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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-30 15:57:48 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-30 15:57:48 +0200
commitbeb9999b58efc76ad4e4cec749a6dc41ef85448a (patch)
tree4def57eb5354ea1246f92828e28713f943544ed7 /chapitres
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[calculs] Démonstration complète du lemme (au moyen du sous-lemme de transitivité des Sylow).
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex48
1 files changed, 35 insertions, 13 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index c9b392e..7702cd2 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -958,7 +958,7 @@ non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
polynôme comme proposé.
\end{remarques2}
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable}
Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
les racines comptées avec multiplicité dans un corps de rupture $L$.
@@ -973,23 +973,45 @@ deux affirmations suivantes sont équivalentes :
\end{enumerate}
\end{proposition2}
+\begin{sslemme2}\label{transitivite-des-sylow}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de
+cardinal $p^e$ avec $p$ un nombre premier, et soit $H$ un sous-groupe
+de $G$ dont l'indice $(G:H)$ est premier avec $p$. Alors $H$ est
+encore transitif sur $X$.
+\end{sslemme2}
+\begin{proof}
+Soit $U = \Stab_G(x)$ le fixateur dans $G$ d'un élément $x\in X$ : on
+a $(G:U) = p^e$. On peut écrire $(H:(U\cap H)) = (G:U) \, (U:(U\cap
+H)) \, (G:H)^{-1}$ (égalité entre éléments de $\QQ$). Or $(G:U) =
+p^e$, le nombre $(U:(U\cap H))$ est entier, et par hypothèse
+$(G:H)^{-1}$ ne comporte pas de $p$ au dénominateur (i.e., sa
+valuation $p$-adique est positive). Il s'ensuit que $(H:(U\cap H))$ a
+un numérateur réduit multiple de $p^e$ (i.e., sa valuation $p$-adique
+vaut au moins $e$), et comme il s'agit d'un entier, c'est un multiple
+de $p^e$. Mais $(H:(U\cap H))$ est le cardinal de l'orbite de $x$
+sous l'action de $H$ : on a donc montré que cette orbite est $X$ tout
+entier.
+\end{proof}
+
\begin{lemme2}
-Sous les conditions de la proposition précédente, supposons en outre
-que $f = X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec
-$d=p^e$) sont tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$ (dans ces
-conditions, le corps $K$ est, bien entendu, de caractéristique $p$).
-Alors les deux affirmations de la proposition sont équivalentes à :
-$\mathfrak{G}$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
+Sous les conditions de la
+proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
+supposons en outre que $K$ est de caractéristique $p$ et $f =
+X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec $d=p^e$) sont
+tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$. Alors les deux affirmations de
+la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$ opère
+transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
Supposons d'abord que $\mathfrak{G}$ opère transitivement
sur $\{1,\ldots,p^e\}$. Soit $P$ un $p$-Sylow de $\mathfrak{G}$ :
-alors $P$ opère encore transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$ (\XXX),
-donc on peut supposer que $\mathfrak{G}=P$, c'est-à-dire que l'ordre
-de $\mathfrak{G}$ est une puissance de $p$. Soit maintenant $M$ un
-monôme sur les variables $Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant
-par $\mathfrak{G}$, alors il peut s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e}
-Z_i)^r$, et sa valeur sur $(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r
+alors $P$ opère encore transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$
+(d'après \ref{transitivite-des-sylow}), donc on peut supposer que
+$\mathfrak{G}=P$, c'est-à-dire que l'ordre de $\mathfrak{G}$ est une
+puissance de $p$. Soit maintenant $M$ un monôme sur les variables
+$Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant par $\mathfrak{G}$, alors
+il peut s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e} Z_i)^r$, et sa valeur sur
+$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r
\in K$. Si $M$ n'est pas invariant par $\mathfrak{G}$, alors le
nombre de ses conjugués par $\mathfrak{G}$ est une puissance non
triviale de $p$, donc leur somme, évaluée sur l'élément diagonal