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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-30 18:59:19 +0200
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-30 18:59:19 +0200
commitcc1a67b62a679dedaf4bccfe91aa133d7e25ca8b (patch)
tree4ecb85f71cfcccb0840e1471315188adccde546d /chapitres
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex80
1 files changed, 65 insertions, 15 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 24fb71e..9709329 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -561,20 +561,14 @@ pourtant le cas :
Dans les conditions ci-dessus, on a $I = (f_1,\ldots,f_r)$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
-On a $I \supseteq (f_1,\ldots,f_r)$ puisque les $f_i$ sont supposés
-dans $I$. Supposons maintenant qu'il n'y ait pas égalité. Soit $h
-\in I$ un polynôme avec le monôme dans $\initial(h)$ le plus petit
-possible (pour $\preceq$) tel que $h \not\in (f_1,\ldots,f_r)$.
-Puisque $\initial(h) \in \initial(I)$, on peut écrire $\initial(h) = g_1
-\initial(f_1) + \cdots + g_r \initial(f_r)$ par l'hypothèse faite sur
-les $f_i$ (pour certains $g_1,\ldots,g_r$).
-D'après \ref{divisibilite-des-monomes}, ceci montre que $\initial(h) = c s
-\initial(f_i)$ pour un certain monôme $s$ et $c$ une constante. On a
-alors $s f_i \in I$, et $\initial(c s f_i) = c s \initial(f_i) = \initial(h)$,
-donc $h - c s f_i$, qui appartient à $I$, a un terme initial de monôme
-strictement plus petit que $h$, donc par minimalité de ce dernier, $h
-- c s f_i \in (f_1,\ldots,f_r)$. Mais alors $h \in (f_1,\ldots,f_r)$,
-une contradiction.
+On a $(f_1,\ldots,f_r) \subseteq I$ puisque les $f_i$ sont supposés
+dans $I$. D'après \ref{inclusion-ideaux-et-egalite-ideaux-initiaux},
+il suffit de montrer que $\initial(J) = \initial(I)$ où $J =
+(f_1,\ldots,f_r)$. On sait que $\initial(J) \subseteq \initial(I)$ ;
+mais réciproquement, si $h \in I$, par hypothèse sur les $f_i$ on peut
+écrire $\initial(h) = g_1 \initial(f_1) + \cdots + g_r \initial(f_r)$,
+donc $\initial(h) \in J$ et ainsi $\initial(h) \in \initial(J)$ : ceci
+montre bien $\initial(J) = \initial(I)$.
\end{proof}
\begin{proposition2}\label{existence-bases-de-groebner}
@@ -1297,7 +1291,7 @@ fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$.
\XXX --- Le prouver ?
-\begin{definition2}
+\begin{definition2}\label{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Le polynôme (manifestement
unique) coïncidant pour $\ell$ grand avec la fonction de
Hilbert-Samuel affine de $I$, et dont l'existence est garantie par la
@@ -1311,6 +1305,62 @@ dimension $\delta$) de $I$.
\end{definition2}
+\subsection{Idéaux de dimension $0$ et algèbres finies}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Les affirmations suivantes
+sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item l'espace vectoriel quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est de
+ dimension finie sur $k$,
+\item la dimension affine de $I$ (au sens
+ de \ref{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}) vaut $0$,
+\item (pour $f_1,\ldots,f_r$ une base de Gröbner quelconque de $I$
+ pour un ordre monomial quelconque :) pour tout $1\leq j\leq d$ il
+ existe un $1\leq i\leq r$ tel que le monôme initial de $f_i$ soit
+ une puissance de $Z_j$.
+\end{itemize}
+De plus, dans ces conditions, le degré de $I$ (au sens
+de \ref{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}) est égal à la
+dimension du $k$-espace vectoriel $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour ce qui est de l'équivalence entre les deux premiers énoncés, il
+est clair que la dimension de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ vaut (comme
+élément de $\NN \cup \{+\infty\}$) la limite de la fonction de
+Hilbert-Samuel affine de $I$, qui est bien sûr aussi la limite du
+polynôme de Hilbert-Samuel affine de $I$ : ceci se produit si et
+seulement si son degré $\delta$ vaut $0$, auquel cas sa limite est
+égale à son coefficient constant (et unique) $A$.
+
+Montrons maintenant l'équivalence avec le troisième énoncé. Si
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est de dimension finie, si $1\leq j\leq d$, la
+famille (des classes) de $Z_j^u$ pour $u$ parcourant les entiers
+naturels, ne peut pas être libre, donc il existe un polynôme en $Z_j$
+qui appartienne à $I$, et si on appelle $Z_j^u$ son monôme initial,
+celui-ci doit être divisible par le monôme initial d'un certain $f_i$
+de la base de Gröbner donnée, qui est donc lui-même une puissance
+de $Z_j$. Réciproquement, si pour tout $j$ il existe $i$ tel que
+$f_i$ ait pour monôme initial une puissance de $Z_j$, disons
+$Z_j^{u_j}$, alors les monômes de la forme $Z_1^{v_1} \cdots
+Z_d^{v_d}$, où $v_j<u_j$ pour chaque $j$, qui sont en nombre fini,
+engendrent $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ (cf. par
+exemple \ref{algorithmes-fondamentaux-anneau-quotient}), donc
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est bien de dimension finie.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+On verra ailleurs (\XXX) que dans le contexte de la proposition
+ci-dessus sont encore équivalents les énoncés suivants :
+\begin{itemize}
+\item l'anneau quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est artinien (i.e.,
+ toute suite décroissante d'idéaux de cet anneau stationne),
+\item tout idéal premier de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est maximal (i.e.,
+ sa dimension de Krull vaut $0$).
+\end{itemize}
+\end{remarque2}
+
+
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}