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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-29 16:26:25 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-29 16:26:25 +0200
commitbdf2a92f9d6be16f31f198ab5a5ce8a821bac7e0 (patch)
tree35fb96b9551e4e6ca57afa65a50832006f12fd43 /chapitres
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[calculs] Encore une condition sans intérêt.
Je m'embourbe complètement.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex14
1 files changed, 10 insertions, 4 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 6103b78..69cf35c 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1073,6 +1073,9 @@ engendrée par $d$ éléments $\xi_1,\ldots,\xi_d$. Alors, pour $H$ un
sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
+\item pour toute orbite $\Omega$ de $H$ agissant sur les monômes en
+ les variables $Z_1,\ldots,Z_d$, on a $\sum_{M\in\Omega}
+ M(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$
(c'est-à-dire tel que $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que $\sigma\in H$) on a
@@ -1085,8 +1088,11 @@ sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que (ii) implique (i) est trivial. Montrons que (i) implique
-(ii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur
+Le fait que (ii) implique (i) est trivial, et l'implication réciproque
+résulte de la remarque \ref{base-des-polynomes-invariants}.
+
+Le fait que (iii) implique (ii) est trivial. Montrons que (ii) implique
+(iii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur
commun (on rappelle que $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est factoriel, ce qui
donne un sens à cette affirmation), où $Q$ ne s'annule pas en
$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et où $R$ est invariante par $H$. Pour chaque
@@ -1100,7 +1106,7 @@ $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Si on introduit $Q^* = \prod_{\sigma\in H}
\prod_{\sigma\in H} \sigma(P) = (\prod_{\sigma\in H} c_\sigma^{-1})
P$, on a $P^*/Q^* = P/Q = R$, le polynôme $Q^*$ ne s'annule pas en
$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et comme $P^*$ et $Q^*$ sont tous deux
-invariants par $H$, la conclusion du (i) permet d'affirmer que
+invariants par $H$, la conclusion du (ii) permet d'affirmer que
$R(\xi_1,\ldots,\xi_d) =
P^*(\xi_1,\ldots,\xi_d)/Q^*(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
\end{proof}
@@ -1128,7 +1134,7 @@ proposition ci-dessus.)
\end{question2}
\begin{remarque2}
-Il est tentant, pour répondre à la question, de comparer le (ii) de la
+Il est tentant, pour répondre à la question, de comparer le (iii) de la
proposition \ref{action-sur-les-racines-polynomes-et-fractions-rationnelles}
avec \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}. Notamment, on sait
qu'il existe des polynômes $P$ tels que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) =