summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-11-15 16:10:33 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-11-15 16:10:33 +0100
commitdebcda8634a98c8d1f5d4dd9177612cf79ef0884 (patch)
tree1ca8b208259220a52b7cd20d9866b27cf34576f8 /chapitres
parent141b064b50dcee59421c57c77fc8e9926a8d07f1 (diff)
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[calculs] Changements triviaux pour pouvoir faire la suite plus clairement.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex27
1 files changed, 21 insertions, 6 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 0570918..4271c95 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2375,8 +2375,9 @@ si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus
dans $C_4$, tandis que si c'est le cas, il l'est. Si l'une des deux
résolvantes calculées n'était pas séparable, il convient de remplacer
$f$ par un transformé de Tschirnhaus $f^\$$ comme expliqué de façon
-générale \ref{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois}
-(et ce qui est possible
+générale
+en \ref{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois} (et
+ce qui est possible
d'après \ref{garantir-resolvante-separable-par-transformation-de-tschirnhaus}).
\begin{exemple2}
@@ -2438,10 +2439,19 @@ existe cependant deux extensions non-isomorphes de $C_4$ par $C_5$ :
celle dont nous parlons est la seule qui soit incluse
dans $\mathfrak{S}_5$.)
-Un polynôme dont le stabilisateur dans $\mathfrak{S}_5$ est $M_{20}$
-est donné par : $P = Z_1^2(Z_2 Z_5 + Z_3 Z_4) + Z_2^2(Z_1 Z_3 + Z_4
+On trouve facilement des polynômes dont le stabilisateur dans
+$\mathfrak{S}_5$ est respectivement $M_{20}$, $D_5$ et $C_5$ : pour la
+suite, on posera $P = Z_1^2(Z_2 Z_5 + Z_3 Z_4) + Z_2^2(Z_1 Z_3 + Z_4
Z_5) + Z_3^2(Z_1 Z_5 + Z_2 Z_4) + Z_4^2(Z_1 Z_2 + Z_3 Z_5) + Z_5^2(Z_1
-Z_4 + Z_2 Z_3)$. La résolvante générale correspondante est : $R_P =
+Z_4 + Z_2 Z_3)$ (qui a $M_{20}$ pour stabilisateur), $Q = Z_1 Z_2 +
+Z_2 Z_3 + Z_3 Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_5$ (qui a $D_5$ pour
+stabilisateur) et $F = Z_1 Z_2^2 + Z_2 Z_3^2 + Z_3 Z_4^2 + Z_4 Z_5^2 +
+Z_5 Z_1^2$ (qui a $C_5$ pour stabilisateur).
+
+Soit maintenant $f = X^5 + a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$,
+supposé irréductible et séparable, le polynôme quintique dont on
+cherche à déterminer le groupe de Galois. La résolvante générale
+relativement à $P$ est : $R_P =
X^6 + (- 2 a_1 a_3 + 8 a_4) X^5 + (- 8 a_1^3 a_5 + 2 a_1^2 a_2 a_4 +
a_1^2 a_3^2 + 30 a_1 a_2 a_5 - 14 a_1 a_3 a_4 - 6 a_2^2 a_4 + 2 a_2
a_3^2 - 50 a_3 a_5 + 40 a_4^2) X^4 + (16 a_1^4 a_3 a_5 - 2 a_1^4 a_4^2
@@ -2545,7 +2555,12 @@ a_4^3 a_5^2 + 3250 a_3^2 a_4^2 a_5^2 - 1600 a_3 a_4^4 a_5 + 256 a_4^6
- 9375 a_4 a_5^4$. Cette résolvante sextique admet donc une racine
si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le polynôme $f = X^5 +
a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$ (supposé irréductible et
-séparable) a un groupe de Galois inclus dans $M_{20}$.
+séparable) a un groupe de Galois inclus dans $M_{20}$. Comme on l'a
+déjà plusieurs fois souligné
+(comparer \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche}
+et \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), on n'utilise
+normalement pas en pratique une telle expression générale, dont la
+seule fonction est d'impressionner par sa complexité.
L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche de $M_{20}$,
donc sur les six racines de la résolvante générale $R_P$, correspond