[Dedekind] quelques ajouts (fonctions ζ)

 À faire : trouver un bon cadre pour définir
le genre, démontrer Riemann-Roch/+Hurwitz etc.
Probablement méthode adélique (mais trop
parachutée dans [Rosen] il me semble).

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index 767ef13..a6a82b3 100644
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+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -159,7 +159,16 @@ $\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisi
 La formule en résulte.
 \end{démo}
 
-[variantes en caractéristique $p>0$.]
+variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467).
+
+Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7]
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
+\end{théorème2}
+
+☡ [probablement à déplacer]
 
 \section{Théorèmes de finitude}
 
@@ -217,19 +226,64 @@ Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}.
 \end{théorème2}
 
 \begin{démo}
-Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6].
+Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f).
 \end{démo}
 
+\subsection{Genre}
+
+Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau
+de $K → ⨁_v K_v/O_v$.
+
+[À voir]
+
 \subsection{Fonction zêta de Dedekind}
 
-\begin{théorème2}
+\begin{définition2}
+\XXX
+
+Corps de nombres :
+\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\]
+\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
+(fonction zêta complétée) où
+$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
+
+Corps de fonctions :
+\[
+ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}},
+\]
+où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$.
+\[
+\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s)
+\]
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{exemple2}
+$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
+
+
+$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
+
+\end{exemple2}
+
+\begin{proposition2}
 Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
-\end{théorème2}
+Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle.
+\end{proposition2}
 
 \begin{démo}
 On se ramène au cas du corps de base.
 \end{démo}
 
+Mieux :
+
+\begin{théorème2}
+Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle.
+\end{théorème2}
+
 \begin{théorème2}[Pôle simple en $1$]
 \XXX
 Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
@@ -470,12 +524,14 @@ Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
 \end{quote}
 \end{proof}
 
-\begin{théorème2}
-Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions.
+\begin{théorème2}[F.K. Schmidt]
+Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions :
+
+$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$.
 \end{théorème2}
 
 \begin{démo}
-Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29.
+Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14]
 \end{démo}
 
 \section{Non-existence d'extensions non ramifiées ; application}
@@ -635,10 +691,10 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
 
 \begin{théorème2}
 \XXX
-Posons $Λ(s)=27^{\frac{s}{2}}(2π)^sΓ(s)L(E,s)$.
+Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
 Alors :
 \[
-Λ(E,s)=Λ(E,2-s).
+\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
 \]
 \end{théorème2}