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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-02 17:10:46 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-02 17:10:46 +0100
commitc3713afe97d588611c8fc448fdd68ee6a03980a0 (patch)
tree4f4d47fc455cb4f775b58818948c81fa4faf2040 /chapitres
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[calculs] Résolvantes pour le degré 4 (pas fini).
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex64
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 0d032a8..8ed1a36 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -393,7 +393,7 @@ générale $R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
de $\mathfrak{S}_d$, mais le polynôme ainsi défini n'est pas
totalement symétrique dans les $Z_i$.
-\begin{exemples2}
+\begin{exemples2}\label{exemples-resolvantes}
\begin{itemize}
\item Si $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un polynôme totalement
symétrique en $Z_1,\ldots,Z_d$, alors $H :=
@@ -585,7 +585,67 @@ a_3^2)$ ; relativement à $Q$ elle vaut $R_Q(f) = X^2 - (a_1^2 a_2^2 -
proposition \ref{utilisation-des-resolvantes} est la suivante : si $f$
et la résolvante considérée sont séparables, alors la résolvante admet
une racine dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois de $f$ est
-inclus dans le groupe $H$ (des permutations cycliques).
+inclus dans le groupe $H$ des permutations cycliques (pour $R_Q$, on
+suppose dans cette affirmation que la caractéristique de $k$ est
+différente de $2$). Ceci recouvre essentiellement la
+proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}.
+
+
+\subsection{Degré $4$}
+
+Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_4$ possède cinq sous-groupes
+transitifs : le groupe symétrique $\mathfrak{S}_4$ tout entier
+(d'ordre $24$), le groupe alterné $\mathfrak{A}_4$ (d'ordre $12$), le
+groupe diédral $D_4$ du carré (d'ordre $8$), le groupe cyclique $C_4 =
+\ZZ/4\ZZ$ d'ordre $4$, et le produit $C_2 \times C_2 = (\ZZ/2\ZZ)^2$
+(d'ordre $4$) de deux groupes cycliques d'ordre $2$ également appelé
+groupe de Klein. Le groupe $C_2\times C_2$ (qui est distingué dans
+$\mathfrak{S}_4$) est inclus dans $\mathfrak{A}_4$ ; ce n'est pas le
+cas de $C_4$ (c'est-à-dire d'aucun conjugué de $C_4$) ni à plus forte
+raison de $D_4$.
+
+Pour tester si le groupe de Galois d'un polynôme $f = X^4 + a_1 X^3 +
+a_2 X^2 + a_3 X + a_4$ est inclus dans $\mathfrak{A}_4$, on dispose du
+discriminant (ou, en caractéristique $2$, du distinguant) comme
+expliqué en \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}, et on
+pourrait, comme dans le cas cubique ci-dessus, faire le lien avec la
+résolvante de polynômes tels que $\prod_{i<j}(Z_i-Z_j)$.
+
+Pour tester si le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_4$ (à
+conjugaison près), on a déjà suggéré en \ref{exemples-resolvantes}
+d'utiliser la résolvante relativement à $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$, à
+savoir $R_P = X^3 - a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X + (- a_1 ^2 a_4 -
+a_3^2 + 4 a_2 a_4)$ : lorsque $R_P$ est séparable, elle admet une
+racine dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est
+inclus dans un des conjugués de $D_4$ dans $\mathfrak{S}_4$.
+Remarquons que, dans ce cas, $R_P$ est scindé si et seulement si $G$
+est inclus dans l'intersection des conjugués de $D_4$
+dans $\mathfrak{S}_4$, qui est $C_2 \times C_2$.
+
+Il reste à trouver un moyen de distinguer les situations où le groupe
+de Galois de $f$ est inclus dans $C_4$ (en supposant qu'il est déjà
+inclus dans $D_4$) et celles où il ne l'est pas. Il est facile de
+trouver un polynôme dans $k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ dont le stabilisateur
+dans $D_4$ soit précisément $C_4$ : le polynôme $F = Z_1 Z_2^2 + Z_2
+Z_3^3 + Z_3 Z_4^2 + Z_4 Z_1^2$ convient. On peut donc affirmer que
+$R_{D_4,F}(f)$, lorsqu'elle est séparable, admet une racine dans $k$
+si et seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus dans $C_4$. Une
+difficulté par rapport aux situations précédentes est qu'il n'est pas
+évident de donner une expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de
+choix évident de notations pour $k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]^{D_4}$ comme le
+sont les fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients
+de $f$) pour $k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]^{\mathfrak{S}_4}$. On peut
+naturellement faire un choix : si par exemple $\pi$ désigne la racine
+dans $k$ de la résolvante $R_P$ introduite ci-dessus déterminant que
+$G$ est inclus dans $D_4$, on peut écrire $R_{D_4,F} = X^2 + (a_1 a_2
+- 2 a_3 - a_1 \pi) X + (a_1^3 a_3 + a_2^3 - 5 a_1 a_2 a_3 + 5 a_3^2 +
+(- a_1^2 a_2 + a_2^2 + a_1 a_3) \pi + (a_1^2 - a_2) \pi^2 - \pi^3)$
+(pour vérifier concrètement cette expression, il suffit de remplacer
+dans le membre de droite $\pi$ par $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ et
+$a_1,\ldots,a_4$ par les fonctions symétriques élémentaires au signe
+près, et de constater qu'on obtient bien le produit de $X-F$ par la
+même quantité après échange de $Z_1$ et $Z_3$). \XXX Non, là je dis
+peut-être des conneries, mais je me suis complètement embrouillé.