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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-07 17:43:22 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-07 17:43:22 +0200
commite47372bf507c21ba62cd82799aeaa82486b16def (patch)
treecf871a98ae3ac8ee388124c93585238cf90c5bbf /chapitres
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[calculs] Un lemme dépendant d'un sous-lemme qui pourrait être vrai (ou pas).
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex47
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 6e1bbdd..2094169 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1048,7 +1048,7 @@ Sous les conditions de la
proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
supposons en outre que $K$ est de caractéristique $p$ et $f =
X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec $d=p^e$) sont
-tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$. Alors les deux affirmations de
+tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$. Alors les affirmations de
la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$ opère
transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
\end{lemme2}
@@ -1077,6 +1077,51 @@ $(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{\#O}$ qui n'appartient pas à $K$ car le
polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de degré $p^e$.
\end{proof}
+\begin{sslemme2}
+Soient $\xi_1,\ldots,\xi_d$ des éléments distincts d'une extension $L$
+quelconque d'un corps $K$, et soit $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de
+$\mathfrak{S}_d$. Alors il existe un polynôme $P \in
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que pour $\sigma \in \mathfrak{S}_d$ les trois
+affirmations suivantes soient équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $\sigma \in \mathfrak{G}$,
+\item $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$, et
+\item $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) =
+ P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$.
+\end{itemize}
+\end{sslemme2}
+\begin{proof}
+\XXX
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}
+Sous les conditions de la
+proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
+supposons en outre que $f$ soit séparable sur $K$. Alors les
+affirmations de la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$
+contient le groupe de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de
+$\mathfrak{S}_d$ en opérant sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$
+de $f$).
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Si $\mathfrak{G}$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout
+polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $\mathfrak{G}$ l'est
+en particulier par $G$ opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
+pour tout $\sigma\in G$, c'est-à-dire que $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ est
+invariant par $G$ opérant comme groupe d'automorphismes sur le corps
+de décomposition $L = K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ de $f$, donc
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ appartient bien au corps fixe $K$ de $G$.
+
+Réciproquement, si $\mathfrak{G}$ ne contient pas le groupe de Galois
+$G$ de $f$, considérons un polynôme $P$ tel que donné par le
+sous-lemme précédent : le polynôme $P$ est invariant
+par $\mathfrak{G}$. Si $\sigma$ appartient à $G$ mais non à
+$\mathfrak{G}$, on a alors $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})
+\neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ d'après la conclusion du sous-lemme (comme
+$\sigma \in \mathfrak{G}$), donc $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$.
+\end{proof}
+
\subsection{Résolvantes}
\begin{definition2}\label{definition-resolvante}