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author | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-30 16:39:07 +0200 |
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committer | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-30 16:39:07 +0200 |
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 48 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index c9b392e..7702cd2 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -958,7 +958,7 @@ non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un polynôme comme proposé. \end{remarques2} -\begin{proposition2} +\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable} Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines comptées avec multiplicité dans un corps de rupture $L$. @@ -973,23 +973,45 @@ deux affirmations suivantes sont équivalentes : \end{enumerate} \end{proposition2} +\begin{sslemme2}\label{transitivite-des-sylow} +Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de +cardinal $p^e$ avec $p$ un nombre premier, et soit $H$ un sous-groupe +de $G$ dont l'indice $(G:H)$ est premier avec $p$. Alors $H$ est +encore transitif sur $X$. +\end{sslemme2} +\begin{proof} +Soit $U = \Stab_G(x)$ le fixateur dans $G$ d'un élément $x\in X$ : on +a $(G:U) = p^e$. On peut écrire $(H:(U\cap H)) = (G:U) \, (U:(U\cap +H)) \, (G:H)^{-1}$ (égalité entre éléments de $\QQ$). Or $(G:U) = +p^e$, le nombre $(U:(U\cap H))$ est entier, et par hypothèse +$(G:H)^{-1}$ ne comporte pas de $p$ au dénominateur (i.e., sa +valuation $p$-adique est positive). Il s'ensuit que $(H:(U\cap H))$ a +un numérateur réduit multiple de $p^e$ (i.e., sa valuation $p$-adique +vaut au moins $e$), et comme il s'agit d'un entier, c'est un multiple +de $p^e$. Mais $(H:(U\cap H))$ est le cardinal de l'orbite de $x$ +sous l'action de $H$ : on a donc montré que cette orbite est $X$ tout +entier. +\end{proof} + \begin{lemme2} -Sous les conditions de la proposition précédente, supposons en outre -que $f = X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec -$d=p^e$) sont tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$ (dans ces -conditions, le corps $K$ est, bien entendu, de caractéristique $p$). -Alors les deux affirmations de la proposition sont équivalentes à : -$\mathfrak{G}$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$. +Sous les conditions de la +proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable}, +supposons en outre que $K$ est de caractéristique $p$ et $f = +X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec $d=p^e$) sont +tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$. Alors les deux affirmations de +la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$ opère +transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$. \end{lemme2} \begin{proof} Supposons d'abord que $\mathfrak{G}$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$. Soit $P$ un $p$-Sylow de $\mathfrak{G}$ : -alors $P$ opère encore transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$ (\XXX), -donc on peut supposer que $\mathfrak{G}=P$, c'est-à-dire que l'ordre -de $\mathfrak{G}$ est une puissance de $p$. Soit maintenant $M$ un -monôme sur les variables $Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant -par $\mathfrak{G}$, alors il peut s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e} -Z_i)^r$, et sa valeur sur $(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r +alors $P$ opère encore transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$ +(d'après \ref{transitivite-des-sylow}), donc on peut supposer que +$\mathfrak{G}=P$, c'est-à-dire que l'ordre de $\mathfrak{G}$ est une +puissance de $p$. Soit maintenant $M$ un monôme sur les variables +$Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant par $\mathfrak{G}$, alors +il peut s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e} Z_i)^r$, et sa valeur sur +$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r \in K$. Si $M$ n'est pas invariant par $\mathfrak{G}$, alors le nombre de ses conjugués par $\mathfrak{G}$ est une puissance non triviale de $p$, donc leur somme, évaluée sur l'élément diagonal |