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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-10-27 19:19:41 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-10-27 19:19:41 +0200
commitc2ab3b88377f7eb1b37793df77e71f5ff4fa7fdf (patch)
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[LG] caractères adéliques de 𝐅_p(t) [suite]
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex116
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index d3d880e..9116c56 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1,5 +1,7 @@
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\usepackage{palatino,euler}
+
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@@ -39,7 +41,6 @@
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\begin{document}
\begin{center}
@@ -251,7 +252,8 @@ invariante à droite, en un sens évident.
\label{Haar existence et unicité}
Le lecteur pressé peut omettre la lecture de ce paragraphe sans préjudice
notable\footnote{Voir \ref{mesures Tamagawa locales} pour une construction \emph{ad hoc} dans le cas local
-et \XXX pour des remarques dans le cas adélique.}
+et \XXX pour des remarques dans le cas adélique. Cf. Weil,
+commentaire sur [1967c] dans ces Œuvres, tome III.}
%l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions
%dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes
%dans $𝒪_x$ [utile pour formule du produit] et que
@@ -803,6 +805,7 @@ le caractère additif du corps fini $𝐅_p$ défini par $x ↦
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.
\subsubsection{Exemples de caractères additifs des corps locaux}
+\label{exemples caractères additifs locaux}
Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}_p),\] où $\{x\}_p$ désigne
l'unique rationnel $r$ (nécessairement dans $𝐙[1/p]$) tel que $0 ≤ r < 1$ et
@@ -930,6 +933,7 @@ Trivial : cf. \ref{}.\XXX
\subsection{Transformation de Fourier}
\subsubsection{Espace de Schwartz}
+\label{BS-local}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des
fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont les conditions
suivantes de régularité et de décroissance à l'infini. Lorsque $K$ est
@@ -2223,14 +2227,22 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\label{Bruhat-Schwart adélique}
On note $𝒮(A_K)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
-externe restreint $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$ où chaque $f_x ∈ 𝒮(K_x)$ % mettre des \bigboxtimes
-et pour presque tout $x ∈ Σ^u(K)$, $f_x=𝟭_{𝒪_x}$.
+externes restreints $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$ où chaque
+fonction $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
+du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}) % mettre des \bigboxtimes
+et pour presque tout $x ∈ Σ^u(K)$,
+$f_x=𝟭_{𝒪_x}$\footnote{D'après Kudla, « Tate's thesis »
+p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
+\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
+L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
+des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
+p. 178 et p. 189. \XXX}
On écrit aussi $f=(f_x)_{x ∈ Σ(K)}$.
Pour $f$ comme ci-dessus, on note $f^a$ (resp. $f^u$)
la fonction $⊠_{x ∈ Σ^a(K)} f_x : ∏_{x ∈ Σ^a(K)} K_x → 𝐂$
(resp. $⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} f_x : ∏′_{x ∈ Σ^u(K)} K_x → 𝐂$,
où $∏′$ désigne le produit tensoriel restreint relativement
-aux $𝒪_x$, $x ∈ Σ^u(K)$).
+aux sous-anneaux compacts $𝒪_x$, $x ∈ Σ^u(K)$).
Par construction, on a $f=f^a ⊠ f^u$.
La fonction $f^u$ est combinaison linéaire de fonctions
$⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^u_K$
@@ -2240,11 +2252,10 @@ tel que $a-a_x ∈ 𝒪_x$ pour chaque $x ∈ Σ(K)$.
Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(A_K)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^a ⊠ f^u$, où $f^u$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
-tel que $n_x=0$ pour presque tout $x$.
+($n_x=0$ pour presque tout $x$).
\subsubsection{Caractères additifs $𝐀_{𝐐}$}
Reprenons les notations de la proposition \ref{caractère corps local}.
-
Le produit externe restreint
\[
ψ_{𝐐}=⊠′_{p ∈ Σ(𝐐)} 𝐞_{p}
@@ -2255,33 +2266,78 @@ a=(a_p)↦ ∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{x_p\}_p -x_∞)
est bien défini — car $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$, de sorte que pour chaque
adèle $a$ le produit ci-dessus est à support fini — et induit
un caractère additif de $𝐀_𝐐$, trivial sur $𝐐$ par la formule
-du produit (\ref{}).
+du produit (\ref{formule du produit}).
-Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐀_𝐐 ≃ \chap{𝐀_𝐐}$
-est un \emph{isomorphisme} et $K$ est orthogonal à lui-même :
+Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐀_𝐐 → \chap{𝐀_𝐐}$
+est un \emph{isomorphisme} et $𝐐$ est orthogonal à lui-même :
un élément $a$ de $A_𝐐$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
-$ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b∈𝐐$ c'est-à-dire si et seulement si la
+$ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b∈𝐐$, c'est-à-dire si et seulement si la
restriction de $[×a]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
-En effet … \XXX
-
-\subsubsection{Caractères additifs de $𝐀_{𝐅_p(t)}$}
-Soit $p>0$ un nombre premier et posons $𝐅=𝐅_p(t)$.
-
-Le produit externe restreint
-\[
-ψ_{𝐅}=⊠′_{x ∈ Σ(𝐅)} 𝐞_{𝐅_x,dt}
-\]
-\[
-a=(a_x)↦ ∏_x 𝐞_{𝐅_x,dt}(a_x)
-\]
-est bien défini — car $𝐞_{𝐅_x,dt}(𝒪_{𝐅_x})=\{1\}$ pour tout $x ≠ ∞$
-(c'est-à-dire ne correspondant pas à l'anneau de valuation $𝐅_p(1/t)$)
-(cf. \ref{niveaux forme différentielle presque tous nuls}) et induit un caractère additif de $𝐀_𝐅$,
-trivial sur $𝐅$ par la formule des résidus (\ref{}).
-
-Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐅$, $𝐀_𝐅 ≃ \chap{𝐀_𝐅}$
-est un \emph{isomorphisme} et $𝐅$ est orthogonal à lui-même.
+En effet, on a :
+
+— injectivité car si $ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b
+∈ 𝐀_𝐐$, on a $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐((…,0,a_p b_p,0,…))=1$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$, tout $b_p ∈ 𝐐_p$
+et, d'après \ref{dual corps local}, ceci entraîne $a_p=0$ ;
+
+— surjectivité car tout caractère est de la forme
+$⊠′ ψ_p$, où $ψ_p$ est la restriction de $ψ$ au facteur
+$𝐐_p$, trivial sur $𝐙_p$ pour presque tout $p$\footnote{C'est un
+fait général : tout caractère (continu) d'un produit
+de groupes compacts est trivial sur presque tous les
+facteurs. \XXX}, et chaque $ψ_p$ est, d'après \emph{loc. cit.},
+de la forme $[× a_p]^* e_p$ ;
+
+— si $a ∈ 𝐐^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐐 : ψ_𝐐(b 𝐐)=\{1\}\}$,
+on peut écrire $a=λ + c$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
+diagonalement) et $c=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$. Naturellement,
+$c ∈ 𝐐^⊥$. (L'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
+vectoriel des adèles.) Comme $𝐀_𝐐=𝐐+C$ (cf. \ref{cocompacité}), on a
+$1=ψ_𝐐(c)=𝐞_{∞}(-c_∞)$ et finalement $c_∞=0$. Ainsi,
+$[×c]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
+(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐀_𝐐$ tout entier. Ainsi, $c=0$
+et $a ∈ 𝐐$\footnote{En utilisant un peu la théorie
+de la dualité, on pourrait montrer que le quotient
+$𝐐^⊥ \bo 𝐐$ est discret. Comme il est compact,
+car $𝐀_𝐐 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
+car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]
+% ici : méthode de Weil, BNT p. 67.
+
+\subsubsection{Caractères additifs de $𝐀_𝐤$, où $𝐤=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
+Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
+premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$.
+Notons enfin $ψ_∞$ le caractère additif du corps
+local $𝐤_∞$ construit en \ref{exemples caractères additifs
+locaux} : si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$,
+$c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
+\[
+ψ_∞(f)=ψ₀(c_{-1})=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f).
+\]
+On en déduit un caractère continu du sous-anneau compact $∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ des
+adèles par composition avec la projection sur $𝒪_{𝐤_∞}=𝐅_p[[t^{-1}]]$.
+Comme d'autre part $𝐀_𝐤=𝐤 + ∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ (\ref{cocompacité}), on en déduit
+un caractère additif des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
+note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})$.
+
+Fait : $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$ pour $x ≠ ∞$.
+[BNT, p. 68] En d'autres termes, $ψ_𝐤$ est le produit externe restreint
+$⊠′_{x ∈ Σ(𝐤)} 𝐞_{𝐤_x,dt}$.
+
+Soit $x ≠ ∞$ une place de $𝐤$ et soit $ϖ_x$ le générateur
+unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant.
+Tout élément du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
+de manière unique $∑_{i ≥ n} c_i(t) ϖ_x^i$, où $n ∈ 𝐙$
+et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
+inférieur à $d_x=\deg(ϖ_x)$. Le caractère $ψ_{𝐤,x}$ étant
+trivial sur $𝒪_{𝐤_x}$ on constate en mettant les $c_i(t) ϖ_x^i$
+pour $i<0$ au même dénominateur
+que son étude se ramène \XXX au calcul des $ψ_{𝐤,x}(c_n(t) ϖ_x^n)$ pour $n<0$.
+[...]
+
+Fait : le niveau de $𝐞_{𝐤_x,±dt}$ est nul.
+
+Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐤$, $𝐀_𝐤 ≃ \chap{𝐀_𝐤}$
+est un \emph{isomorphisme} et $𝐤$ est orthogonal à lui-même.
En effet … \XXX