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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-15 18:44:06 +0100 |
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[Gröbner] Élimination des hypothèses de perfection (suite et fin(?)).
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 108 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 6151855..9906c0c 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1678,14 +1678,14 @@ algèbre finie intègre sur un corps est un corps, cf. \refext{Alg}{fini integre=corps} ou \refext{Spec}{artinien connexe implique local}), autrement dit que le quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est un corps. Comme on l'a rappelé dans la section précédente (\XXX), si $J$ est un -idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, alors +idéal de dimension $0$ et radical de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, alors $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est le produit des $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ où $I$ parcourt les idéaux premiers (donc maximaux) contenant $I$, dont $J$ est alors l'intersection. Les deux questions suivantes vont nous préoccuper ici : comment tester -algorithmiquement si un idéal de dimension $0$ est premier, et -comment, donné un idéal $I$ radical de dimension $0$, calculer les +algorithmiquement si un idéal de dimension $0$ et géométriquement +radical est premier, et comment, dans le cas contraire, calculer les idéaux premiers qui le contiennent. \begin{remarque2}\label{remarque-projection-et-ideaux-premiers} @@ -1724,10 +1724,10 @@ justement le groupe de Galois de $f$. \end{remarque2} Comme on vient de le dire, il ne suffit pas (pour $I$ un idéal, même -radical, de dimension $0$) que les idéaux d'élimination de $I$ à une -seule variable soient premiers pour pouvoir conclure que $I$ l'est. -Il y a cependant une situation où c'est possible, comme on va le -voir : +de dimension $0$ et géométriquement radical) que les idéaux +d'élimination de $I$ à une seule variable soient premiers pour pouvoir +conclure que $I$ l'est. Il y a cependant une situation où c'est +possible, comme on va le voir : \begin{definition2}\label{definition-ideal-en-position-nette} Un idéal $I$ de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est dit \emph{en @@ -1792,12 +1792,12 @@ et il est alors clair que les $\tilde g_j$ coïncident exactement avec les $g_j$ (même si on n'en a pas besoin dans cette démonstration). \end{proof} -Intuitivement (et au moins pour $I$ radical de dimension $0$), il faut -comprendre que « $I$ en position nette par rapport à la - variable $Z_j$ » signifie que la projection sur la coordonnée $Z_j$ -de l'ensemble des points défini par $I$ (disons, sur la clôture -algébrique de $k$) est un isomorphisme au sens où elle n'identifie pas -de points. +Intuitivement (et au moins pour $I$ de dimension $0$ et +géométriquement radical), il faut comprendre que « $I$ en position + nette par rapport à la variable $Z_j$ » signifie que la projection +sur la coordonnée $Z_j$ de l'ensemble des points défini par $I$ +(disons, sur la clôture algébrique de $k$) est un isomorphisme au sens +où elle n'identifie pas de points. Trivialement, si $I$ (idéal de dimension $0$) est en position nette par rapport à $Z_j$, l'idéal $I$ est premier si et seulement si $I @@ -1897,32 +1897,29 @@ qu'on voulait montrer. \end{proof} \begin{algorithme2}\label{algorithme-test-ideal-premier-dimension-0} -Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de -$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait tester -l'irréductibilité des polynômes à une variable à coefficients -dans $k$, on peut tester si $I$ est premier. +Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ et +géométriquement radical de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ un corps +infini, si on sait tester l'irréductibilité des polynômes à une +variable à coefficients dans $k$, on peut tester si $I$ est premier. \end{algorithme2} \begin{proof}[Description de l'algorithme] -En utilisant \ref{algorithme-test-ideal-radical-dimension-0}, on peut -commencer par tester si $I$ est radical (s'il ne l'est pas, il n'est -sûrement pas premier). - -On trouve ensuite $c_1,\ldots,c_d$ tels que l'idéal $I$ soit en -position nette par rapport à $c_1 Z_1 + \ldots + c_d Z_d$ (avec l'abus -de langage évident, c'est-à-dire, au sens de la proposition -précédente) : d'après la proposition précédente, en prenant -$c_1,\ldots,c_d$ dans un ensemble suffisamment grand, ce sera toujours -possible (formellement, on peut commencer par tester tous les -$d$-uplets d'un ensemble fini, puis agrandir cet ensemble fini si -aucun ne convient, et répéter jusqu'à trouver un $d$-uplet qui -convient, ce qui se produira toujours si l'idéal était bien radical) : -à chaque fois, on teste si on est en position nette en utilisant -\ref{critere-nettete-dimension-0} ou la remarque qui précède. +On trouve $c_1,\ldots,c_d$ tels que l'idéal $I$ soit en position nette +par rapport à $c_1 Z_1 + \ldots + c_d Z_d$ (avec l'abus de langage +évident, c'est-à-dire, au sens de la proposition précédente) : d'après +la proposition précédente, en prenant $c_1,\ldots,c_d$ dans un +ensemble suffisamment grand, ce sera toujours possible (formellement, +on peut commencer par tester tous les $d$-uplets d'un ensemble fini, +puis agrandir cet ensemble fini si aucun ne convient, et répéter +jusqu'à trouver un $d$-uplet qui convient, ce qui se produira toujours +si l'idéal était bien radical) : à chaque fois, on teste si on est en +position nette en utilisant \ref{critere-nettete-dimension-0} ou la +remarque qui précède. (Remarquons que si on trouve $c_1,\ldots,c_d$ tels que $I$ soit en position nette, on peut passer à la suite même si on n'a pas testé que -$I$ est radical. Cependant, le fait que $I$ soit radical permet de -garantir que cette étape terminera bien.) +$I$ est géométriquement radical. Cependant, le fait que $I$ soit +géométriquement radical permet de garantir que cette étape terminera +bien.) Une fois trouvé $c_1,\ldots,c_d$ tels que $I$ soit en position nette par rapport à $Y = c_1 Z_1 + \ldots + c_d Z_d$, on calcule le @@ -1943,23 +1940,24 @@ calculs seront nettement plus complexes (il vaut mieux, au moins, passer à $k[C_1,\ldots,C_d]$ et calculer l'idéal d'élimination par rapport à $C_1,\ldots,C_d,Y$). Remarquons que dans ce cas, il faudra savoir factoriser (ou au moins tester la primalité de) polynômes à -plusieurs variables. Par ailleurs, sous-jacent à cette variante de -l'algorithme est le résultat facile suivant : +plusieurs variables (\XXX). Par ailleurs, sous-jacent à cette +variante de l'algorithme est le résultat facile suivant : \begin{proposition2} -Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et soient $U_1,\ldots,U_m$ de -nouvelles indéterminées. Alors l'idéal $\tilde I$ engendré par $I$ -dans $k(U_1,\ldots,U_m)[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou bien $k[U_1,\ldots,U_m, +Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (où $k$ est un corps +quelconque) et soient $C_1,\ldots,C_m$ de nouvelles indéterminées. +Alors l'idéal $\tilde I$ engendré par $I$ dans +$k(C_1,\ldots,C_m)[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou bien dans $k[C_1,\ldots,C_m, Z_1,\ldots,Z_d]$ est premier si et seulement si $I$ l'est. \end{proposition2} \begin{proof} -Dans le cas de $k[U_1,\ldots,U_m, Z_1,\ldots,Z_d]$, le quotient de +Dans le cas de $k[C_1,\ldots,C_m, Z_1,\ldots,Z_d]$, le quotient de celui-ci par $\tilde I$ est l'anneau des polynômes en $m$ variables -$U_1,\ldots,U_m$, à coefficients dans le quotient +$C_1,\ldots,C_m$, à coefficients dans le quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$. Or il est bien connu qu'un anneau de polynômes est intègre si et seulement si son anneau de coefficients l'est. -Dans le cas de $k(U_1,\ldots,U_m)[Z_1,\ldots,Z_d]$, on obtient -l'anneau qui inverse les éléments non nuls de $k[U_1,\ldots,U_m]$ dans +Dans le cas de $k(C_1,\ldots,C_m)[Z_1,\ldots,Z_d]$, on obtient +l'anneau qui inverse les éléments non nuls de $k[C_1,\ldots,C_m]$ dans l'anneau ci-dessus : lui aussi est intègre si $I$ est premier, et a des diviseurs de $0$ s'il y en a déjà dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$. \end{proof} @@ -1981,10 +1979,11 @@ k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$, les $J_i$ sont donc premiers et $k[Y]/(h) \cong \prod_i (k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i)$. Ceci prouve : \begin{algorithme2}\label{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0} -Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de -$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait factoriser -les polynômes en une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver -les idéaux maximaux $J_i$ contenant $I$. +Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ et +géométriquement radical de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ un corps +infini, si on sait factoriser les polynômes en une variable à +coefficients dans $k$, on peut trouver les idéaux maximaux $J_i$ +contenant $I$. \end{algorithme2} \begin{exemple2} @@ -2039,13 +2038,14 @@ universelle telle qu'introduite en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle}. On a vu en \ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} et \ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite} que cette -algèbre est réduite de dimension $0$. Il s'agit donc (cf. les -remarques initiales de \ref{section-ideaux-premiers-de-dimension-0}) -du produit des corps $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$ où les $J_i$ sont les -idéaux maximaux contenant $I$, et on a vu +algèbre est géométriquement réduite de dimension $0$. Il s'agit donc +(cf. les remarques initiales +de \ref{section-ideaux-premiers-de-dimension-0}) du produit des corps +$k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$ où les $J_i$ sont les idéaux maximaux +contenant $I$, et on a vu en \ref{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0} comment -calculer les $J_i$ (au moins dans le cas où $k$ est parfait et infini -et où on sait factoriser les polynômes en une variable sur $k$). +calculer les $J_i$ (au moins dans le cas où $k$ est infini et où on +sait factoriser les polynômes en une variable sur $k$). Si $J$ est un quelconque de ces idéaux maximaux contenant $I$, alors $K := k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est un corps engendré par $k$ et par les @@ -2072,7 +2072,7 @@ il suffit de tester si la permutation appliquée à chaque élément de la base de Gröbner est encore dans l'idéal. On a donc montré : \begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-galois-par-base-de-groebner} -Donné un polynôme $f \in k[X]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait +Donné un polynôme $f \in k[X]$, avec $k$ infini, si on sait factoriser les polynômes en une variable à coefficients dans $k$, on sait calculer le groupe de Galois de $f$ comme le groupe des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui fixent un idéal $J$ maximal |