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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 20:56:58 (GMT) |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 20:56:58 (GMT) |
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[Dedekind] quelques ajouts (fonctions ζ)
À faire : trouver un bon cadre pour définir
le genre, démontrer Riemann-Roch/+Hurwitz etc.
Probablement méthode adélique (mais trop
parachutée dans [Rosen] il me semble).
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-rw-r--r-- | chapitres/Dedekind.tex | 74 |
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diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex index 767ef13..a6a82b3 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -159,7 +159,16 @@ $\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisi La formule en résulte. \end{démo} -[variantes en caractéristique $p>0$.] +variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467). + +Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7] + +\begin{théorème2} +\XXX +Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente. +\end{théorème2} + +☡ [probablement à déplacer] \section{Théorèmes de finitude} @@ -217,19 +226,64 @@ Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}. \end{théorème2} \begin{démo} -Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6]. +Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f). \end{démo} +\subsection{Genre} + +Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau +de $K → ⨁_v K_v/O_v$. + +[À voir] + \subsection{Fonction zêta de Dedekind} -\begin{théorème2} +\begin{définition2} +\XXX + +Corps de nombres : +\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\] +\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\] +(fonction zêta complétée) où +$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$. + +Corps de fonctions : +\[ +ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}}, +\] +où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$. +\[ +\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s) +\] +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$. +\end{proposition2} + +\begin{exemple2} +$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 + + +$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$. + +\end{exemple2} + +\begin{proposition2} Converge absolument pour $\Re(s)>1$. -\end{théorème2} +Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. +\end{proposition2} \begin{démo} On se ramène au cas du corps de base. \end{démo} +Mieux : + +\begin{théorème2} +Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle. +\end{théorème2} + \begin{théorème2}[Pôle simple en $1$] \XXX Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une @@ -470,12 +524,14 @@ Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$. \end{quote} \end{proof} -\begin{théorème2} -Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions. +\begin{théorème2}[F.K. Schmidt] +Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions : + +$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$. \end{théorème2} \begin{démo} -Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29. +Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] \end{démo} \section{Non-existence d'extensions non ramifiées ; application} @@ -635,10 +691,10 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier \begin{théorème2} \XXX -Posons $Λ(s)=27^{\frac{s}{2}}(2π)^sΓ(s)L(E,s)$. +Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$. Alors : \[ -Λ(E,s)=Λ(E,2-s). +\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s). \] \end{théorème2} |