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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-09 15:46:22 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-09 15:46:22 +0100
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[LG] clarification sur Pontrâgin + début Poisson dans cas des corps de fonctions
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex110
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 6785094..3faa8e5 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -22,6 +22,7 @@
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
+\usepackage{pifont}
\tikzset{column sep=3em,row sep=2em,text height=1.5ex, text depth=0.25ex}
\tikzset{description/.style={fill=white,inner sep=1pt}}
@@ -2389,9 +2390,17 @@ Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
Soit $K$ un corps global.
Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$.
Le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
-est un isomorphisme et $K$ est orthogonal à lui-même.
+est un isomorphisme. De plus, $K$ est orthogonal à lui-même :
+si $x ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ x)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $x ∈ K$.
\end{proposition2}
+Un mot sur la terminologie : le caractère $ψ$
+induit une application linéaire de $𝐙$-modules
+$K_𝐀 ⊗_𝐙 K_𝐀 → 𝐂^×$, $x ⊗ y↦ ψ(xy)$. L'ensemble
+orthogonal considéré dans l'énoncé n'est autre
+que l'ensemble $K^⊥$ relativement à cet
+accouplement.
+
\begin{démo}
Si $K$ est $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$ ($p>0$), cela résulte
de ce qui précède. Montrons que maintenant que le théorème
@@ -2420,7 +2429,47 @@ d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
\XXX détailler cette esquisse.
\end{démo}
-\subsubsection{Fourier sur $K_𝐀$}
+\subsubsection{}
+Nous allons maintenant considérer le dual
+du groupe abélien compact $K_𝐀 ∕ K$ des classes
+d'adèles. La surjection $K_A ↠ K_𝐀 ∕ K$ induit
+une injection $\chap{K_𝐀 ∕ K} ↪ \chap{K_𝐀}$ dont l'image
+est constituée des caractères de $K_𝐀$ triviaux sur $K$.
+Dorénavant, nous identifierons souvent (et sans commentaire) $\chap{K_𝐀 ∕ K}$ à son image
+par cette injection. Soit $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀$,
+trivial sur $K$. On en déduit un morphisme $K → \chap{K_𝐀 ∕ K}$.
+Il résulte formellement du l'égalité $K^⊥=K$
+que ce morphisme est un isomorphisme.
+% injectivité triviale.
+% surjectivité : écrire un tout petit truc.
+Ainsi :
+
+\begin{corollaire2}
+\label{dual des classes de adèles}
+Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
+Le morphisme canonique $K ⥲ \chap{K_𝐀/K}$, $λ↦ [× λ]^* ψ$
+est un \emph{isomorphisme}.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{caractères séparent les points}
+Soit $K$ un corps global. Les caractères
+du groupe abélien compact $K_𝐀∕K$ \emph{séparent les points} :
+pour toute paire $x,y ∈ K_𝐀∕K$ de points distincts,
+il existe un caractère $ψ_{x,y} ∈ \chap{K_𝐀∕K}$ tel que
+$ψ_{x,y}(x) ≠ ψ_{x,y}(y)$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Par translation, on peut supposer $y=0$.
+Soit $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
+D'après le corollaire précédent, il faut montrer
+qu'il existe un $λ ∈ K$ tel que $ψ(λ x) ≠ 0$.
+Ceci résulte du fait que $x ∉ K$ et de l'égalité
+$K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
+\end{démo}
+
+\subsubsection{Transformée de Fourier sur $K_𝐀$}
Soit $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
sur $K$. Il résulte de ce qui précède
que les niveaux $n(ψ_x)$ sont nuls pour presque tout $x$.
@@ -2434,7 +2483,7 @@ et induisent donc une fonction $ℱ_ψ(f)=⊠′_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sur $K_𝐀
De plus, chaque $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient à $𝒮(K_x)$
(\emph{loc. cit.}, (i)) si bien que $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
-\XXX Si l'on note $μ_ψ$ mesure sur $K_𝐀$ déduite
+\XXX Si l'on note $μ_ψ=\colim μ_{ψ_x}$ la mesure de Radon sur $K_𝐀$ déduite
des $μ_{ψ_x}$, définie par [...],
on a bien sûr l'égalité
\[
@@ -2443,7 +2492,7 @@ on a bien sûr l'égalité
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où
$ψ_t=[× t]^* ψ$.
-\begin{exemple2}[Cas des rationnels]
+\begin{exemple2}[Cas du corps des nombres rationnels]
Considérons :
— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$ ;
@@ -2484,7 +2533,7 @@ de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ x/N)\chap{f^∞}(\frac{λ}{N})$
\end{exemple2}
-\begin{exemple2}[Cas des fonctions rationnelles]
+\begin{exemple2}[Cas du corps des fonctions rationnelles]
Considérons :
— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐅_p((t^{-1}))=𝒮(𝐤_∞)$ ;
@@ -2497,7 +2546,7 @@ On a alors comme ci-dessus l'égalité
\[
ℱ_{ψ_𝐤}(f^∞ ⊠ 𝟭_{x+N \chap{𝐅_p[t]}})=
\big( \frac{1}{p^{\deg(N)}} ℱ_{ψ_∞}(f^∞) \big) ⊠
-\big( [×x]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
+\big( [×x]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
\]
où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif
du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$,
@@ -2517,8 +2566,9 @@ rationnels nous ramène en effet au théorème
de Riemann-Roch énoncé ci-après. [à vérifier/détailler] \XXX
\end{exemple2}
+\subsection{Formules d'inversion et de Poisson}
-Formule d'inversion.
+Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant.
\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
@@ -2541,6 +2591,7 @@ on a :
\end{enumerate}
\end{théorème2}
+\begin{remarques2}
En particulier $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ (par opposition
à $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$). C'est la mesure de Tamagawa.
@@ -2548,19 +2599,45 @@ Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
\ref{Pontrâgin} (i) et la formule du produit.
Cf. Goldstein, p. 150.
+\end{remarques2}
-\begin{démo}
-(iii) Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$ et $Γ$
-son sous groupe discret cocompact $K$. Soit $f$ une fonction
-sur $G$ comme dans l'énoncé.
-La somme de fonctions $g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g+γ)$ converge normalement
-sur tout compact. En effet, on se ramène en caractéristique
+\subsubsection{Démonstration du (iii)}
+\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
+Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$ et $Γ$
+son sous-groupe discret cocompact $K$. Soit $f ∈ 𝒮(G)$ une fonction.
+Soit $C$ un compact de $K_𝐀$. Vérifions le fait suivant :
+\begin{quote}
+La somme de fonctions $g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g+γ)$ converge uniformément
+sur $C$.
+\end{quote}
+
+❧ Cas de la caractéristique $p>1$.
+Quitte à agrandir $C$, on peut supposer que $C$ contient
+le support de $f$ et est de la forme
+$∏_{v ∈ S} K_v × ∏_{v ∉ S} 𝒪_v$, où $S$ est un ensemble fini
+contenant les places archimédiennes (cf. \ref{} \XXX).
+Pour chaque $v ∈ Σ(K)$, notons $C_v$ la projection de $C$
+sur $K_v$ et $C_v^{\Supp} ⊆ K_v$ le support de $f_v$
+si $v ∈ S$ et $𝒪_v$ sinon. Enfin, posons $C^{\Supp}=∏_v C_v^{\Supp}$ ;
+c'est un compact contenu dans $C$. (On utilise ici l'hypothèse
+faite sur $K$.)
+La fonction $f$ est nulle hors de $C^{\Supp}$. Il en résulte
+que chaque terme $f(g+γ)$ de la somme est nul sauf peut-être
+si $γ ∈ Γ ∩ (C + {\traitdunion}C^{\Supp})$, où $C+ {\traitdunion}C^\Supp$ désigne
+l'image (compacte) de l'application $C×C → K_𝐀$, $(x,y)↦ x-y$.
+L'intersection de $Γ$ avec tout compact étant \emph{finie},
+la somme considérée est, restreinte au compact $C$, également finie
+et le résultat en découle aussitôt.
+
+❧ Cas ultramétrique.
+
+En effet, on se ramène en caractéristique
nulle au cas d'une place archimédienne (cf. p. ex. [Bump,
p. 278] ou infra). \XXX En égale caractéristique $p>0$, la
somme est finie sur tout compact (cf. \ref{Poisson implique RR}) \XXX.
La fonction sur $G$ ainsi obtenue est $Γ$-périodique par
construction ; notons $F$ la fonction continue induite sur
-le quotient (compact) $G \bo Γ$. Les caractères $π$
+le quotient (compact) $X=G \bo Γ$. Les caractères $π$
de $G \bo Γ$ séparent les points, comme nous l'avons vu
en \ref{Pontrâgin pour les adèles}. D'après le théorème de
Stone, l'espace vectoriel engendré par les caractères de $G \bo Γ$ dans l'ensemble
@@ -2593,9 +2670,12 @@ On utilise le fait que $∑ |c_π|< +∞$ car $∑ |h(x)| <+∞$
pour fonction $h$ dans $𝒮$.
(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules
$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
-\end{démo}
+\begin{remarque2}
+Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \XXX
+\end{remarque2}
+
\subsection{Premières applications}
\subsubsection{}