mesures Tamagawa locales}).
\begin{proposition2}
-Si $K$ est ultramétrique, on a
-l'égalité
+Si $K$ est ultramétrique, on a l'égalité
\[
-μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
+μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒰)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪),
\]
-En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒪^×)=1$.
+où l'on rappelle que $𝒰=𝒪^×$. En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
-$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)$.
-Or, $𝒪^×$ est extension du groupe $k^×$ (de
+$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒰)$.
+Or, $𝒰$ est extension du groupe $k^×$ (de
cardinal $q-1$) par le groupe $1+𝔪=1+ϖ 𝒪$. On a donc
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒰)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
$+$}}(1+𝔪)$. D'autre part, $μ^{\mbox{\minus $+$}}(1+𝔪)=μ^{\mbox{\minus
$+$}}(𝔪)=q^{-1} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)$, où
la dernière égalité résulte de \ref{module=module}.
-\end{lemme2}
+\end{démo}
-\begin{proposition2}
+\subsubsection{Fonction zêta locale}
+\label{fonction zêta locale}
+Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et soit $ψ$ un caractère additif de $K$.
+Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
+intégrable, on pose :
+\[
+ζ_ψ(χ,f)= ∫_{K^×} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
+\]
+où l'on rappelle que la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
+n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
+le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
+(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
+
+La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
+caractère additif non trivial, il existe une constante non
+nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ (cf.
+\emph{loc. cit.}). Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces
+transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
+\[
+ζ_ψ(χ,f,s)=ζ_ψ(χ ω_s,f).
+\]
+(On a alors $ζ_ψ(χ,f)=ζ_ψ(χ,f,0)$.)
+Alternativement, on pourrait — à l'aide de la proposition
+\ref{description quasi-caractères} — munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
+de variété analytique (cf. p. ex. \cite[chap. Ⅱ]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
+Nous ne le ferons pas.
+
+\subsubsection{}
+\label{Mellin et Z}
+Supposons $K$ ultramétrique et considérons pour chaque $n ∈ 𝐙$ le translaté $𝒰_n$ de $𝒰$ par $ϖ^n$ :
+\[
+𝒰_n=\{x ∈ K^×:|x|=q^{-n}\}=\{x ∈ K^×:v(x)=n\}.
+\]
+La restriction de $f$ au \emph{compact} $𝒰_n$ est
+localement constante donc intégrable et l'on pose
+\[
+z_ψ(χ,f)_n=∫_{𝒰_n} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ
+\]
+Pour $n ≪ 0$, $𝒰_n$ ne rencontre par le support de $f ∈ 𝒞_c(K)$ ; ce coefficient est alors nul.
+On peut donc définir la série de Laurent formelle
+\[
+Z_ψ(χ,f,X)=∑_{n ∈ 𝐙} z_ψ(χ,f)_n X^n ∈ 𝐂((X)).
+\]
+Soit $ρ_{χ,f} ≥ 0$ le rayon de convergence de la série
+$Z_ψ(χ,f,X)$. Le quasi-caractère $ω_s$ étant constant de
+valeur $q^{-ns}$ sur $𝒰_n$, l'intégrale $ζ_ψ(χ,f,s)$
+est absolument convergente et holomorphe sur le
+domaine $\Re(s)> -\log_q(ρ_{χ,f})$ et l'on a
+\[
+ζ_ψ(χ,f,s)=Z_ψ(χ,f,q^{-s}).
+\]
+Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-à-dire si $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
+nous nous autorisons à l'omettre des notations. Toute fonction $𝒮(K)$ étant combinaison linéaire de
+fonctions caractéristiques $f=𝟭_{x+𝔪^e}$ ($x ∈ K, e ∈ 𝐙$),
+nous allons calculer les séries $Z(χ,𝟭_{x+𝔪^e},X)$, en
+distinguant les cas $x ∈ 𝔪^e$ (c'est-à-dire $x+𝔪^e=𝔪^e$) et $x ∉ 𝔪^e$ (c'est-à-dire $f(0)=0$).
+
+\subsubsection{}
\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
-Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
-ultramétrique $K$, de partie réelle $\Re(χ)>0$. Alors, pour tout $x ∈ K$ et tout $e ∈ 𝐙$
-la fonction $𝟭_{x+𝔪^e} χ ∈ L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$
-et l'on a l'égalité :
+Il est immédiat que
+\[
+z(χ,𝟭_{𝔪^e})_n=
+\begin{cases}
+\displaystyle χ(ϖ)^n ⋅ ∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁ & \text{si $n ≥ e$}\\
+\displaystyle 0 & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
+D'autre part, il résulte de l'orthogonalité des caractères
+et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$ que l'on a
\[
-∫_{x+𝔪^e} χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=
+∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=
\begin{cases}
-\frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)} & \text{si $v(x) ≥ e$ et $χ₁=1$ (c.-à-d. $χ$ net)} ;\\
-χ(x) \frac{q^{e-v(x)}}{1-q^{-1}} & \text{si $v(x)< e$ et ${χ₁}_{|1 + 𝔪^{e-v(x)}}=1$} ;\\
+1 & \text{si $χ₁=1$, c'est-à-dire si $χ$ est net}\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
-\end{proposition2}
+Ainsi,
+\[
+Z(χ,𝟭_{𝔪^e},X)=
+\begin{cases}
+\displaystyle \frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)X} & \text{si $χ$ est net}\\
+\displaystyle 0 & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
+Dans le premier cas, le rayon de convergence de $Z(χ,𝟭_{𝔪^e},X)$
+est $|χ(ϖ)|^{-1}=q^{-\Re(χ)}$. Notons en particulier la
+formule
+\[
+ζ(χ \text{ net},𝟭_𝒪)=\frac{1}{1-χ(ϖ)},
+\]
+qui rappelle sans équivoque un facteur
+eulérien. Généralement attribuée à Margaret
+Matchett (thèse, 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
+— due indépendamment à Iwasawa Kenkiti et John Tate — pour
+démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
+
+\subsubsection{}Soit maintenant un élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
+à $𝔪^e$, c'est-à-dire tel que $r=v(x)<e$. Tout élément de $x +
+𝔪^e$ est de valuation $r$. D'autre part, un élément
+de $x+𝔪^e$ s'écrit de manière unique sous la forme
+$x(1+y)$ où $y ∈ 𝔪^{e-r}$. Il en résulte immédiatement
+que l'on a
+\[
+z(χ,𝟭_{x+𝔪^e})_n=
+\begin{cases}
+\displaystyle χ(x) ⋅ ∫_{1+𝔪^{e-r}} χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁ & \text{si $n =r$}\\
+\displaystyle 0 & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
+Il résulte à nouveau de l'orthogonalité des caractères et de
+l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(1+𝔪^i)=
+\frac{q^i}{1-q^{-1}}$ ($i ≥ 1$) que l'on a :
+\[
+Z(χ,𝟭_{x+𝔪^e},X)=
+\begin{cases}
+\displaystyle \frac{χ(x) q^e }{1-q^{-1}} (\frac{X}{q})^{r} & \text{si ${χ₁}_{| 1+𝔪^{e-r}}=1$}\\
+\displaystyle 0 & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
+Il résulte de ce calcul que si $f ∈ 𝒮(K)$ est telle que $f(0)=0$,
+la série $Z(χ,f,X)$ appartient à $𝐂[X^{±1}]$. C'était \emph{a priori} évident.
+
+\subsubsection{}Supposons $K$ archimédien.
-\begin{démo}
-Supposons $x ∈ 𝔪^e$. Pour chaque $r ≥ e$, on a l'égalité
\[
-∑_{i=e}^r ∫_{𝔪^i U} χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=(∑_e^r
-χ(ϖ)^i) ⋅ ∫_U χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁.
+ζ(1,\exp(-π x²),s)=π^{-\frac{s}{2}}Γ(\frac{s}{2})=:Γ_𝐑(s).
\]
-Si $χ₁$ est non-trivial, cette somme est nulle
-(cf. \ref{Fourier et mesure locaux}, démonstration) ;
-sinon, elle vaut $∑_e^r χ(ϖ)^i$, où $|χ(ϖ)|<1$ par
-hypothèse sur $\Re(χ)$. L'intégrabilité
-de la fonction $𝟭_{x+𝔪^e} χ$ ainsi que le calcul de
-l'intégrale sont maintenant évident. (Noter que
-$\Re(|χ|)=\Re(χ)$.) Si $x ∉ 𝔪^e$, tout élément de $x + 𝔪^e$ s'écrit de façon
-unique $x ⋅ u ′$ où $u ′$ appartient au sous-groupe $U ′ =1
-+ 𝔪^{e-v(x)}$ de $U_K$. La conclusion résulte alors
-immédiatement de l'égalité $χ(x u ′)=χ(x) χ₁(u ′)$,
-du fait que $∫_{U ′} χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=0$
-si la restriction de $χ₁$ à $U′$ est non-triviale (orthogonalité
-des caractères) et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(U
-′) = \frac{q^{e - v(x)}}{1-q^{-1}}$.
-\end{démo}
+\[
+ζ(1,\exp(-2 π |z|²,s)=(2 π)^{1-s} Γ(s)=:Γ_𝐂(s)
+\]
+% Tate, p. 317 et 319.
-\begin{corollaire2}
+ \[⁂\]
+
+\begin{proposition2}
Soient $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et $f ∈ 𝒮(K)$.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f_{|K^×} ⋅ χ$ appartient à
$L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$ dès lors que $\Re(χ)>0$.
\item La fonction $s ↦ ∫_{K^×} f χ ω_s  dμ^{\mbox{\minus $×$}}$
est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>\Re(χ^{-1})$.
-\item Si $K$ est ultramétrique, la fonction précédente appartient à $𝐂[q^s,q^{-s}]$.
+Si de plus $K$ est ultramétrique, il existe une série
+de Laurent $Z(X,χ,f)$ absolument convergence pour $|x| <
+q^{\Re(χ)}$ telle que $∫_{K^×} f χ ω_s
+ dμ^{\mbox{\minus $×$}}=Z(q^{-s},χ,f)$ pour $s$
+dans le demi-plan $\Re(s)>\Re(χ^{-1})$.
\end{enumerate}
-\end{corollaire2}
+\end{proposition2}
Notons que $\Re(χ^{-1})=-\Re(χ)$ pour tout quasi-caractère
multiplicatif $χ$.
@@ -774,75 +876,16 @@ pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Ce résultat est classique dans
le cas archimédien et résulte du calcul précédent dans le
cas ultramétrique. On rappelle que, dans ce dernier cas, l'ensemble
$\{x ∈ K: |x|<1\}$ est l'idéal maximal $𝔪$.
-
(ii) Si $K$ est archimédien, l'holomorphie est classique ;
cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}.
Si $K$ est ultramétrique, il suffit de démontrer (iii).
-
-(iii). La fonction $f$ ne prenant qu'un nombre fini de
+Or, la fonction $f$ ne prenant qu'un nombre fini de
valeurs, cela résulte des formules explicites de \ref{calcul explicite
intégrale quasi-caractère} et de la formule triviale :
$(χ ω_s)(y)=χ(y) |y|^{-s}$ pour $y ∈ K^×$,
où, rappelons-le, $|y| ∈ q^𝐙$.
\end{démo}
-\subsubsection{Fonction zêta locale}
-\label{fonction zêta locale}
-Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$, et soit $ψ$ un caractère additif de $K$.
-Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
-intégrable, on pose :
-\[
-ζ_ψ(χ,f)= ∫_{K^×} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
-\]
-où l'on rappelle que la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
-n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
-le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
-(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
-On a vu précédemment que $ζ_ψ(χ,f)$ à un sens dès lors que $\Re(s)>0$ et $f ∈ 𝒮(K)$.
-
-La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
-caractère additif non trivial, il existe une constante non
-nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ (cf.
-\emph{loc. cit.}).
-
-Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces fonctions zêta,
-on introduit la notation : $ζ_ψ(s,χ,f)=ζ_ψ(χ ω_s,f)$.
-Alternativement, on pourrait — à l'aide de la proposition
-\ref{description quasi-caractères} — munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
-de variété analytique (cf. p. ex. \cite[chap. Ⅱ]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
-Nous ne le ferons pas.
-
-\begin{proposition2}
-\label{zêta local dans cas net}
-Soit $ψ$ un caractère additif non trivial de niveau nul d'un
-corps ultramétrique $K$.
-\begin{enumerate}
-\item Si $χ$ est un quasi-caractère multiplicatif net,
-\[
-ζ_ψ(χ,𝟭_𝒪)=\frac{1}{1-χ(ϖ)}.
-\]
-\item Si $χ$ est un caractère ramifié (non net), on a
-\[
-ζ_ψ(χ,𝟭_𝒪)=0.
-\]
-\end{enumerate}
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-Cela résulte immédiatement de \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
-et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.
-Compte tenu de l'égalité $(χ ω_s)(ϖ)=χ(ϖ)q^{-s}$,
-on peut réécrire la formule (i) sous la forme : $ζ_ψ(s,χ,𝟭_{𝒪})=(1-χ(ϖ)q^{-s})^{-1}$.
-% [Bushnell-Henniart] 23.4
-\end{démo}
-
-La formule (i), qui rappelle sans équivoque un facteur
-eulérien, est généralement attribuée à Margaret
-Matchett (thèse, 1946), est le point de départ de la méthode de Iwasawa Kenkiti et John Tate pour
-l'étude des fonctions zêta \emph{globales}.
-
\begin{proposition2}
Soient $ψ$ un caractère additif non trivial d'un corps local $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
\begin{enumerate}