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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-15 16:50:28 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-15 16:50:28 +0100
commitc46b4c44309dffb2b6d8806201dfc1b7cebbe451 (patch)
tree68c80c33da288af54a19d75ce7ca5fb642a65a5a /chapitres
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[LG] caractères adéliques : fin préparatifs avant dualité de Pontrâgin
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex69
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 5bb387b..eb2c32f 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[12pt]{../configuration/smfart}
+\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
\usepackage{palatino,euler}
\input{../configuration/commun}
@@ -40,7 +40,7 @@
%\textwidth16cm
%\hoffset-1.5cm
-%\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
+\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
\begin{document}
\begin{center}
@@ -847,7 +847,9 @@ Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
\[x ↦ \big([×x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
-est un isomorphisme de groupes.
+est un isomorphisme de groupes. De plus, si $ψ$ est
+de niveau nul, l'image de $𝒪$ est l'ensemble des caractères triviaux
+sur $𝒪$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -2291,9 +2293,10 @@ de la forme $[× a_p]^* e_p$ ;
— si $a ∈ 𝐐^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐐 : ψ_𝐐(b 𝐐)=\{1\}\}$,
on peut écrire $a=λ + c$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
-diagonalement) et $c=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$. Naturellement,
+diagonalement) et $c=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
+(\ref{cocompacité}). Naturellement,
$c ∈ 𝐐^⊥$. (L'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
-vectoriel des adèles.) Comme $𝐀_𝐐=𝐐+C$ (cf. \ref{cocompacité}), on a
+vectoriel des adèles.). On a
$1=ψ_𝐐(c)=𝐞_{∞}(-c_∞)$ et finalement $c_∞=0$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐀_𝐐$ tout entier. Ainsi, $c=0$
@@ -2314,35 +2317,55 @@ $c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
\[
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
+On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ : le niveau
+de $ψ_∞$ est égal à $1$.
Le caractère composé $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝒪_{𝐤_∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
se factorise à travers la surjection $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝐀_𝐤 \bo 𝐤$ (\ref{cocompacité})
car \mbox{$ψ_∞(𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞})=\{1\}$}. On en déduit donc
un caractère additif (continu) des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})$. Par construction, $ψ_{𝐤,x}$ est trivial
-sur $𝒪_{𝐤_x}$ pour chaque $x ≠ ∞$. Plus précisément,
-vérifions que pour un tel $x$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$.
-(En d'autres termes, $ψ_𝐤$ est le produit externe restreint
-$⊠′_{x ∈ Σ(𝐤)} 𝐞_{𝐤_x,dt}$.)
-Commençons par observer que le caractère $𝐞_{𝐤_x,dt}$ est également trivial sur $𝒪_{𝐤_x}$.
-En effet, […] \XXX Définir résidu dans [AVD-D]
-
+sur $𝒪_{𝐤_x}$ pour chaque $x ≠ ∞$. Nous allons voir comment
+calculer ce caractère et montrer qu'il est de \emph{niveau nul}.
Soit $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant.
-Tout élément du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
+Tout élément $f$ du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
de manière unique $∑_{i ≥ n} c_i(t) ϖ_x^i$, où $n ∈ 𝐙$
et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
-inférieur à $d_x=\deg(ϖ_x)$. Le caractère $ψ_{𝐤,x}$ étant
-trivial sur $𝒪_{𝐤_x}$ on constate en mettant les $c_i(t) ϖ_x^i$
-pour $i<0$ au même dénominateur qu'il faut
-suffit de montrer l'égalité $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$
-évaluée en des fractions rationnelles $a_r(t) ϖ_x^{-r}$ pour $r>0$, où $a_r(t)$
-est un polynôme de degré strictement inférieur à $r d_x$.
+inférieur à $δ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut écrire $f=f_-+f_+$,
+où $f_+ ∈ 𝒪_{𝐤_x}$ et, en mettant au même dénominateur,
+\[
+f_-=\frac{λ_{r δ_x -1}t^{rd_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
+\]
+pour un entier $r>0$, des $λ_i$ dans $𝐅_p$, et
+un polynôme $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ de degré inférieur ou égal à $δ_x$.
+Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{r δ_x-1})$ et
+$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_- ∈ 𝒪_{𝐤_y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
+Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)=ψ_{𝐤,x}(f_-)=ψ_{𝐅_p}(-λ_{r δ_x-1})$,
+la première égalité étant conséquence de la trivialité
+de $ψ_{𝐤,x}$ sur $𝒪_{𝐤_x}$. % itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
+En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x) ≠ 1$. Ceci montre que
+$n(ψ_{𝐤,x})=0$ compte tenu du fait que $t^{δ_x-1} ∈ 𝒪_{𝐤_x}^×$ ($x
+≠ ∞$).
+Montrons que $𝐀_𝐤 → \chap{𝐀_𝐤}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
+isomorphisme et que $𝐤$ est orthogonal à lui-même.
+La bijectivité résulte comme ci-dessus de \ref{dual corps local}
+et du fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont de niveau nul pour $x ≠ ∞$. (Qu'ils
+le soient presque tous suffirait.)
+Soit $a ∈ 𝐤^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐤 : ψ_𝐤(b 𝐤)=\{1\}\}$.
+On peut écrire $a=f + c$ où $λ$ appartient à $𝐤$ (plongé
+diagonalement) et $c=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
+à translater par une constante dans $𝐅_p$, on peut
+supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$.
+Naturellement, $c ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
+si bien que $c_∞ ∈ 𝔪_∞²$. Ainsi,
+$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$, et $𝐤$ donc
+(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐀_k$ tout entier. Ainsi, $c=0$
+et $a ∈ 𝐤$.
+\begin{exercice2}
+Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
+\end{exercice2}
\[⁂\]
-Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐤$, $𝐀_𝐤 ≃ \chap{𝐀_𝐤}$
-est un \emph{isomorphisme} et $𝐤$ est orthogonal à lui-même.
-
-En effet … \XXX
\begin{proposition2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}