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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-11 17:57:43 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-11 17:57:43 +0100
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[calculs] Réorganisation importante de la section sur les transformations de Tschirnhaus.
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--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -521,10 +521,10 @@ représentera la transformation sous la forme $U(x)$ avec $U \in k[X]$
un polynôme (considéré modulo $P$) qui sera souvent par abus de
langage identifié avec la transformation de Tschirnhaus elle-même.
-Le polynôme minimal $Q$ de $U(x)$ sur $k$ (dont le degré est, par
-hypothèse, le même que $P$) sera qualifié de polynôme obtenu à partir
-de $P$ par la transformation de Tschirnhaus définie par $U$, ou de
-polynôme \emph{transformé} de $P$ par la transformation $U$.
+Le polynôme minimal unitaire $Q$ de $U(x)$ sur $k$ (dont le degré est,
+par hypothèse, le même que $P$) sera qualifié de polynôme obtenu à
+partir de $P$ par la transformation de Tschirnhaus définie par $U$, ou
+de polynôme \emph{transformé} de $P$ par la transformation $U$.
Si $U$ est une fraction rationnelle dont le dénominateur est premier
avec $P$, ce qui donne un sens à l'élément $U(x)$ de $k(x)$, on pourra
@@ -537,7 +537,10 @@ Le cas le plus important, qu'il faut avoir à l'esprit dans ce qui
suit, est celui où $P$ est irréductible, auquel cas une transformation
de Tschirnhaus sur $P$ équivaut à la donnée d'un élément primitif du
corps de rupture $k(x)$ de $P$, c'est-à-dire un élément engendrant
-celui-ci (i.e., de degré $\deg P$).
+celui-ci (i.e., de degré $\deg P$). Remarquons d'ores et déjà que
+dans ce cas, le polynôme $Q$ transformé est nécessairement lui aussi
+irréductible (puisque c'est le polynôme minimal d'un élément dans un
+corps).
\begin{exemples2}\label{exemples-transformations-de-tschirnhaus}
\begin{itemize}
@@ -555,7 +558,7 @@ celui-ci (i.e., de degré $\deg P$).
encore une transformation de Tschirnhaus sur $P$, qui transforme ce
dernier en $Q = X^3 - \frac{1}{2}$. En revanche, le polynôme $X^3 +
1$ ne définit pas une transformation de Tschirnhaus sur $P$, car
- $(\root3\of2)^3 + 1 = 3 \in Q$.
+ $(\root3\of2)^3 + 1 = 3 \in \QQ$.
\item Soit $P = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i) \in k[X]$ un polynôme unitaire
scindé et séparable de degré $d$ dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
les racines deux à deux distinctes dans le corps $k$. Alors
@@ -574,27 +577,40 @@ celui-ci (i.e., de degré $\deg P$).
quelle condition $U(X)$ définit une transformation de Tschirnhaus
sur $P$, c'est-à-dire à quelle condition les éléments $1, U(x),
U(x)^2, \ldots, U(x)^{d-1}$ de $k(x) = k[X]/(X^d)$ en forment une
- base. Lorsque $c_0 = 0$, la condition est évidemment $c_1 \neq 0$
- puisque si c'est le cas les polynômes $U(x)^i$ sont échelonnés en
- valuation, et si ce n'est pas le cas les derniers d'entre eux sont nuls ;
- et pour $c_0$ quelconque, on peut exprimer les polynômes $1,
- U(x)-c_0, (U(x)-c_0)^2, \ldots$ en fonction de $1, U(x), U(x)^2,
- \ldots$ par un système triangulaire de diagonale $1$, donc la
- condition $c_1 \neq 0$ est encore la bonne. L'élément $y = U(x) \in
- k(x)$ vérifie manifestement $(y-c_0)^d = 0$ donc, lorsque $U$ est
- bien une transformation de Tschirnhaus (i.e., $c_1 \neq 0$ comme on
- vient de le voir), ce polynôme $Q(Y) := (Y-c_0)^d$ est le polynôme
- minimal de $y$, c'est-à-dire le polynôme obtenu à partir de $P$ par
- la transformation $U$.
+ base.
+
+ Supposons d'abord $c_0 = 0$. Lorsque $c_1 \neq 0$, les polynômes
+ $1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{d-1}$ (considérés modulo $X^d$) sont
+ échelonnés en valuation (c'est-à-dire que leur expression dans la
+ base $1,x,x^2,\ldots,x^{d-1}$ de $k[X]/(X^d)$ forme une matrice
+ triangulaire dont la diagonale est formée des coefficients
+ $1,c_1,c_1^2,\ldots,c_1^{d-1}$ tous non nuls, donc $U$ est bien une
+ transformation de Tschirnhaus. Lorsque $c_1 = 0$ (toujours en
+ supposant $c_0=0$), les polynômes $U(x)^i$ sont nuls pour
+ $i \geq \frac{d}{2}$, donc on n'a pas affaire à une transformation
+ de Tschirnhaus (sauf dans le cas trivial $d=1$). Bref, dans le cas
+ $c_0 = 0$, nous avons montré que $U$ définit une transformation de
+ Tschirnhaus si et seulement si $c_1 \neq 0$.
+
+ Enfin, pour $c_0$ quelconque, on peut exprimer les polynômes $1,
+ U(x)-c_0, (U(x)-c_0)^2, \ldots$ en fonction de $1, U(x),
+ U(x)^2, \ldots$ par un système triangulaire de diagonale $1$, donc
+ la condition $c_1 \neq 0$ est encore celle qui détermine si $U$ est
+ une transformation de Tschirnhaus.
+
+ L'élément $y = U(x) \in k(x)$ vérifie manifestement $(y-c_0)^d = 0$
+ donc, lorsque $U$ est bien une transformation de Tschirnhaus
+ (i.e., $c_1 \neq 0$ comme on vient de le voir), ce polynôme $Q(Y) :=
+ (Y-c_0)^d$ est le polynôme minimal de $y$, c'est-à-dire le polynôme
+ obtenu à partir de $P$ par la transformation $U$.
\end{itemize}
\end{exemples2}
-La notion de transformation de Tschirnhaus est en elle-même peu
-intéressante puisque pour un polynôme irréductible elle coïncide
-exactement avec la notion d'élément primitif d'un corps de rupture.
-Elle le devient un peu plus en raison des observations suivantes :
+La notion de transformation de Tschirnhaus en elle-même est peu
+intéressante, mais elle le devient un peu plus en raison des
+observations suivantes :
-\begin{remarques2}\label{remarques-reconnaitre-transformation-de-tschirnhaus}
+\begin{remarques2}\label{remarques-calcul-transformation-de-tschirnhaus}
Donné un polynôme $P \in k[X]$ unitaire, et un polynôme $U \in k[X]$,
on dispose d'un \emph{algorithme} permettant de déterminer si $U$
définit une transformation de Tschirnhaus sur $P$, et le cas échéant
@@ -606,41 +622,71 @@ U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg P-1}$ sur la base évidente
$1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$ de $k(x) = k[X]/(P)$ (ceci se fait en
effectuant des divisions euclidiennes des différentes puissances
de $U$ par $P$), et chercher si la matrice ainsi définie est
-inversible, ce qui revient à calculer un déterminant ; si c'est le
+inversible, ce qui revient à calculer un déterminant ; et si c'est le
cas, on peut obtenir le polynôme $Q$ transformé de $P$ par $U$ en
exprimant $U(x)^{\deg P} \in k(x)$ sur la base $1, U(x), U(x)^2,
\ldots, U(x)^{\deg P-1}$ (le polynôme $Q$ est alors le polynôme
unitaire de degré $\deg P$ dont l'annulation en $U(x)$ exprime cette
relation).
-Si l'on préfère, on peut exprimer la matrice, toujours sur la base
-$1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$ de $k(x) = k[X]/(P)$ qui représente la
-multiplication par $U$ dans $k(x)$. La condition pour que $U$ soit
-une transformation de Tschirnhaus est alors que le polynôme minimal de
-cette matrice coïncide avec son polynôme caractéristique, et lorsque
-c'est le cas, le polynôme en question (de degré $\deg P$) est le
-polynôme $Q$.
-
-D'autres présentations, équivalentes en théorie mais éventuellement
-différentes en complexité algorithmique, sont aussi possibles : par
-exemple, le polynôme $Q(Y)$ peut se calculer comme le résultant de
-$P(X)$ et de $Y - U(X)$ comme polynômes de la variable $X$ (et la
-condition que $U$ définisse effectivement une transformation de
-Tschirnhaus se traduit par le fait que le résultant en question soit
-séparable), ce qui permet de remplacer les déterminants par des
-résultants et d'utiliser des techniques spécifiques à eux comme
-l'algorithme du sous-résultant.
-
-Remarquons en tout cas que, donné un polynôme $P$ unitaire de
-degré $d$ et un polynôme $U$, la condition pour que $U$ définisse une
-transformation de Tschirnhaus sur $P$, et le polynôme $Q$ transformé
-ne dépendent pas du corps choisi contenant les coefficients de $P$ et
-de $U$. Ainsi, lorsque $P$ est séparable, on peut penser à la
+Une conséquence de cette remarque, et du fait qu'un déterminant ne
+dépend pas du corps sur lequel il est calculé, est le fait suivant :
+si $P$ est un polynôme unitaire de degré $d$ et $U$ un polynôme
+quelconque, le fait que $U$ définisse une transformation de
+Tschirnhaus sur $P$, ainsi que le cas échéant la valeur du polynôme
+transformé, ne dépendent pas du corps contenant les coefficients de
+$P$ et $U$.
+
+Notamment, lorsque $P$ est séparable, on peut penser à la
transformation de Tschirnhaus comme dans le deuxième exemple
de \ref{exemples-transformations-de-tschirnhaus} : si $E$ est un corps
contenant les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $P$ (deux à deux
distinctes), alors $Q$ vaut $\prod_{i=1}^d (X-U(\xi_i))$ (comparer
avec \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} ci-dessous).
+C'est la manière dont on visualise les transformations de
+Tschirnhaus : $Q$ est le polynôme obtenu en appliquant $U$ à chaque
+racine de $P$. (On verra
+en \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-factorisation} ci-dessous que
+cette description convient encore, convenablement interprétée, quand
+les polynômes ne sont plus séparables.) Remarquons encore au passage
+que si $P$ est séparable, le polynôme $Q$ transformé l'est aussi.
+\end{remarques2}
+
+\begin{remarques2}
+Nous avons introduit ci-dessus, pour évoquer la question algorithmique
+de reconnaître une transformation de Tschirnhaus, et calculer le
+polynôme transformé, la matrice donnant les coordonnées de $1, U(x),
+U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg P-1}$ sur la base $1, x, x^2, \ldots,
+x^{\deg P-1}$ de $k(x) = k[X]/(P)$. Si l'on préfère, une autre
+matrice naturellement associée à la situation est celle qui
+représente, toujours sur la base $1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$
+de $k(x)$, la multiplication par $U(x)$. Le polynôme minimal de cette
+matrice est celui de l'élément $U(x)$ de $k(x)$, et le fait que $U$
+soit une transformation de Tschirnhaus se reconnaît au fait que ce
+polynôme minimal soit de degré $\deg P$, i.e., coïncide avec le
+polynôme caractéristique, qui est alors le polynôme $Q$ transformé
+de $P$ par $U$.
+
+On peut encore reformuler ceci en signalant que, lorsque $U(X)$ est
+une transformation de Tschirnhaus sur $P(X)$, alors le polynôme $Q(Y)$
+transformé peut se calculer comme le résultant de $P(X)$ et $Y - U(X)$
+comme polynômes de la variable $X$ (on rappelle que le résultant de
+deux polynômes $A(X)$ et $B(X)$ vaut $a^e \prod_{i=1}^d B(\xi_i)$ où
+$A(X) = a\prod_{i=1}^d(X-\xi_i)$ est la factorisation de $A$ dans un
+corps dans lequel il est décomposé, le résultat n'en dépendant pas
+puisqu'on peut aussi l'écrire comme un déterminant de Sylvester, et où
+$e$ est le degré de $B$) ; en effet, si $P(X) =
+\prod_{i=1}^d(X-\xi_i)$, le résultant en question vaut $\prod_{i=1}^d
+(Y-U(\xi_i))$, ce qui est bien $Q(Y)$ d'après les les remarques
+précédentes. Cette façon de procéder peut être algorithmiquement
+utile.
+
+(S'il s'agit de vérifier si $U$ définit bien une transformation de
+Tschirnhaus, lorsque $P$ est séparable, on peut effectuer le calcul du
+résultant et vérifier après coup si le polynôme $\prod_{i=1}^d
+(Y-U(\xi_i))$ ainsi obtenu est séparable : d'après ce que nous avons
+déjà vu, cela équivaut au fait que $U$ soit une transformation de
+Tschirnhaus.)
\end{remarques2}
\begin{remarque2}\label{transformation-de-tschirnhaus-et-composee}
@@ -660,12 +706,12 @@ degré : on notera $k[X]/(P)$ et $k[Y]/(Q)$ les algèbres quotient et
$x,y$ les classes des indéterminées $X,Y$ dans ceux-ci respectivement.
Alors la donnée d'une transformation de Tschirnhaus $U$ transformant
-$P$ en $Q$ équivaut à la donnée d'un isomorphisme $k[Y]/(Q) \to
-k[X]/(P)$ (en tant que $k$-algèbres), l'isomorphisme étant donné à
-partir de la transformation $U$ par $A(y) \mapsto A(U(x))$, et
-réciproquement $U$ étant déterminé (modulo $P$) à partir de
-l'isomorphisme $k[Y]/(Q) \to k[X]/(P)$ comme l'image de la classe $y$
-de $Y$ par celui-ci.
+$P$ en $Q$ équivaut à la donnée d'un isomorphisme
+$k[Y]/(Q) \buildrel\sim\over\to k[X]/(P)$ (en tant que $k$-algèbres),
+l'isomorphisme étant donné à partir de la transformation $U$ par
+$A(y) \mapsto A(U(x))$, et réciproquement $U$ étant déterminé
+(modulo $P$) à partir de l'isomorphisme $k[Y]/(Q) \to k[X]/(P)$ comme
+l'image de la classe $y$ de $Y$ par celui-ci.
En particulier, donnée une transformation de Tschirnhaus $U \in k[X]$
transformant $P$ en $Q$, il existe (modulo $Q$) un unique polynôme $V
@@ -691,59 +737,73 @@ un isomorphisme (c'est-à-dire, qu'il est injectif ou, de façon
polynôme en $z$ (les $1,z,z^2,\ldots$ engendrent $k[X]/(P)$ comme
$k$-espace vectoriel, donc en fait les $1,z,z^2,\ldots,z^{\deg Q-1}$
l'engendrent), donc définisse une transformation de Tschirnhaus (sous
-la forme $z = U(x)$). Ceci équivaut aussi au fait que le seul élément
-$x$ puisse s'écrire sous la forme $V(z)$, c'est-à-dire qu'on puisse
-trouver $V$ tel que $V(U(x))=x$. Les différentes affirmations de la
-propositions sont alors toutes claires.
+la forme $z = U(x)$). Ceci équivaut aussi au fait que le simple
+élément $x$ puisse s'écrire sous la forme $V(z)$, c'est-à-dire qu'on
+puisse trouver $V$ tel que $V(U(x))=x$. Les différentes affirmations
+de la propositions sont alors toutes claires.
\end{proof}
+Cette proposition éclaire le fait, déjà signalé, que le polynôme
+transformé d'un polynôme irréductible (resp. séparable) par une
+transformation de Tschirnhaus est encore irréductible
+(resp. séparable), puisque ces deux propriétés se lisent sur l'algèbre
+quotient (comme le fait qu'elle soit un corps, resp. une algèbre
+étale).
+
La transformation de Tschirnhaus $V$ de $Q$ en $P$ définie par la
proposition précédente à partir d'une transformation de
Tschirnhaus $U$ de $P$ en $Q$ s'appelle la transformation de
Tschirnhaus \emph{réciproque} de $U$.
-\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit}
-Soient $P_1,P_2 \in k[X]$ deux polynômes unitaires premiers entre eux,
-et $P = P_1 P_2$. Alors la donnée d'une transformation de Tschirnhaus
-$U$ de $P$ équivaut à la donnée de transformations de Tschirnhaus
-$U_1,U_2$ de $P_1,P_2$ respectivement telles que les polynômes
-transformés $Q_1,Q_2$ respectivement soient premiers entre eux, le
-polynome $U$ étant alors congru à $U_i$ modulo $P_i$ (pour $i=1,2$).
-Et dans ces conditions, le polynôme transformé $Q$ de $P$ par $U$
-vaut $Q_1 Q_2$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-D'après le théorème chinois (cf. par exemple \refext{Spec}{lemme
- chinois}), $k[X]/(P)$ est isomorphe à $(k[X]/(P_1)) \times
-(k[X]/(P_2))$. En notant $x_1,x_2$ les classes de $X$
-modulo $P_1,P_2$ respectivement, l'élément $(U_1(x_1),U_2(x_2))$
-engendre le produit en tant qu'algèbre si et seulement si $U_1(x_1)$
-et $U_2(x_2)$ engendrent chacun des facteurs et que leurs polynômes
-minimaux $Q_1,Q_2$ sont premiers entre eux.
-\end{proof}
+\begin{exemples2}\label{exemples-transformations-de-tschirnhaus-reciproques}
+Reprenons les exemples
+de \ref{exemples-transformations-de-tschirnhaus} pour en expliciter
+les réciproques.
+\begin{itemize}
+\item Soit $P = X^3 - 2 \in \QQ[X]$, dont on note $\root3\of2$ la
+ racine dans le corps de rupture. La transformation de Tschirnhaus
+ réciproque de $U = X+1$ est évidemment $V = Y-1$. La transformation
+ de Tschirnhaus réciproque de $U = X^2$ est $V = \frac{1}{2}Y^2$ car
+ $\frac{1}{2} ((\root3\of2)^2)^2 = \root3\of2$. La transformation
+ réciproque de $U = \frac{1}{X}$ (qui peut également s'écrire
+ $\frac{1}{2} X^2$, l'inverse de $X$ modulo $P = X^3-2$) est $V = 2
+ Y^2$ (qu'on peut aussi vouloir écrire $\frac{1}{Y}$, puisque $2Y^2$
+ est l'inverse de $Y$ modulo $Q = Y^3 - \frac{1}{2}$).
+\item Soit $P = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i) \in k[X]$ un polynôme unitaire
+ scindé et séparable de degré $d$ dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
+ les racines deux à deux distinctes dans le corps $k$, et $U$ un
+ polynôme tel que $U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d)$ soient deux à deux
+ distinctes. Alors la réciproque de $U$ vu comme une transformation
+ de Tschirnhaus sur $P$ est tout polynôme $V \in k[Y]$ (modulo $Q
+ = \prod(X-U(\xi_i))$) prenant en $U(\xi_i)$ la valeur $\xi_i$.
+\item Soit $P = X^d$, et soit $U(X) = c_1 X + c_2 X^2 + \cdots +
+ c_{d-1} X^{d-1}$ (on suppose $c_0 = 0$ et $c_1 \neq 0$) un polynôme
+ considéré modulo $P$, qu'on peut donc imaginer comme un
+ développement limité tronqué à partir de l'ordre $d$ : la
+ transformation de Tschirnhaus réciproque de $V$ est alors le
+ polynôme $V = c'_1 Y + c'_2 Y^2 + \cdots + c'_{d-1} Y^{d-1}$
+ définissant le développement limité réciproque de $U$, c'est-à-dire
+ que $V\circ U$ est de valuation $\geq d$ (on peut donner des
+ formules explicites : $c'_1 = 1/c_1$, $c'_2 = -c_2/c_1^3$, $c'_3 =
+ (2 c_2^2 - c_1 c_3)/c_1^5$ et ainsi de suite).
+\end{itemize}
+\end{exemples2}
-\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois}
-Soit $Q$ un polynôme obtenu à partir d'un polynôme $P \in k[X]$
-unitaire séparable par une transformation de Tschirnhaus définie par
-un polynôme $U$. Alors le corps de décomposition de $Q$ sur $k$ est
-isomorphe à celui de $P$, les racines de $Q$ dans ce corps sont les
-$U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d)$ où $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines
-(deux à deux distinctes) de $P$ ; et le groupe de Galois de $Q$
-sur $k$ est isomorphe à celui de $P$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Soit $E$ un corps de décomposition de $P$, et soient
-$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines de ce dernier dans $E$ (qui
-l'engendrent). Alors chacun des éléments $U(\xi_i)$ est racine de $Q$
-(puisque $Q\circ U$ est congru à $0$ modulo $P$). En introduisant $V$
-la transformation de Tschirnhaus réciproque de $U$, on a $V(U(\xi_i))
-= \xi_i$ pour chaque $i$ puisque $V\circ U$ est congru à $X$
-modulo $P$ : ceci permet d'affirmer que les racines $U(\xi_i)$ de $Q$
-sont deux à deux distinctes, donc que $E$, qui les contient, scinde le
-polynôme $Q$, et comme les $U(\xi_i)$ engendrent les $\xi_i$ (on vient
-de le voir) donc tout $E$, le corps $E$ est aussi corps de
-décomposition de $Q$. Ceci prouve tout ce qu'on voulait.
-\end{proof}
+\begin{remarque2}
+Pour faire suite à
+\ref{remarques-calcul-transformation-de-tschirnhaus}, signalons qu'on
+peut calculer algorithmiquement la transformation de Tschirnhaus
+réciproque d'une transformation $U$ sur un polynôme $P$ : nous avons
+observé que le fait que $U$ soit une transformation de Tschirnhaus se
+détecte à l'inversibilité de la matrice représentant les puissances
+$1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg P-1}$ dans $k[X]/(P)$ sur la base
+$1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$ de ce dernier ; en inversant cette même
+matrice, on obtient celle représentant $1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$
+sur la base $1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg P-1}$, c'est-à-dire
+exactement $1,V(y),V(y)^2,\ldots,V(y)^{\deg P-1}$ sur la base
+$1,y,y^2,\ldots,y^{\deg P-1}$ de $k[Y]/(Q)$ avec $Q$ le polynôme
+transformé.
+\end{remarque2}
\begin{remarques2}
Contrairement à ce que pourraient laisser penser les propositions
@@ -771,13 +831,36 @@ $k[X]/(P)$ coïncide avec le corps de décomposition, il s'agit du
groupe de Galois de $P$.
\end{remarques2}
+\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois}
+Soit $Q$ un polynôme obtenu à partir d'un polynôme $P \in k[X]$
+unitaire séparable par une transformation de Tschirnhaus définie par
+un polynôme $U$. Alors le corps de décomposition de $Q$ sur $k$ est
+isomorphe à celui de $P$, les racines de $Q$ dans ce corps sont les
+$U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d)$ où $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines
+(deux à deux distinctes) de $P$ ; et le groupe de Galois de $Q$
+sur $k$ est isomorphe à celui de $P$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $E$ un corps de décomposition de $P$, et soient
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines de ce dernier dans $E$ (qui
+l'engendrent). Alors chacun des éléments $U(\xi_i)$ est racine de $Q$
+(puisque $Q\circ U$ est congru à $0$ modulo $P$). En introduisant $V$
+la transformation de Tschirnhaus réciproque de $U$, on a $V(U(\xi_i))
+= \xi_i$ pour chaque $i$ puisque $V\circ U$ est congru à $X$
+modulo $P$ : ceci permet d'affirmer que les racines $U(\xi_i)$ de $Q$
+sont deux à deux distinctes, donc que $E$, qui les contient, scinde le
+polynôme $Q$, et comme les $U(\xi_i)$ engendrent les $\xi_i$ (on vient
+de le voir) donc tout $E$, le corps $E$ est aussi corps de
+décomposition de $Q$. Ceci prouve tout ce qu'on voulait.
+\end{proof}
+
\begin{exemple2}\label{exemple-transformations-de-tschirnhaus-sur-quadratiques}
Soit $P = X^2 + bX + c \in k[X]$ un polynôme quadratique sur un corps
$k$ de caractéristique $\neq 2$. Une transformation de Tschirnhaus
sur $P$ est décrite par un polynôme $U = \lambda x + \mu$, et la
condition pour que $U$ définisse bien une transformation de
Tschirnhaus, compte tenu des
-remarques \ref{remarques-reconnaitre-transformation-de-tschirnhaus},
+remarques \ref{remarques-calcul-transformation-de-tschirnhaus},
est simplement : $\lambda \neq 0$. Lorsque c'est le cas, on calcule
aisément que $U(x)^2 = \lambda(2\mu - b\lambda) x + (\mu^2 -
c\lambda^2) \in k[X]/(P)$ (en notant comme d'habitude $x$ la classe
@@ -810,6 +893,31 @@ les $(\lambda,\mu)$ tels que $\mu = \frac{b}{2}(\lambda-1)$ --- \XXX
revérifier ce truc.)
\end{exemple2}
+Cherchons à présent à montrer comment les transformations de
+Tschirnhaus sur un polynôme quelconque peuvent se ramener à celles sur
+un polynôme irréductible. Commençons par le cas facile d'un produit
+de deux polynômes étrangers :
+
+\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit}
+Soient $P_1,P_2 \in k[X]$ deux polynômes unitaires premiers entre eux,
+et $P = P_1 P_2$. Alors la donnée d'une transformation de Tschirnhaus
+$U$ de $P$ équivaut à la donnée de transformations de Tschirnhaus
+$U_1,U_2$ de $P_1,P_2$ respectivement telles que les polynômes
+transformés $Q_1,Q_2$ respectivement soient premiers entre eux, le
+polynome $U$ étant alors congru à $U_i$ modulo $P_i$ (pour $i=1,2$).
+Et dans ces conditions, le polynôme transformé $Q$ de $P$ par $U$
+vaut $Q_1 Q_2$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+D'après le théorème chinois (cf. par exemple \refext{Spec}{lemme
+ chinois}), $k[X]/(P)$ est isomorphe à $(k[X]/(P_1)) \times
+(k[X]/(P_2))$. En notant $x_1,x_2$ les classes de $X$
+modulo $P_1,P_2$ respectivement, l'élément $(U_1(x_1),U_2(x_2))$
+engendre le produit en tant qu'algèbre si et seulement si $U_1(x_1)$
+et $U_2(x_2)$ engendrent chacun des facteurs et que leurs polynômes
+minimaux $Q_1,Q_2$ sont premiers entre eux.
+\end{proof}
+
Pour généraliser le dernier exemple
de \ref{exemples-transformations-de-tschirnhaus}, attachons-nous
maintenant à déterminer les transformations de Tschirnhaus entre
@@ -875,6 +983,22 @@ l'explicitent) qu'en relevant arbitrairement deux transformations de
Tschirnhaus réciproques entre $P$ et $Q$ on obtienne deux
transformations de Tschirnhaus réciproques entre $P^r$ et $Q^r$.
+\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-et-factorisation}
+Soit $P$ un polynôme unitaire à coefficients dans un corps $k$, dont
+on note $P = \prod_{i=1}^k P_i^{v_i}$ la décomposition en facteurs
+irréductibles (unitaires), les $P_i$ étant supposés deux à deux
+distincts. Alors la donnée d'une transformation de Tschirnhaus $U$ de
+$P$ équivaut à la donnée de transformations de Tschirnhaus $U_i$ de
+chacun des $P_i$ telles que les polynômes transformés $Q_i$
+respectivement soient premiers entre eux, le polynome $U$ étant alors
+congru à $U_i$ modulo $P_i$. Et dans ces conditions, le polynôme
+transformé $Q$ de $P$ par $U$ vaut $\prod_{i=1}^k Q_i^{v_i}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Ceci découle de \ref{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit} et
+\ref{relevement-transformation-de-tschirnhaus}.
+\end{proof}
+
\medbreak
Intéressons-nous maintenant à la relation d'équivalence définie par
@@ -924,29 +1048,10 @@ $i$ on ait $w_{\sigma(i)} = v_i$ et $Q_{\sigma(i)}$
Tschirnhaus-équivalent à $P_i$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
-La condition annoncée est suffisante : si $U_i$ est une transformation
-de Tschirnhaus de $P_i$ en $Q_{\sigma(i)}$, on a vu dans la
-proposition \ref{relevement-transformation-de-tschirnhaus} que $U_i$
-définit encore une transformation de Tschirnhaus de $P_i^{v_i}$ en
-$Q_{\sigma(i)}^{v_i} = Q_{\sigma(i)}^{w_{\sigma(i)}}$. En combinant
-ces transformations au moyen de la
-proposition \ref{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit}, il
-existe bien une transformation de Tschirnhaus de $P$ sur $Q$.
-
-La condition annoncée est nécessaire : si $U$ est une transformation
-de Tschirnhaus sur $P$,
-d'après \ref{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit} elle
-définit une transformation de Tschirnhaus sur chaque facteur
-$P_i^{v_i}$, et si on note $R_i$ le polynôme transformé, on a $Q =
-\prod R_i$ ; or on sait d'après
-\ref{relevement-transformation-de-tschirnhaus} que $R_i$ s'écrit
-$S_i^{v_i}$ pour un certain polynôme $S_i$ qui est un transformé de
-Tschirnhaus de $P_i$, donc irréductible. La conclusion est alors
-claire.
+Cela découle immédiatement
+de \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-factorisation}.
\end{proof}
-\XXX --- Relire cette démonstration. Tout ceci est un peu merdique.
-
\begin{remarque2}
On a vu en \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} que si
$P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents, alors ils ont même corps de