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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-11-25 18:25:07 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-11-25 18:25:07 +0100
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+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -0,0 +1,801 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
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+
+\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
+
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+
+\begin{document}
+\begin{center}
+Anneaux de Dedekind, corps globaux
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
+\fi
+
+\section{Anneaux de Dedekind : généralités}
+
+\subsection{}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
+Les conditions suivante sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
+\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
+\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
+le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
+discrète.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+AC, diviseurs p. 217.
+\end{démo}
+
+\begin{definition2}
+Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
+tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
+De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+\end{proposition2}
+
+\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
+Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un
+et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie
+$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau
+de Dedekind.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
+\end{démo}
+
+Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.
+
+\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en
+produit d'idéaux premiers.
+
+\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats}
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$.
+\end{définition2}
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Adèles ; idèles.
+\end{définition2}
+
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+$k$ est discret dans $A_k$ et $A_k \bo k$ est compact ; de mesure $1$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{corollaire2}
+\XXX
+Formule du produit.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{proposition2}
+$k^×$ est discret dans $I_k$ et
+$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure
+$…$ en caractéristique nulle.
+\end{proposition2}
+
+Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions
+(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}).
+
+\subsection{Diviseurs}
+
+\begin{définition2}
+diviseurs, diviseurs effectifs etc.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Sorites sur la ramification}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée.
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Différente}
+
+\begin{définition2}
+Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
+\end{définition2}
+
+Lien avec la définition locale.
+
+\begin{proposition2}
+Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{corollaire2}
+Presque tous les idéaux sont non-ramifiés.
+\end{corollaire2}
+
+Méthodes de calcul.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
+Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme
+minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$.
+[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Formule
+\[
+\frac{1}{f(X)}= ∑ …
+\]
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+\[
+\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+\end{définition2}
+
+Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n}
+p^{φ(n)/(p-1)}$.
+
+\begin{lemme2}
+\XXX
+Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
+$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
+\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
+Le morphisme
+$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
+est de la forme
+$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+Passer de la matrice ayant ces colonnes à
+$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
+La formule en résulte.
+\end{démo}
+
+variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467).
+
+Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7]
+
+Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6.
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
+\end{théorème2}
+
+☡ [probablement à déplacer]
+
+\section{Théorèmes de finitude}
+
+\subsection{Finitude du groupe de Picard}
+
+\begin{theoreme2}
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
+des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+\end{theoreme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
+Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
+supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
+Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
+les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
+$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
+
+Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
+Admettons un instant le fait suivant :
+\begin{quote}
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
+existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+\end{quote}
+Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
+un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
+$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
+$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
+car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
+Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
+$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
+Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
+Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+tel que
+$$
+m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+$$
+Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
+deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
+appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Énoncé dans Weil 2.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+Soit $K$ un corps de fonctions.
+Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f)
+ou Weil [BNT] IV. th. 7.
+\end{démo}
+
+\subsection{Genre}
+
+\begin{théorème2}
+$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie.
+\end{théorème2}
+
+Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$.
+
+\begin{définition2}
+$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$.
+\end{définition2}
+
+Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau
+de $K → ⨁_v K_v/O_v$.
+
+[À voir]
+
+\subsection{Fonction zêta de Dedekind}
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+
+Corps de nombres :
+\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\]
+\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
+(fonction zêta complétée) où
+$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
+
+Corps de fonctions :
+\[
+ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}},
+\]
+où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$.
+\[
+\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s)
+\]
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{exemple2}
+$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
+
+
+$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
+
+\end{exemple2}
+
+\begin{proposition2}
+Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
+Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+On se ramène au cas du corps de base.
+\end{démo}
+
+Mieux :
+
+\begin{théorème2}
+Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle.
+\end{théorème2}
+
+Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}).
+
+
+\begin{théorème2}[Pôle simple en $1$]
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
+constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
+$$
+\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+$$
+soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
+La correspondance
+$$
+\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
+$$
+établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
+$$
+\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
+|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
+$$
+Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
+les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
+Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
+quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
+où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
+en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
+C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
+la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+se factorise.
+Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
+$$
+\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
+$$
+Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
+$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
+$$
+\xymatrix{
+\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
+X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
+}
+$$
+Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
+dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
+arbitraire.
+On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
+$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
+de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
+que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
+soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
+Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
+
+\begin{quote}
+Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
+Alors, si $\vol(Y)>0$,
+$$
+\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
+$$
+\end{quote}
+
+
+Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
+\{\infty\}$
+et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
+un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
+On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
+que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
+nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
+l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
+Ainsi, le logarithme induit une injection :
+$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+
+Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
+de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
+de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
+$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
+canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+[FIGURE]
+Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
+logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
+$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
+la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
+tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
+Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+Cas d'un corps de fonctions :
+\[
+ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}
+\]
+pôle simple en $1$ (et $0$).
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. [Rosen] chap. 5. Utilise Riemann-Roch.
+Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7.
+\end{démo}
+
+\subsection{Théorème des unités}
+
+Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
+de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
+Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
+
+\begin{lemme2}
+\XXX
+Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
+$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
+est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
+\end{lemme2}
+
+\begin{proof}
+\XXX
+On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
+$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
+Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
+consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
+par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
+du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
+à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
+\end{proof}
+
+\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
+$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
+Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
+est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{proof}
+\XXX
+\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
+Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
+et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
+un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
+$$
+\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
+$$
+Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
+\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
+
+
+Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
+est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
+= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
+Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
+$$
+\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
+$$
+Cela résulte de l'égalité
+$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
+jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
+des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
+(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
+l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
+le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
+des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
+
+Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
+de toute partie bornée est \emph{finie}.
+Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
+$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
+bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
+est bornée.
+Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
+sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
+Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
+du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
+il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
+pour $e\in 𝒪_K$.
+
+Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
+tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
+de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
+
+Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
+
+Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
+
+\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
+Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
+tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
+\end{quote}
+
+Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
+
+\begin{quote}
+Il existe une constante $\mu_K$
+telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
+$$\left\{ \begin{array}{l}
+\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
+\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
+\end{array}\right.$$
+\end{quote}
+
+Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs
+satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
+Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
+$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
+\CC^{r_\CC},\
+\left\{ \begin{array}{l}
+|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
+|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
+\end{array}\right.\}
+$$
+(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
+
+On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
+le produit est muni de la mesure produit.
+L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
+fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
+à l'origine et convexe. Son volume est
+$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
+Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
+$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
+\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
+$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
+ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
+conditions du lemme.
+
+Démontrons le «~lemme chinois~».
+Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
+du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
+normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
+strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
+$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
+une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
+
+\begin{quote}
+Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
+ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
+sur une ligne soit nulle.
+Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
+\end{quote}
+\end{proof}
+
+\begin{théorème2}[F.K. Schmidt]
+Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions :
+
+$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14]
+\end{démo}
+
+\section{Non-existence d'extensions non ramifiées ; application}
+
+\subsection{Le théorème de Minkowski}
+
+\begin{théorème2}[Minkowski]
+\XXX
+Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
+non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
+connexe alors $\ZZ⥲ A$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
+groupe de Picard.
+Il suffit de démontrer l'inégalité :
+$$
+\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
+$$
+où $n=[K:\QQ]$.
+Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
+Soit
+$$
+A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
+$$
+le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
+L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
+de $A$ a une norme inférieure à $1$.
+Admettons que
+$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
+de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
+L'inégalité en résulte immédiatement.
+
+Effectuons le calcul volumique. Posons
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
+$$
+où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
+En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
+f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
+$$
+on trouve :
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
+$$
+Soit
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
+de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
+Calculons $g$ :
+$$\begin{array}{ll}
+g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
+& = 2\pi g_{r-1}(1)
+\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
+& = ... \\
+& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
+\end{array}
+$$
+Finalement,
+$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
+\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
+comme annoncé.
+\end{démo}
+
+\subsection{Caractéristique $p>0$}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
+\end{théorème2}
+
+\subsection{Un théorème de Selmer}
+
+\begin{proposition2}[Selmer]
+\XXX
+Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
+les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
+$$
+S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
+$$
+et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
+Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
+a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
+racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
+produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
+il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
+En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
+que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
+
+Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
+si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
+on a
+$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
+en sommant le carré des deux égalités on trouve :
+$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
+En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
+les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
+qui n'est pas le cas.
+Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
+$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
+on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
+$$
+\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+$$
+Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
+et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
+$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
+on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
+l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
+CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$
+est $𝔖_n$ tout entier.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
+des entiers. Supposons que le nombre premier
+$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors
+ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
+est le composé de tels corps.
+Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
+modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
+Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
+que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
+et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
+Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
+est soit trivial soit engendré par une transposition.
+Ainsi, le groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
+de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
+[facile].
+\end{démo}
+
+\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
+Alors :
+\[
+\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{remarque2}
+\XXX
+Courbe elliptique à multiplication complexe.
+\end{remarque2}
+
+Cf. cours à Hyères (2008).
+
+Utilise :
+
+— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;
+
+— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;
+
+— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 245ff1d..6785094 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -928,9 +928,11 @@ La conclusion en résulte aussitôt.
Soit $L\bo K$ une extension séparable non ramifiée [nette ?]
de corps locaux et soit $ψ$ un caractère de $K$.
Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
-du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$.
+du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. Plus généralement, […]
\end{proposition2}
+Cela devrait avoir un rapport avec Riemann-Hurwitz \XXX.
+
\begin{démo}
Trivial : cf. \ref{}.\XXX
\end{démo}
@@ -955,7 +957,9 @@ de \emph{Bruhat-Schwartz}.
%et variantes uniquement dans cas archimédien).
\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
-et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
+et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$\footnote{À
+ne pas confondre avec les $ψ_x$ considérés dans le cas global... \XXX}
+le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
@@ -969,8 +973,12 @@ en fait une somme \emph{finie}
∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\]
où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
localement constante à support compact $f ψ_x$.
-Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ est la transformation de Fourier usuelle — au choix de la
-normalisation près — de $f$ : $x ↦ ∫ f(t)\exp(-2i π tx) dt$.
+Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}$ est la
+transformation de Fourier usuelle, que nous noterons
+aussi $ℱ_𝐑$, % notation XXX
+\[
+f↦ (x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big).
+\]
\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
@@ -1785,21 +1793,17 @@ Mesures produits/colimites : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minim
\subsection{Adèles}
\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ_f(K)$ un ensemble \emph{cofini} de places finies.
-On note $A_K(U)$ l'anneau
+On note $K_𝐀(U)$ l'anneau
\[
∏_{v ∉ U} k_v × ∏_{v ∈ U} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.
\[
-A_K=\colim_S A_K(U).
+K_𝐀=\colim_S K_𝐀(U).
\]
Description de la topologie.
-\XXX Notation concurrente (peut-être préférable) : $K_𝐀$
-etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.)
-
-
\subsubsection{Mesure}
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
@@ -1816,21 +1820,23 @@ Trivial. cf. p. ex Saïtô p. 239.
\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
-Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme,
+Alors $K_𝐀⊗_K L → L_𝐀$ est un isomorphisme,
envoyant $K$ sur $L$.
-Le morphisme $𝐀_K → 𝐀_L$ correspondant
+Le morphisme $K_𝐀 → L_𝐀$ correspondant
est $(a_x)↦ (b_y)$ où pour $y↦ x$, $b_y=a_x$
-et $A_K^n ⥲ A_L$ étend $K^n ⥲ L$ etc. \XXX
-Dans le cas étale, toute forme $𝐀_K$-linéaire
-$𝐀_L → 𝐀_K$ est de la forme $\Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_K} ∘ [× a]$.
+et $K_𝐀^n ⥲ L_𝐀$ étend $K^n ⥲ L$ etc. \XXX
+Dans le cas étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
+$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
\end{proposition2}
+(Pas d'hypothèse de séparabilité.)
+
\begin{théorème2}
\label{cocompacité}
\begin{enumerate}
-\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
+\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
-dans $A_K$ est discrète et le quotient $A_K / K$ est compact.
+dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
\item Si $U ⊆ P_K$ est cofini et contient $P_K^∞$, l'inclusion canonique
$𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$, où $𝒪_S$ est muni de la topologie discrète, est
continu et est un quasi-isomorphisme.
@@ -1874,21 +1880,22 @@ compact ou commutatif}).
\subsection{Idèles}
-\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$ ; $I_K¹$ ; $C_K=I_K/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
+\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $K^×_𝐀$ ; $I_K¹$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
$I^∞_K=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
-☡ $C_K$ n'est *pas* compact.
+☡ $C_K$ n'est *pas* compact. \XXX Utiliser d'autres notations :
+$K^×_𝐀$ etc.
-☡ La topologie de $I_K$ est n'est pas topologie induite par
-l'inclusion $I_K ⊆ A_K$. Par exemple ([Saitô]p241),
-la suite d'éléments $x_n$ de $I_𝐐$ dont les coordonnées
+☡ La topologie de $K^×_𝐀$ est n'est pas topologie induite par
+l'inclusion $K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$. Par exemple ([Saitô]p241),
+la suite d'éléments $x_n$ de $𝐐^×_𝐀$ dont les coordonnées
sont $1$ en la place réelle et $n!+1$ ailleurs tend
-vers $1$ dans $A_𝐐$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
+vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
Variante : considérer les idèles $x_p$ ($p$ variable) valant $p$ en $p$ et $1$ ailleurs.
\begin{proposition2}
\label{topologies induites coïncident}
Les topologies induites sur $I¹_K$ par les inclusions
-$I¹_K ⊆ I_K$ et $I¹_K ⊆ A_K$ coïncident. Plus précisément, …
+$I¹_K ⊆ K^×_𝐀$ et $I¹_K ⊆ K_𝐀$ coïncident. Plus précisément, …
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -1909,11 +1916,11 @@ l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nul
\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). [Saitô] p. 236.
-(i). $K^×$ est discret dans $I¹_K$ car $K$ est discret dans $A_K$ et
+(i). $K^×$ est discret dans $I¹_K$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et
la topologie de $I¹_K$ induite
-$A^×_K ⊆ A_K$ est continu. Il « suffit » de montrer
-que $μ(I_K/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
-de $A_K/K$ et le lemme \ref{topologies induites coïncident}.
+$A^×_K ⊆ K_𝐀$ est continu. Il « suffit » de montrer
+que $μ(K^×_𝐀/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
+de $K_𝐀/K$ et le lemme \ref{topologies induites coïncident}.
Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration
repose sur RR.
\end{démo}
@@ -2149,7 +2156,7 @@ On a la formule des résidus suivante.
C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin.
\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
-Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
+Comme $K^×_𝐀/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
isomorphisme canonique
\[
C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K
@@ -2237,8 +2244,8 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsection{Transformée de Fourier}
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
-\label{Bruhat-Schwart adélique}
-On note $𝒮(A_K)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
+\label{Bruhat-Schwartz adélique}
+On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
externes restreints $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$, où chaque
fonction $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}) % mettre des \bigboxtimes
@@ -2262,7 +2269,7 @@ $⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^u
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
D'après \ref{densité K dans AKS}, il existe $a ∈ K$
tel que $a-a_x ∈ 𝒪_x$ pour chaque $x ∈ Σ(K)$.
-Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(A_K)$ est combinaison
+Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^a ⊠ f^u$, où $f^u$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
@@ -2278,19 +2285,19 @@ a=(a_p)↦ ∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{x_p\}_p -x_∞)
\]
est bien défini — car $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$, de sorte que pour chaque
adèle $a$ le produit ci-dessus est à support fini — et induit
-un caractère additif de $𝐀_𝐐$, trivial sur $𝐐$ par la formule
+un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).
-Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐀_𝐐 → \chap{𝐀_𝐐}$
+Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐐_𝐀 → \chap{𝐐_𝐀}$
est un \emph{isomorphisme} et $𝐐$ est orthogonal à lui-même :
-un élément $a$ de $A_𝐐$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
+un élément $a$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
$ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b∈𝐐$, c'est-à-dire si et seulement si la
restriction de $[×a]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
En effet, on a :
— injectivité car si $ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b
-∈ 𝐀_𝐐$, on a $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐((…,0,a_p b_p,0,…))=1$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$, tout $b_p ∈ 𝐐_p$
+∈ 𝐐_𝐀$, on a $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐((…,0,a_p b_p,0,…))=1$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$, tout $b_p ∈ 𝐐_p$
et, d'après \ref{dual corps local}, ceci entraîne $a_p=0$ ;
— surjectivité car tout caractère est de la forme
@@ -2301,7 +2308,7 @@ de groupes compacts est trivial sur presque tous les
facteurs. \XXX}, et chaque $ψ_p$ est, d'après \emph{loc. cit.},
de la forme $[× a_p]^* e_p$ ;
-— si $a ∈ 𝐐^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐐 : ψ_𝐐(b 𝐐)=\{1\}\}$,
+— si $a ∈ 𝐐^⊥ =\{b ∈ 𝐐_𝐀 : ψ_𝐐(b 𝐐)=\{1\}\}$,
on peut écrire $a=λ + c$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
diagonalement) et $c=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
(\ref{cocompacité}). Naturellement,
@@ -2309,11 +2316,11 @@ $c ∈ 𝐐^⊥$. (L'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
vectoriel des adèles.). On a
$1=ψ_𝐐(c)=𝐞_{∞}(-c_∞)$ et finalement $c_∞=0$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
-(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐀_𝐐$ tout entier. Ainsi, $c=0$
+(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐐_𝐀$ tout entier. Ainsi, $c=0$
et $a ∈ 𝐐$\footnote{En utilisant un peu la théorie
de la dualité, on pourrait montrer que le quotient
$𝐐^⊥ \bo 𝐐$ est discret. Comme il est compact,
-car $𝐀_𝐐 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
+car $𝐐_𝐀 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]
% ici : méthode de Weil, BNT p. 67.
@@ -2321,19 +2328,20 @@ car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]
Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$.
Notons enfin $ψ_∞$ le caractère additif du corps
-local $𝐤_∞$ construit en \ref{exemples caractères additifs
+local $𝐤_∞$, construit en \ref{exemples caractères additifs
locaux} : si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$,
$c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
\[
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
-On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ : le niveau
+Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
+$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ : le niveau
de $ψ_∞$ est égal à $1$.
Le caractère composé $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝒪_{𝐤_∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
se factorise à travers la surjection $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝐀_𝐤 \bo 𝐤$ (\ref{cocompacité})
car \mbox{$ψ_∞(𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞})=\{1\}$}. On en déduit donc
un caractère additif (continu) des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
-note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})$. Par construction, $ψ_{𝐤,x}$ est trivial
+note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$. Par construction, $ψ_{𝐤,x}$ est trivial
sur $𝒪_{𝐤_x}$ pour chaque $x ≠ ∞$. Nous allons voir comment
calculer ce caractère et montrer qu'il est de \emph{niveau nul}.
Soit $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant.
@@ -2343,16 +2351,17 @@ et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
inférieur à $δ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut écrire $f=f_-+f_+$,
où $f_+ ∈ 𝒪_{𝐤_x}$ et, en mettant au même dénominateur,
\[
-f_-=\frac{λ_{r δ_x -1}t^{rd_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
+f_-=\frac{λ_{\max }t^{r δ_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
\]
pour un entier $r>0$, des $λ_i$ dans $𝐅_p$, et
-un polynôme $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ de degré inférieur ou égal à $δ_x$.
-Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{r δ_x-1})$ et
+un polynôme $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ de degré inférieur ou égal à $δ_x$
+tel que $ϖ_x = t^{ δ_x} u$.
+Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{\max})$ et
$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_- ∈ 𝒪_{𝐤_y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
-Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)=ψ_{𝐤,x}(f_-)=ψ_{𝐅_p}(-λ_{r δ_x-1})$,
+Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)=ψ_{𝐤,x}(f_-)=ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$,
la première égalité étant conséquence de la trivialité
de $ψ_{𝐤,x}$ sur $𝒪_{𝐤_x}$. % itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
-En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x) ≠ 1$. Ceci montre que
+En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x) = ψ_{𝐅_p}(-1)≠ 1$. Ceci montre que
$n(ψ_{𝐤,x})=0$ compte tenu du fait que $t^{δ_x-1} ∈ 𝒪_{𝐤_x}^×$ ($x
≠ ∞$).
Montrons que $𝐀_𝐤 → \chap{𝐀_𝐤}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
@@ -2364,7 +2373,7 @@ Soit $a ∈ 𝐤^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐤 : ψ_𝐤(b 𝐤)=\{1\}\}$.
On peut écrire $a=f + c$ où $λ$ appartient à $𝐤$ (plongé
diagonalement) et $c=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
à translater par une constante dans $𝐅_p$, on peut
-supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$.
+supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞$.
Naturellement, $c ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
si bien que $c_∞ ∈ 𝔪_∞²$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$, et $𝐤$ donc
@@ -2375,13 +2384,11 @@ et $a ∈ 𝐤$.
Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}
- \[⁂\]
-
\begin{proposition2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
Soit $K$ un corps global.
-Il existe un caractère non trivial $ψ$ de $A_K$, trivial sur $K$.
-Le morphisme $A_K → \chap{A_K}$, $a↦ [×a]^*ψ$
+Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$.
+Le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme et $K$ est orthogonal à lui-même.
\end{proposition2}
@@ -2394,61 +2401,136 @@ D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
cela permettra de conclure.
Si $ψ_{K}$ est un caractère additif non trivial de $𝐀_{K}$
(resp. et trivial sur $K$), il résulte de \ref{adèles et cb}
-que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_{K}}$ est également
+que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo 𝐀_{K}}$ est également
non trivial (resp. et trivial sur $L$).
-Si $ψ_L(a 𝐀_L)=\{1\}$, et $a_x ≠ 0$ ($x$ place de $K$)
+Si $ψ_L(a L_𝐀)=\{1\}$, et $a_x ≠ 0$ ($x$ place de $K$)
on a $ψ_{K,x}(K_x)=\{1\}$ (car $\Tr_{L_x \bo
K_x}(L_x)=K_x$), ce qui est absurde. (Cf. calculs
explicites ci-dessus : le niveau des $ψ_{K,x}$ est fini.)
-Ainsi $a=0$ et $A_L → \chap{A_L}$ est donc injective.
+Ainsi $a=0$ et $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$ est donc injective.
La surjectivité résulte formellement du fait
-que $𝐀_L = 𝐀_K^n$ (car si l'on note $b↦ (b₁,…,b_n)$
-cet isomorphisme, il existe des $a_i$ dans $𝐀_K$
-tels que $ψ(b)=ψ_K(⟨a,(b₁,…,b_n⟩)$) et que toute forme $𝐀_K$-linéaire
-$𝐀_L → 𝐀_K$ est de la forme $\Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_K} ∘ [× a]$.
+que $L_𝐀 = K_𝐀^n$ (car si l'on note $b↦ (b₁,…,b_n)$
+cet isomorphisme, il existe des $a_i$ dans $K_𝐀$
+tels que $ψ(b)=ψ_K(⟨a,(b₁,…,b_n⟩)$) et que toute forme $K_𝐀$-linéaire
+$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
Orthogonalité : il existe pour chaque $i$, un $l_i
∈ L$ tel que $\Tr(a l_i K)=a_i K$. En conséquence,
si $ψ_K ∘ \Tr (aL)=\{1\}$, on a $ψ_K(a_iK)=\{1\}$
d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
+\XXX détailler cette esquisse.
\end{démo}
-\subsubsection{Fourier sur $A_K$}
-Soit $ψ= (ψ_x)$ un caractère comme en \ref{Pontrâgin pour adèles}.
-Pour chaque fonction $f=(f_x)$ produit externe restreint
-comme en \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on pose :
+\subsubsection{Fourier sur $K_𝐀$}
+Soit $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
+sur $K$. Il résulte de ce qui précède
+que les niveaux $n(ψ_x)$ sont nuls pour presque tout $x$.
+Notons $ℱ_{ψ_x}$ les transformées de Fourier
+locales auto-duales (\ref{Fourier et mesure locaux}).
+Pour chaque fonction $f=⊠′_x f_x$ produit externe restreint
+comme en \ref{Bruhat-Schwartz adélique},
+il résulte de \emph{loc. cit.} que les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$
+sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$
+et induisent donc une fonction $ℱ_ψ(f)=⊠′_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sur $K_𝐀$.
+De plus, chaque $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient à $𝒮(K_x)$
+(\emph{loc. cit.}, (i)) si bien que $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
+
+\XXX Si l'on note $μ_ψ$ mesure sur $K_𝐀$ déduite
+des $μ_{ψ_x}$, définie par [...],
+on a bien sûr l'égalité
\[
-ℱ_ψ(f)=(ℱ_{ψ_x}(f_x)),
+ℱ_ψ(f)(t)=∫_{K_𝐀} f ψ_t   dμ_ψ
\]
-où l'on rappelle que $ℱ_{ψ_x}$ désigne la transformée
-de Fourier local auto-duale (\ref{Fourier et mesure locaux}).
+pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où
+$ψ_t=[× t]^* ψ$.
-Fait : $ℱ_ψ(f)$ appartient à $𝒮(𝐀)$. Utilise dévissage
-$f^u=𝟭_{a+M𝒪}$. [à écrire différemment : commencer par ça puis faire la définition.]
+\begin{exemple2}[Cas des rationnels]
+Considérons :
-Exemple. Cas archimédien sur $𝐐$ [?]
+— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$ ;
+
+— un élément $N∈ 𝐙-\{0\}$ ;
+
+— un élément $x$ un élément de $𝐐$.
+
+Alors,
\[
-ℱ_ψ(f^a ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀})=ℱ_{ψ_∞}(f_∞)/|a|_∞ ⊠ 𝟭_{-a+P^{-1}𝒪_𝐀}.
+ℱ_{ψ_𝐐}(f^∞ ⊠ 𝟭_{x+N \chap{𝐙}})=
+\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^∞) \big) ⊠
+\big( [×x]^* ψ_𝐐^{≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big),
\]
+où $ψ_𝐐^{ ≠ ∞}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
+déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
+$\chap{𝐙}=\lim_P 𝐙/P ⥲ ∏_p 𝐙_p$.
+Cela résulte immédiatement de l'égalité
+$𝟭_{x_p+ N 𝐙_p}=[-x_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
+de \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii), et de la formule du produit
+$∏_p |N|_p=1/|N|$.
+On peut déduire de cette expression une \emph{formule
+de Poisson adélique}
+\[
+∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ)
+\]
+qui sera généralisée ci-dessous (\ref{Fourier adélique} (iii)).
+Par linéarité, on peut supposer $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ comme
+ci-dessus. Compte tenu de ce qui précède, il nous faut
+vérifier l'égalité
+\[
+∑_{λ ∈ x+N 𝐙} f^∞(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ x) \chap{f^∞}(λ)
+\]
+qui résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
+appliquée à la fonction $φ(λ)=f^∞(N λ + x)$, dont la transformée
+de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ x/N)\chap{f^∞}(\frac{λ}{N})$.
+\end{exemple2}
-\begin{remarque2}
-$ℱ_ψ(f)=∫ f ψ d μ_ψ$ et infra (mesure indépendante de $ψ$)… \XXX
-\end{remarque2}
+\begin{exemple2}[Cas des fonctions rationnelles]
+Considérons :
+
+— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐅_p((t^{-1}))=𝒮(𝐤_∞)$ ;
+
+— un élément $N ∈ 𝐅_p[t]-\{0\}$ ;
+
+— un élément $x$ un élément de $𝐤$.
+
+On a alors comme ci-dessus l'égalité
+\[
+ℱ_{ψ_𝐤}(f^∞ ⊠ 𝟭_{x+N \chap{𝐅_p[t]}})=
+\big( \frac{1}{p^{\deg(N)}} ℱ_{ψ_∞}(f^∞) \big) ⊠
+\big( [×x]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
+\]
+où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif
+du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$,
+et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲ ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$.
+Bien entendu les formules de \emph{op. cit.}
+permettent également le calcul, par dévissage,
+de $ψ_{ψ_∞}(f^∞)$. On a notamment
+$ψ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= q^½ [× ϖ_∞]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$
+On en tire en particulier que $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_𝐤})(0)=μ_{ψ_𝐤}(𝒪_𝐤)$
+est égal à $q^½$. Ce résultat sera généralisé
+en \ref{mesure quotient adélique}. [\XXX rapport pas si clair.]
+
+
+Dans ce cas, la formule de Poisson adélique est moins immédiate.
+La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des
+rationnels nous ramène en effet au théorème
+de Riemann-Roch énoncé ci-après. [à vérifier/détailler] \XXX
+\end{exemple2}
+
Formule d'inversion.
\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
\XXX
-Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $A_K/K$.
+Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$.
\begin{enumerate}
-\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $A_K$ associées
-aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.
+\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associées
+aux mesures auto-duales $μ_{ψ_x}$. Alors, $μ_ψ(K_𝐀/K)=1$.
\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
-\item Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$,
+\item Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
\[
-∑_{x ∈ K} f(x)=∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x).
+∑_{λ ∈ K} f(λ)=∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ).
\]
\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
Pour tout idèle $a$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
@@ -2513,23 +2595,6 @@ pour fonction $h$ dans $𝒮$.
$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
\end{démo}
-\begin{remarque2}Démonstration de la formule de Poisson dans
-le cas des corps de nombres (esquisse) ; cf. \cite{Elements@Colmez})
-Par linéarité, on peut supposer que
-$f=f_∞ ⊠ ⊠_{x ∈ Σ^u(𝐐} 𝟭_{a_x+ϖ_x^{n_x}}$.
-Il existe $a ∈ 𝐐$ tel que $a-a_x ∈ 𝒪_𝐀$ pour tout $x$ (cf. \ref{}).
-En conséquence, $f=f_∞ ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀}$ où $P=∏_x ϖ_x^{n_x}$.
-Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
-que
-\[ℱ(f_∞ ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀})=ℱ_{ψ_∞}(f_∞)/|a|_∞ ⊠
-𝟭_{-a+P^{-1}𝒪_𝐀},\]
-où $ℱ$ est calculé relativement
-au caractère canonique.
-Finalement, on se ramène \XXX au cas de la formule
-de Poisson archimédienne ! Dans le cas des corps de
-fonctions cette méthode nous ramène au théorème de Riemann-Roch
-énoncé ci-après.
-\end{remarque2}
\subsection{Premières applications}
@@ -2584,8 +2649,9 @@ cf. Lang, [Introduction to…] ou Weil, [BNT], remarque p. 101.
Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
\begin{théorème2}
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
+\label{mesure quotient adélique}
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
\end{théorème2}
\begin{démo}