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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-08 22:03:26 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-08 22:03:26 +0200
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[LG] fin caractérisation corps locaux (synthèse faite)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex221
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index c5d0f11..38a83d9 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -80,34 +80,38 @@ Soit $K$ un corps topologique. Les conditions suivantes sont
équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $K$ est \emph{localement compact} non discret ;
-\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
-topologique) d'un corps local premier $K₀$ ;
\item $K$ est isomorphe (en tant que corps topologique) à $𝐑$, $𝐂$ ou bien au corps
des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝒪$ complet
à corps résiduel fini, équipé de la topologie déduite
de la valuation.
+\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
+topologique) d'un corps local premier $K₀$ ;
\end{enumerate}
\begin{itemize}
-\item Le corps local premier $K₀$ du (ii) est \emph{fermé}
+\item L'anneau $𝒪$ du (ii) est le plus grand sous-anneau
+compact de $K$ et son idéal maximal est l'ensemble des
+éléments $x$ de $K$ tels que $x^n → 0$.
+\item Le corps local premier $K₀$ du (iii) est \emph{fermé}
dans $K$. Si $K$ est de caractéristique nulle (resp.
de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$
(resp. il n'est jamais unique).
-\item L'anneau $𝒪$ du (iii) est le plus grand sous-anneau
-compact de $K$ et son idéal maximal est l'ensemble des
-éléments $x$ de $K$ tels que $x^n → 0$.
\end{itemize}
\end{théorème2}
-Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes démo}.
-Compte tenu des résultats déjà établis dans le chapitre précédent,
-la principale difficulté est de munir un corps localement
-compact d'une valeur absolue.
+La démonstration de ce théorème s'étale sur les paragraphes
+Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes
+démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui
+vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats déjà établis
+dans le chapitre précédent, la principale difficulté
+est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue.
+Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration
+(mesure de Haar).
\subsubsection{}On appelle \textbf{corps local}
un corps topologique satisfaisant les conditions
équivalentes précédentes. Il est dit archimédien
s'il est isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$ et
-\textbf{ultramétrique}, ou \textbf{non archimédien}
+\textbf{ultramétrique}, ou \textbf{non archimédien},
dans le cas contraire.
\subsubsection{}Lorsque $K$ est un corps local
@@ -124,7 +128,8 @@ cette convention est étendue au cas où $p=∞$. (On rappelle que $𝐐_∞=
\subsection{Mesures}
\label{généralités sur mesures}
-On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
+
+\subsubsection{}On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
théorie des corps globaux (analyse sur les adèles).
@@ -430,56 +435,6 @@ invariante à droite lorsque $G$ est
$\mod_G(φ)=\mod_{G/H}(φ)\mod_H(φ)$
\XXX
-\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
-\label{mesures Tamagawa locales}
-Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc} de mesures
-de Haar dans le cas où $G$ est le groupe additif d'un corps local.
-
-\begin{enumerate}
-\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
-envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle (au sens
-de Riemann ou Lebesgue) $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
-mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
-L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
-qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
-topologique $K=𝐑$.
-\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
-envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
-de Haar. Elle satisfait :
-\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
-\item[ultram.] Soit $K$ un corps local ultramétrique et
-soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
-constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
-tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
-\[
-f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^e}.
-\]
-On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
-à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
-On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
-de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
-à multiplication par une constante non nulle près. \XXX Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
-\end{enumerate}
-
-La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
-précédents.
-
-\begin{proposition2}
-\label{module=module}
-Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
-Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
-groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
-termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a|_K μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
-c'est-à-dire
-\[
-|a|_K ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
-∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
-\]
-pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
-\end{proposition2}
-
-Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
-voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.
\subsection{Corps localement compacts : généralités et classification}
\label{corps localement compacts}
@@ -531,6 +486,7 @@ inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue.
\begin{exercice2}
En déduire que $K$ n'est pas compact.
+%cf. AVD-D, EVT localement compact est de dimension finie
\end{exercice2}
\subsubsection{}
@@ -636,18 +592,22 @@ et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite.
\subsubsection{}
\label{corps localement compacts archimédiens}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}.
-La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$ est $|⋅|^c$, où
-$|⋅|$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel.
+La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$
+est $|⋅|_∞^c$, où $|⋅|_∞$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel.
D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnée
par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br système
-fondamental de voisinages}. L'adhérence de $𝐐$
+fondamental de voisinages}. L'adhérence $K₀$ de $𝐐$
dans $K$ est localement compacte donc complète : c'est donc
-le complété de $𝐐$ pour la valeur absolue $|⋅|$.
-Il en résulte que $K$ contient un sous-corps fermé $K₀$
-isomorphe (en tant que corps topologique) au corps
+le complété de $𝐐$ pour la valeur absolue $|⋅|_∞$.
+Le sous-corps fermé $K₀$ est donc isomorphe
+(en tant que corps topologique) au corps
local premier $𝐑=𝐐_∞$. D'après \refext{AVD-D}{EVT localement
compact sur corps valué est de dimension finie}
l'extension $K \bo 𝐐_∞$ est nécessairement finie.
+Algébriquement, $K$ est donc isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$.
+Topologiquement, il en est de même car $K$
+est homéomorphe à $𝐑^d$ où $d=[K:𝐑]$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT
+sur corps valué complet}).
\subsubsection{}
\label{corps localement compacts ultramétriques}
@@ -700,6 +660,54 @@ $𝐅_q((u))$. Ce dernier est lui-même fini sur son sous-corps
fermé $𝐅_p((u))$.
\end{remarque2}
+\subsubsection{}
+\label{CL conditions équivalentes démo}
+Nous pouvons maintenant vérifier les équivalences
+annoncées en \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
+\begin{itemize}
+\item[(i) ⇒ (ii)] Soit $K$ un corps localement compact non
+discret. Si $K$ est archimédien, il est isomorphe à $𝐑$
+ou $𝐂$, cf. \ref{corps localement compacts archimédiens}.
+Si $K$ est ultramétrique, c'est le corps des fractions d'un
+anneau de valuation discrète à corps résiduel fini, muni
+de sa topologie naturelle, cf. \ref{corps localement
+compacts ultramétriques}.
+\item[(ii) ⇒ (iii)] Soit $K$ un corps topologique
+comme en (ii), ultramétrique. Il résulte des
+théorèmes de structure
+\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
+et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
+que $K$ est fini sur un sous-corps local premier $K₀$.
+Celui-ci est fermé dans $K$ car isomorphe à une droite
+dans $K$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué complet}).
+\item[(iii) ⇒ (i)] Les corps $𝐑$ et $𝐂$
+étant localement compacts, il suffit de considérer
+le corps des fractions $K$ d'un anneau de valuation
+discrète complet $𝒪$ à corps résiduel fini.
+Pour montrer que $K$, muni de la topologie déduite
+de la valuation, est localement compact,
+il suffit de vérifier que $𝒪$ est compact. (C'est
+un voisinage de $0 ∈ K$.) Notons $𝔪$ l'idéal maximal
+de $𝒪$. Cet anneau étant séparé et complet
+pour la topologie $𝔪$-adique, c'est naturellement
+un fermé du produit $∏_{n ≥ 1} 𝒪/𝔪^n$, où chaque anneau
+quotient $𝒪/𝔪^n$ est muni de la topologie discrète.
+Ces anneaux sont finis donc compacts ; il en est de même
+de leur produit.
+\end{itemize}
+Parmi les précisions figurant dans l'énoncé
+du théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes},
+seule la non-unicité de $K₀$ dans le cas de la
+caractéristique positive est à vérifier.
+Or, si $K₀$ est un sous-corps local premier fermé
+dans $K$, le sous-corps $K₁=K₀^p=𝐅_p((t^p))$ de $K$
+satisfait les mêmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$
+résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
+est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)
+
+ \[⁂\]
+
+
\begin{théorème2}
\label{EVT sur corps localement compact}
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel topologique et soit $F$
@@ -763,31 +771,60 @@ topologiques. Si $K$ est local et $L\bo K$ finie, $L$ est
finie d'un corps local peut être munie d'une unique topologie en
faisant un corps local. [mal dit] \XXX
+
+\subsection{Mesure de Tamagawa locales}
+\label{mesures Tamagawa locales}
+
\subsubsection{}
-\label{CL conditions équivalentes démo}
-Nous démontrons ici le théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
- \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
- \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
- \refext{AVD-D}{topologie et anneau des entiers}
- Non unicité : En effet, si $K₀$ est comme
- précédemment, le sous-corps $K₀^p=𝐅_p((t^p))$ de $K$
- satisfait les mêmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$
- résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
- est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)
-\label{locale compacité corps locaux}
-Tout corps local est \emph{localement compact} : tout point
-— ou, de façon équivalente, l'origine — admet un voisinage
-compact. Dans le cas archimédien, c'est bien connu. Dans le cas
-ultramétrique, il suffit de vérifier que l'anneau des
-entiers $𝒪$ est compact. Or, étant séparé et complet
-pour la topologie $𝔪$-adique, c'est naturellement
-un fermé du produit $∏_{n ≥ 1} 𝒪/𝔪^n$, où chaque anneau
-quotient $𝒪/𝔪^n$ est muni de la topologie discrète.
-Ces anneaux sont finis donc compacts ; il en est de même
-de leur produit. Réciproquement, nous montrerons ci-dessous
-(§\ref{corps localement compacts}) qu'un corps topologique localement compact
-non discret est un corps local (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil},
-ou Bourbaki, AC, VI.§9).
+Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc}
+et une description explicite des mesures de Haar
+sur le groupe additif d'un corps local.
+
+\begin{enumerate}
+\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle (au sens
+de Riemann ou Lebesgue) $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
+mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
+L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
+qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
+topologique $K=𝐑$.
+\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
+de Haar. Elle satisfait :
+\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
+\item[ultram.] Soit $K$ un corps local ultramétrique et
+soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
+constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
+tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
+\[
+f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^e}.
+\]
+On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
+à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
+On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
+de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
+à multiplication par une constante non nulle près. \XXX Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
+\end{enumerate}
+
+La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
+précédents.
+
+\begin{proposition2}
+\label{module=module}
+Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
+Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
+groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
+termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a|_K μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
+c'est-à-dire
+\[
+|a|_K ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
+∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
+\]
+pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
+\end{proposition2}
+
+Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
+voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.
\subsection{Caractères additifs d'un corps local}