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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-10-12 18:38:17 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-10-12 18:38:17 +0200
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[LG] Fourier adélique (début)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex168
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index 8785f60..527b004 100644
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -12,7 +12,8 @@
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\input{.cv}
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\begin{document}
\begin{center}
@@ -85,20 +87,20 @@ des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝒪$ complet
à corps résiduel fini, équipé de la topologie déduite
de la valuation.
\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
-topologique) d'un corps local premier $K₀$ ;
+topologique) d'un corps local premier $K₀$.
\end{enumerate}
+De plus :
\begin{itemize}
\item L'anneau $𝒪$ du (ii) est le plus grand sous-anneau
compact de $K$ et son idéal maximal est l'ensemble des
-éléments $x$ de $K$ tels que $x^n → 0$.
+éléments $x$ de $K$ tels que $x^n → 0$ ($n → +∞$).
\item Le corps local premier $K₀$ du (iii) est \emph{fermé}
dans $K$. Si $K$ est de caractéristique nulle (resp.
de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$
-(resp. il n'est jamais unique).
+(resp. il n'est pas unique).
\end{itemize}
\end{théorème2}
-La démonstration de ce théorème s'étale sur les paragraphes
Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes
démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui
vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats déjà établis
@@ -802,8 +804,9 @@ relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.
\subsubsection{Exemples de caractères additifs des corps locaux}
Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
-L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}),\] où $\{x\}$ désigne un élément de $𝐐$
-tel que $x-\{x\} ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
+L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}),\] où $\{x\}$ désigne
+l'unique rationnel $r$ (nécessairement dans $𝐙[1/p]$) tel que $0 ≤ r < 1$ et
+$x-r ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
\[𝐞_{p,t}:x ↦ 𝐞(\frac{1}{p} \Res_t(x dt)),\]
où $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractère
additif du corps $K$, de niveau nul.
@@ -814,10 +817,10 @@ Soit $K$ un corps local.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$
premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
-caractère additif $𝐞_{p,K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
+caractère additif $𝐞_{K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
-le caractère additif $ψ_ω: x ↦ ψ₀(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
+le caractère additif $e_{K,ω}: x ↦ ψ₀(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
forme différentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
@@ -826,7 +829,7 @@ forme différentielle formelle} — est non trivial.
\begin{démo}
(i). L'extension $K\bo 𝐐_p$ étant séparable, la
trace $\Tr_{K\bo 𝐐_p}$ est surjective. Le caractère $𝐞_p$
-étant non trivial, il en est de même de $𝐞_{p,K}$.
+étant non trivial, il en est de même de $𝐞_{K}$.
(ii). Même argument, joint au fait (\refext{AVD-D}{non nullité du résidu}) que
l'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
\end{démo}
@@ -895,18 +898,18 @@ Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
\[
-n(e_{p,K})=-v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
+n(e_{K})=-v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
\]
entre le niveau du caractère additif non trivial
-$e_{p,K}$ défini en \ref{caractère corps local}
+$e_{K}$ défini en \ref{caractère corps local}
et l'opposé de la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
-Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème de Riemann-Roch.
+Pour ce qui est du niveau de $e_{K,ω}$, voir le théorème de Riemann-Roch.
\begin{démo}
-Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
+Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}
@@ -1344,15 +1347,16 @@ Alors, on a l'égalité :
où l'on a noté pour simplifier $ζ$ (resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ζ_ψ$, etc.).
Le terme de gauche se réécrit
\[
-∫_{K^× × K^×} f(x)\chap{g}(y)χ(x y^{-1}) |y|  d {μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊗2}.
+∫_{K^× × K^×} f(x)\chap{g}(y)χ(x y^{-1}) |y|  d
+{μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}.
\]
-(On peut voir cette égalité comme un cas particulier,
+On peut voir cette égalité comme un cas particulier,
mais crucial, du théorème de Fubini appliqué
à une fonction de deux variables séparées,
-c'est-à-dire de la forme $φ₁ ⊗ φ₂$.)
+c'est-à-dire de la forme $(x,y)↦ (φ₁ ⊠ φ₂)(x,y)=φ₁(x)φ₂(y)$.
On effectue le changement de variables $(x,y) ↦
(x,xy)$ ; il préserve la mesure de Haar produit
-${μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊗2}$. Il résulte
+${μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}$. Il résulte
alors du théorème de Fubini que l'on a :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\check{χ})=∫_{K^×}h_{f,g}(y)χ(y^{-1})|y| d μ^{\mbox{\minus $×$}}(y)
@@ -1576,7 +1580,7 @@ valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
-respectifs sont notés $Σ_u(K)$ et $Σ_a(K)$.
+respectifs sont notés $Σ^u(K)$ et $Σ^a(K)$.
\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
@@ -1597,11 +1601,12 @@ $k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel et $v_x$ la valuation $K_x ↠
𝐙 ∪ \{+∞\}$.
\subsubsection{}
-Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ_a(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
+Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^a(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente, $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
\subsubsection{}
+\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
la clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelée
\textbf{corps des constantes} de $K$. C'est le plus grand
@@ -1616,9 +1621,9 @@ $𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$ — $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ étant la
valuation $p$-adique de $f$ — si $p$ est premier
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
-Ainsi, $𝒫 → Σ_u(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
+Ainsi, $𝒫 → Σ^u(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
-$\{∞\} → Σ_a(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
+$\{∞\} → Σ^a(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
@@ -1673,7 +1678,7 @@ l'observation \ref{Kx sont locaux} \emph{supra}
et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)
\begin{proposition2}
-Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ_a(K)$ est
+Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ^a(K)$ est
\emph{fini}.
\end{proposition2}
@@ -1796,7 +1801,12 @@ ou Weil, p 65.
Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
\end{démo}
+\begin{corollaire2}
+$K ∩ a^{-1}𝒪$ est fini pour chaque idèle $a$.
+\end{corollaire2}
+
\begin{proposition2}
+\label{densité K dans AKS}
$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
\end{proposition2}
@@ -1815,8 +1825,6 @@ $|a|=\mod_K([×a])⋅ \mod_{K_𝐀/K}([×a])$. Or le premier terme
est égal à un car $K$ est \emph{discret} et le second est
égal à un par compacité (\ref{définition module et cas
compact ou commutatif}).
-
-
\end{démo}
@@ -1963,7 +1971,7 @@ Cela résulte de l'égalité
$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
-(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
+(de même avec un nombre arbitraire de facteurs) donc
l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
@@ -2181,28 +2189,90 @@ $N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
+Fixons un corps global $K$ un corps global.
\subsection{Transformée de Fourier}
-\subsubsection{$𝒮(A_K)$}
-
-\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke}
+\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
+On note $𝒮(A_K)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
+$f=⊠′_x f_x$ où chaque $f_x ∈ 𝒮(K_x)$ % mettre des \bigboxtimes
+et pour presque tout $x ∈ Σ^u(K)$, $f_x=𝟭_{𝒪_x}$.
+Pour $f$ comme ci-dessus, on note $f^a$ (resp. $f^u$)
+la fonction $⊠_{x ∈ Σ^a(K)} f_x : ∏_{x ∈ Σ^a(K)} K_x → 𝐂$
+(resp. $⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} f_x : ∏′_{x ∈ Σ^u(K)} K_x → 𝐂$,
+où $∏′$ désigne le produit tensoriel restreint relativement
+aux $𝒪_x$, $x ∈ Σ^u(K)$).
+Par construction, on a $f=f^a ⊠ f^u$.
+La fonction $f^u$ est combinaison linéaire de fonctions
+$⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^u_K$
+et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
+D'après \ref{densité K dans AKS}, il existe $a ∈ K$
+tel que $a-a_x ∈ 𝒪_x$ pour chaque $x ∈ Σ(K)$.
+Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(A_K)$ est combinaison
+linéaire de fonctions $f^a ⊠ f^u$, où $f^u$
+est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
+tel que $n_x=0$ pour presque tout $x$.
+
+\subsubsection{caractères additifs adéliques : exemples}
+Reprenons les notations de la proposition \ref{caractère corps local}.
+Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$}, choisissons un
+élément $t ∈ K$ tel que le corps $K$ soit fini
+\emph{séparable} sur son sous-corps $k(t)$, où $k$ est le corps des constantes de $K$.
+[Une variante en termes de $ω ∈ Ω¹_K$ serait sans doute préférable \XXX]
+Posons $K₀=𝐐$ (resp. $K₀=k(t)$) si $\car(K)=0$ (resp. $\car(K)=p>0$).
+Considérons les caractères locaux $ψ_x=e_{K_x}$ (resp. $ψ_x=e_{K_x,dt}$).
+[...]
+On a $n(ψ_x)=0$ pour presque tout $x$.
+On peut supposer $K=K₀$ (cf. sorites) ...
-\begin{théorème2}
-\label{Pontrâgin pour adèles}
+\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
-\item $K ⥲ \chap{A_K / K}$.
-\item $A_K ⥲ \chap{A_K}$.
+\item Soit $K$ un corps global de caractéristique nulle.
+Le produit externe restreint \[ψ_K:=⊠′_x e_{K_x},\]
+où $e_{K_x} ∈ \chap{K_x}$ est défini comme en \ref{caractère corps local} (i),
+est un caractère non trivial de $A_K$, trivial sur $K$.
+\item Soit $K$ un corps global d'égale caractéristique $p>0$
+et soit $ω ∈ Ω¹_K$ une forme différentielle non nulle.
+Le produit externe restreint \[ψ_{K,ω}:=⊠′_x e_{K_x,ω_x},\]
+où $e_{K_x,ω_x} ∈ \chap{K_x}$ est défini comme en \ref{caractère corps local} (ii),
+est un caractère non trivial de $A_K$, trivial sur $K$.
\end{enumerate}
-\end{théorème2}
+\end{proposition2}
+
+Remarquons que, par construction, $ψ_K=ψ_𝐐 ∘ \Tr_{𝐀_K \bo A_𝐐}$ (cf. \ref{adèle et cb}).
+D'autre part, en caractéristique $p>0$, le choix de $ω$
+correspond au choix d'un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
+$K \bo 𝐅_q(t)$ soit finie séparable (où $𝐅_q$ est le corps
+des constantes de $K$). On a alors $ψ_{K,ω}=ψ_{𝐅_q(t),dt} ∘
+\Tr_{𝐀_K \bo A_{𝐅_q(t)}}$. \XXX
-Corollaire : dualité de Pontrâgin dans ce cas.
-(Peut-être utiliser $A_K^∨$ pour dualité (cf. complétion). \XXX)
+$n(ψ_x)=0$ pour presque tout $x$.
\begin{démo}
-Cf. [Saitô] p. 245 ou [Weil, Adèles] II.2.1.1
+(i) La trivialité sur $K$ est conséquence de la formule du produit.
+Le reste est immédiat. \XXX
+
+(ii) [...]
+
+Cf. [Weil, Adèles] II.2.1.1
+
\end{démo}
+\begin{proposition2}
+\label{Pontrâgin pour adèles}
+Soit $K$ un corps global et soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non
+trivial de $A_K$, trivial sur $K$.
+Le morphisme $A_K → \chap{A_K}$, $a↦ [×a]^*ψ$
+est un isomorphisme et $K$ est orthogonal à lui-même :
+un élément $a$ de $A_K$ appartient à $K$ si et seulement si $ψ(ab)=1$ pour tout $b∈K$.
+\end{proposition2}
+
+\subsubsection{Fourier sur $A_K$}
+
+$ℱ: 𝒮 → 𝒮$. Donc, en particulier, la famille $ℱ_ψ(f)(χ)$
+($χ$ variable, identifié à élément de $K$) est sommable.
+Formule d'inversion.
+
\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
\XXX
@@ -2236,8 +2306,11 @@ Cf. Goldstein, p. 150.
(iii) Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$ et $Γ$
son sous groupe discret cocompact $K$. Soit $f$ une fonction
sur $G$ comme dans l'énoncé.
-Sur chaque compact de $G$, la série de fonction
-$∑_{γ ∈ Γ} f(g+γ)$ converge normalement et uniformément. \XXX
+La somme de fonctions $g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g+γ)$ converge normalement
+sur tout compact. En effet, on se ramène en caractéristique
+nulle au cas d'une place archimédienne (cf. p. ex. [Bump,
+p. 278] ou infra). \XXX En égale caractéristique $p>0$, la
+somme est finie sur tout compact (cf. \ref{Poisson implique RR}) \XXX.
La fonction sur $G$ ainsi obtenue est $Γ$-périodique par
construction ; notons $F$ la fonction continue induite sur
le quotient (compact) $G \bo Γ$. Les caractères $π$
@@ -2264,10 +2337,13 @@ Cela résulte de la formule d'orthogonalité des
caractères.\XXX
On conclut en remarquant que
\[
-ℱ_ψ(f)(x)= ∫_G f ψ_{-x} d  μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}
+c_π(F)=ℱ_ψ(f)(x)= ∫_G f ψ_{-x} d  μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}
=∫_{G\bo Γ} F ψ_{-x} d  μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}
\]
-etc. [Noter $ψ_x=\chap{x}$ ?] \XXX
+etc. [Noter $ψ_x=\chap{x}↔π$ ?]
+\XXX
+On utilise le fait que $∑ |c_π|< +∞$ car $∑ |h(x)| <+∞$
+pour fonction $h$ dans $𝒮$.
(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules
$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
\end{démo}
@@ -2275,20 +2351,20 @@ $ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
\begin{remarque2}Démonstration de la formule de Poisson dans
le cas des corps de nombres (esquisse) ; cf. \cite{Elements@Colmez})
Par linéarité, on peut supposer que
-$f=f_∞ ⊗ ⨂_{x ∈ Σ^u(𝐐} 𝟭_{a_x+ϖ_x^{n_x}}$.
+$f=f_∞ ⊠ ⊠_{x ∈ Σ^u(𝐐} 𝟭_{a_x+ϖ_x^{n_x}}$.
Il existe $a ∈ 𝐐$ tel que $a-a_x ∈ 𝒪_𝐀$ pour tout $x$ (cf. \ref{}).
-En conséquence, $f=f_∞ ⊗ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀}$ où $P=∏_x ϖ_x^{n_x}$.
+En conséquence, $f=f_∞ ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀}$ où $P=∏_x ϖ_x^{n_x}$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
que
-\[ℱ(f_∞ ⊗ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀})=ℱ_{ψ_∞}(f_∞)/|a|_∞ ⊗
+\[ℱ(f_∞ ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀})=ℱ_{ψ_∞}(f_∞)/|a|_∞ ⊠
𝟭_{-a+P^{-1}𝒪_𝐀},\]
où $ℱ$ est calculé relativement
au caractère canonique.
-Finalement, on se ramène au cas de la formule
+Finalement, on se ramène \XXX au cas de la formule
de Poisson archimédienne ! Dans le cas des corps de
fonctions cette méthode nous ramène au théorème de Riemann-Roch
énoncé ci-après.
-\end{démo}
+\end{remarque2}
\subsection{Premières applications}