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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-01-26 16:31:48 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-01-26 16:31:48 +0100
commitcb336dd4df539a35df9bc451eb0165eeb05571e6 (patch)
tree069023cd459fc5565468c000f9f02581b65cd508 /chapitres
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[calculs] Encore des O'Nan-Scotteries.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex128
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index df7d351..f20a338 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1363,28 +1363,34 @@ triviale) est assez spécifique, puisque c'est le seul cas de ce type
où il y a deux sous-groupes distingués minimaux distincts : expliquons
comment on peut le présenter différemment.
-Si $T$ est un groupe simple fini non-abélien, on appelle parfois
-\emph{holomorphe} de $T$ le produit semi-direct $H$ de $T$
-par $\Aut(T)$ opérant naturellement sur $T$, et on voit ce produit
-semidirect comme opérant lui-même sur $\Omega := T$ (où $\Aut(T)$
-opère naturellement et $T$ opère par translation à gauche). En
-identifiant $\Omega=T$ à l'ensemble des classes à gauche de la
-diagonale dans $T^2$, par $(v_1,v_2) \mapsto v_1 v_2^{-1}$, on voit
-que cet holomorphe est un cas particulier (en tant que groupe de
-permutation) de la construction des actions diagonales où $r=2$, où il
-n'y a pas de permutation des coordonnées et où on a inclus tous les
-automorphismes de $T$. Les deux sous-groupes distingués minimaux de
-$H$ sont l'ensemble des translations à gauche sur $T$ (vu
-naturellement comme $T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$), et l'ensemble des
-translations à droite sur $T$ (vu comme l'ensemble des $(t, (x\mapsto
-t^{-1}xt))$ pour $t\in T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$). Comme on l'a
-expliqué, le socle de $H$ est le produit $T^2$ de ces deux
-sous-groupes (et $H = T^2 \cdot \Out(T)$).
+Si $T$ est un groupe fini, on appelle parfois \emph{holomorphe} de $T$
+le produit semi-direct $H$ de $T$ par $\Aut(T)$ opérant naturellement
+sur $T$, et on voit ce produit semidirect comme opérant lui-même sur
+$\Omega := T$ (où $\Aut(T)$ opère naturellement et $T$ opère par
+translation à gauche) : cette action est fidèle, et on peut encore
+définir l'holomorphe comme le sous-groupe du groupe $\mathscr{S}(T)$
+des permutations qui est engendré par les translations à gauche et les
+automorphismes de $T$.
+
+Lorsque $T$ est un groupe simple fini, en identifiant $\Omega=T$ à
+l'ensemble des classes à gauche de la diagonale dans $T^2$, par
+$(v_1,v_2) \mapsto v_1 v_2^{-1}$, on voit que l'holomorphe $H$ de $T$
+est un cas particulier (en tant que groupe de permutation) de la
+construction des actions diagonales où $r=2$, où il n'y a pas de
+permutation des coordonnées et où on a inclus tous les automorphismes
+de $T$. Les deux sous-groupes distingués minimaux de $H$ sont
+l'ensemble des translations à gauche sur $T$ (vu naturellement comme
+$T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$), et l'ensemble des translations à droite
+sur $T$ (vu comme l'ensemble des $(t, (x\mapsto t^{-1}xt))$ pour $t\in
+T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$). Comme on l'a expliqué, le socle de $H$
+est le produit $T^2$ de ces deux sous-groupes (et $H = T^2 \cdot
+\Out(T)$).
Plus généralement, un groupe de permutation de type diagonal avec
$r=2$ et action triviale sur les composantes se décrit comme un
-sous-groupe $G$ de $H$ contenant $T^2$ (c'est-à-dire, contenant les
-translations à gauche et les translations à droite).
+sous-groupe $G$ de l'holomorphe $H$ de $T$ contenant $T^2$
+(c'est-à-dire, contenant les translations à gauche et les translations
+à droite).
\end{remarque2}
\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$
@@ -1579,6 +1585,35 @@ simple fini non-abélien et que $\Im\varphi$ contient les
automorphismes intérieurs de $K$ et n'est pas l'image de $S$ par un
morphisme.
+\begin{remarque2}\label{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe}
+Si on a choisi une section ensembliste $\Gamma$ des classes à gauche
+de $U$ dans $S$, et si on note $\varpi\colon S\to\Gamma$ la fonction
+associant à $s\in S$ le représentant $\varpi(s)$ de la classe $sU$,
+alors en identifiant $\mathscr{F}$ à $K^\Gamma$, l'action de $S$ sur
+$\mathscr{F}$ est donnée par : $(\sigma\cdot f)(x) = (x^{-1}\sigma
+\varpi(\sigma^{-1}x)) \mathbin{\bullet_\varphi}
+f(\varpi(\sigma^{-1}x))$ (pour $\sigma\in S$ et $x\in \Gamma$).
+
+Si $H = K \rtimes\Aut(K)$ désigne l'holomorphe du groupe $K$
+(cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), cette formule conduit à
+définir un morphisme $S \to H^\Gamma \rtimes \mathfrak{S}(\Gamma)$ qui
+à $\sigma \in S$ asssocie $((\dot\varphi(x^{-1}\sigma
+\varpi(\sigma^{-1}x)))_{x\in\Gamma}, \penalty-100 (x \mapsto
+\varpi(\sigma^{-1}x)))$ (où $\dot\varphi$ est la composée de $S
+\to\Aut(K)$ avec le morphisme évident $\Aut(K) \to H$). En combinant
+ce morphisme avec le morphisme $\mathscr{F} \to H^\Gamma$ obtenu à
+partir de l'application de $K \to H$ (correspondant à la translation à
+gauche, i.e., la première composante de $H = K \rtimes\Aut(K)$) sur
+chaque composante de $\mathscr{F} = K^\Gamma$, on obtient un morphisme
+de $G = \mathscr{F} \rtimes S$ vers $H^\Gamma \rtimes
+\mathfrak{S}(\Gamma) = H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$ compatible
+avec l'action de ces deux groupes sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$ (dans
+le cas de $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, il s'agit de l'action
+produit du produit en couronne). Notamment, si $G$ opère fidèlement
+sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$, le morphisme $G \to H \wr_\Gamma
+\mathfrak{S}(\Gamma)$ que nous venons de définir est injectif.
+\end{remarque2}
+
\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}
Cette section fait suite à la précédente.
@@ -1588,10 +1623,10 @@ groupes de permutations primitifs. Nous nous contenterons dans cet
ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration
duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}.
-\begin{theoreme2}
-Soit $G$ un groupe de permutations dont on note $\Omega$ l'ensemble
-sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations suivantes est
-vraie :
+\begin{theoreme2}\label{o-nan-scott}
+Soit $G$ un groupe de permutations primitif dont on note $\Omega$
+l'ensemble sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations
+suivantes est vraie :
\begin{itemize}
\item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit
à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}. Ceci se
@@ -1621,19 +1656,50 @@ vraie :
$S$, d'un sous-groupe $U$ de celui-ci, d'un groupe \emph{simple}
non-abélien $K$, et d'un morphisme $\varphi \colon U \to \Aut(K)$
dont l'image contient le sous-groupe $\Int(K)$ des automorphismes
- intérieurs de $K$ ; le groupe $G$ est alors sous-groupe du produit
- en couronne $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, où $H$ est
- l'holomorphe de $K$ (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), et où
- $\Gamma$ est l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$. Dans
- ce cas, le socle de $G$ est isomorphe à $K^{\#\Gamma}$ (soit à
- $\mathscr{F}$ avec la notation de \ref{produit-couronne-tordu}), et
- il est régulier. Ce cas se produit si et seulement si le socle de
- $G$ est régulier mais non abélien.
+ intérieurs de $K$ ; le groupe $G$ est alors isomorphe, comme groupe
+ de permutations
+ (cf. \ref{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe})
+ à un sous-groupe du produit en couronne $H \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$, où $H$ est l'holomorphe de $K$
+ (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), et où $\Gamma$ est
+ l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$. Dans ce cas, le
+ socle de $G$ est isomorphe à $K^{\#\Gamma}$ (soit à $\mathscr{F}$
+ avec la notation de \ref{produit-couronne-tordu}), et il est
+ régulier. Ce cas se produit si et seulement si le socle de $G$ est
+ régulier mais non abélien.
\end{itemize}
\end{theoreme2}
\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
+\begin{corollaire2}\label{o-nan-scott-sous-groupes-maximaux-de-s-n}
+Un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$ est d'un des types
+suivants :
+\begin{itemize}
+\item un sous-groupe intransitif de la forme $\mathfrak{S}_{n_1}
+ \times \mathfrak{S}_{n_2}$ avec $n_1 + n_2 = n$ (et $n_1,n_2 > 1$),
+ muni de l'action donnée par l'union disjointe,
+\item un sous-groupe transitif mais non primitif $\mathfrak{S}_k
+ \wr_{\{1,\ldots,r\}} \mathfrak{S}_r$ avec $kr = n$ (et $k,r > 1$),
+ muni de l'action imprimitive du produit en couronne,
+\item un groupe primitif, qui est alors d'un des types suivants :
+\begin{itemize}
+\item un produit en couronne $\mathfrak{S}_k \wr_{\{1,\ldots,r\}}
+ \mathfrak{S}_r$ avec $k^r = n$ (et $k,r > 1$), muni de l'action
+ produit du produit en couronne,
+\item un groupe affine $\AGL(\FF_p^r)$ avec $p^r = n$,
+\item un groupe de type diagonal $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
+ \Out(T))$ où $T$ est simple fini non-abélien et son ordre vérifie
+ $(\#T)^{r-1} = n$,
+\item un groupe presque simple.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{corollaire2}
+
+Ceci découle immédiatement du théorème précédent. Soulignons qu'il
+n'est pas affirmé que chacun des types décrits ci-dessus construit
+effectivement un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$.
+
\subsection{Un théorème de Jordan}
On veut démontrer :