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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-03-01 01:58:01 +0100 |
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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index acc519a..f72e3b4 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -1,27 +1,9 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - -\usepackage{palatino,euler} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} \title{Notions d'algèbre commutative} - \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{formes-tordues} @@ -30,15 +12,8 @@ \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - \begin{document} -\begin{center} -Notions d'algèbre commutative -\end{center} +\maketitle \tableofcontents \else \chapter{Notions d'algèbre commutative} @@ -62,7 +37,7 @@ contenant $S$ et multiplicative. Si $S$ est une partie multiplicative, la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par -$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$ +$(a,s)ℛ(a',s')$ si et seulement si il existe $t∈S$ tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note $A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$. On vérifie immédiatement que les opérations @@ -99,7 +74,7 @@ maximal. \begin{démo} On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car -$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$. +$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$. Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$ car tout élément de $S$ est envoyé @@ -123,7 +98,7 @@ des fractions, il existe $t∈S$ tel que Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$. Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à $𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$. -Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application +Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, c'est-à-dire que l'application $𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$. D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel @@ -305,13 +280,13 @@ Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$ est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini. \end{définition2} -\begin{exemples} -Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad +\begin{exemples2} +Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, c'est-à-dire dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$. Moins trivialement, il résulte de la proposition \ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$. -\end{exemples} +\end{exemples2} Il est naturel de compléter cette définition par la suivante. @@ -323,7 +298,7 @@ est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu : sur $A$). -Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi +Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ si et seulement si l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente. \begin{lemme2}\label{composé de finis=fini} @@ -359,7 +334,7 @@ Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients dans $A$. -\begin{miseengarde} +\begin{miseengarde2} L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$. C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}. @@ -373,7 +348,7 @@ sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans $A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$ de sorte que $P(XY)≠0$. % = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$). -\end{miseengarde} +\end{miseengarde2} \XXX La démonstration ci-dessous est moche. @@ -399,12 +374,15 @@ Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$. Observons que l'endomorphisme $A$-linéaire de $C$ défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif : -$$ -\xymatrix{ -A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\ -C \ar[r]^{b} & C -} -$$ + +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%$$ +%\xymatrix{ +%A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\ +%C \ar[r]^{b} & C +%} +%$$ + En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$ tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir @@ -573,7 +551,7 @@ On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière. Réciproquement : \begin{proposition2}\label{fini=entier+tf} -Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini. +Un morphisme d'anneaux est fini si et seulement si il est entier et de type fini. \end{proposition2} @@ -709,10 +687,10 @@ B₂$ l'est aussi. \begin{définition2}\label{normalisation,normal} Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre -$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture +$A^正$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation} de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle, -entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau +entière, $A→A^正$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau \emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}. \end{définition2} @@ -816,16 +794,16 @@ Le diagramme de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$, on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$. En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local}, -\cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$. +c'est-à-dire ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$. Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$ son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme -ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD. +ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, c'est-à-dire que $𝔭=𝔪$. CQFD. \end{démo} \begin{lemme2} Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres. -L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps. +L'anneau $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps. \end{lemme2} \begin{démo} @@ -852,7 +830,7 @@ que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$. \begin{corollaire2}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers} Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et $𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal -\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier +si et seulement si $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$. \end{corollaire2} @@ -888,7 +866,7 @@ Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme $A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$ associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses, l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$, -\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$. +c'est-à-dire au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$. \subsubsection{Intégralité et finitude} @@ -965,7 +943,7 @@ Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$ est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité. Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$, il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser -$t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer +$t$, c'est-à-dire considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer $t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$. Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ; on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que @@ -1071,7 +1049,7 @@ Il résulte de \ref{invariants et localisation} que $\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$ est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$ par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels -$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes +$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (c'est-à-dire : les morphismes canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où $𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes). Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$ @@ -1080,7 +1058,7 @@ $D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal $𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers} que $𝔮$ est alors maximal également. -Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout +Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, c'est-à-dire que pour tout $β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur $l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)). Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons @@ -1126,7 +1104,7 @@ $l$ tout entier. \begin{lemme2} Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident -\ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables. +si et seulement si ils agissent de la même manière sur les éléments séparables. \end{lemme2} Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}. @@ -1150,7 +1128,7 @@ et, finalement, $σ(x)=τ(x)$ car l'élévation à la puissance $p$ est injective en caractéristique $p>0$. \end{démo} -\begin{remarque3} +\begin{remarque2} On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$, le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas @@ -1159,7 +1137,7 @@ l'application induite sur les spectres $\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins une bijection. %Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ». -\end{remarque3} +\end{remarque2} diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index 1e7a36e..0fb7a4e 100644 --- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -1,28 +1,9 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\usepackage{palatino,euler} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\input{.cv} - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} \title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} - \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{formes-tordues} @@ -31,17 +12,8 @@ \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} - - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - \begin{document} -\begin{center} -Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind -\end{center} -\version +\maketitle \tableofcontents \else \chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} @@ -223,7 +195,7 @@ EVN sur un corps valué (/normé)=… ? (cf. infra) \XXX Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique). -valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (\textgreek{Ψαµµίτης}) +valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (Ψαµµίτης) d'Archimède dans lequel il introduit un système pour nommer les grands nombres. \subsubsection{}Définir $Σ(K)$ (ensemble des classes d'équivalences de @@ -587,11 +559,11 @@ Notamment : \begin{proposition2} \XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions, et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans -$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension +$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a : \begin{itemize} -\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$, +\item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$, \item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$ est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local. \end{itemize} @@ -633,7 +605,7 @@ $𝐂_p$ est algébriquement clos. \end{corollaire2} \begin{démo} -Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1 +Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1 \end{démo} \begin{proposition2} @@ -642,7 +614,7 @@ Ax-Sen \end{proposition2} \begin{démo} -Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1 +Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1 \end{démo} @@ -740,7 +712,7 @@ pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement. 1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$. Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$ induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car -$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad +$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, c'est-à-dire $v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$. Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$, réciproquement, si $\sigma\in G_i$, @@ -924,12 +896,13 @@ Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne de groupe $\mu_n(k)$. Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ : -$$ -\xymatrix{ -L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\ -K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u] -} -$$ +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%$$ +%\xymatrix{ +%L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\ +%K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u] +%} +%$$ L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique. Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$. Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$ @@ -1016,14 +989,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}. \begin{proposition2} \XXX -Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. -Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ +Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. +Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$ et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, -tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ -De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si -$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, -où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) -pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). +tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$ +De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si +$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, +où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$) +pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$). \end{proposition2} \begin{théorème2}[Krull-Akiduki] %秋月康夫 @@ -1136,7 +1109,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b \end{démo} \begin{définition2} -Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$. +Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$. \end{définition2} \begin{proposition2} diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index 6ae920a..1a5474f 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -1,25 +1,9 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\usepackage{palatino,euler} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} \title{Réduction modulo $p$} - \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{calculs-galois} @@ -30,15 +14,8 @@ \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -%\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - \begin{document} -\begin{center} -Réduction modulo $p$ -\end{center} +\maketitle \tableofcontents \else \chapter{Réduction modulo $p$} @@ -317,13 +294,13 @@ en $s=1$. On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème, que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$, -\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$. +c'est-à-dire que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$. Cf. chapitre précédent \refext{}{}. \begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius} Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$. Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois. -Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad +Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ c'est-à-dire une partition de $d$. Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$, $$ @@ -377,7 +354,7 @@ $\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème. Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes -$A_F↠ \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$ +$A_F↠ \FF_p$, c'est-à-dire les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$ soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ » car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$). Ainsi, @@ -464,7 +441,7 @@ polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles. L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes, -cela force l'égalité $s=s'\sigma$ \cad $sS=s'S$. +cela force l'égalité $s=s'\sigma$ c'est-à-dire $sS=s'S$. \end{proof} Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$, @@ -589,7 +566,7 @@ Posons : $$ \sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s). $$ -On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée +On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ c'est-à-dire reste bornée quand $s→ 1+$. Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent : $$ @@ -636,7 +613,7 @@ cf. \cite{Jordan@Serre}. Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si, la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant -sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$). +sans point fixe (c'est-à-dire qui ne soit pas de type $(1,\dots)$). La formule $$ \frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\ @@ -661,7 +638,7 @@ Alors, $a$ est un carré. \end{corollaire2} \begin{proof} -Si $X^2-a$ était irréductible (\cad $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait +Si $X^2-a$ était irréductible (c'est-à-dire $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait pas un carré pour une infinité de $p$. \end{proof} diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex index 4ed265b..4cf5f47 100644 --- a/chapitres/KASW.tex +++ b/chapitres/KASW.tex @@ -1,25 +1,9 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\synctex=1 -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - -\title{Théorie de Kummer et Artin-Schreier-Witt} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{formes-tordues} @@ -28,15 +12,8 @@ \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - \begin{document} -\begin{center} -Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt -\end{center} +\maketitle \tableofcontents \else \chapter{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt} @@ -1819,11 +1796,11 @@ en ensembles $𝐀^𝐍$ lorsque $p>1$ et à $𝐀¹$ lorsque $p=1$. \begin{remarque2} Nous verrons ci-après qu'il existe une structure d'anneau sur $W_∞$ vérifiant les propriétés suivantes : $(1-X)^{-1}$ est l'unité -de la multiplication (que nous noterons $\varodot$) ; -l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,\varodot)$ +de la multiplication (que nous noterons $⊙$) ; +l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,⊙)$ (restreint aux $𝐙_{(p)}$-algèbres). L'exponentielle de Artin-Hasse est donc l'idempotent correspondant -à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} \varodot E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$. +à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} ⊙ E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$. \end{remarque2} \subsubsection{}\label{p-coordonnées de Witt} @@ -2285,16 +2262,16 @@ de groupe et EG} et du fait que l'on est en caractéristique $p>0$ que l'algèbre $E_{[q]}$ représente le foncteur $A ↦ (A[X]/X^{p^{r+1}})^×$, l'action naturelle de $𝐙/p^{r+1}$ sur $E_{[q]}$ correspondant à la multiplication par $1+X$. -D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{\japmath{田}}$ +D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{田}$ se surjecte sur le foncteur $W_{[q]}$ par \XXX. Admettons un instant qu'il existe un morphisme -$B_{[q]}^{\japmath{田}} → W_{[q]}$ faisant commuter +$B_{[q]}^{田} → W_{[q]}$ faisant commuter le diagramme ci-dessous. \begin{center}\begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex] -{ E_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\}; +{ E_{[q]}^{田} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{田} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\}; \draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1); \draw[->] (diag-1-2) -- node{$℘_{W_{[q]}}$} (diag-2-2); \draw[->>] (diag-1-1) -- (diag-1-2); @@ -2336,14 +2313,14 @@ canonique) et $℘=F_p \ominus \Id : W_{[q]} → W_{[q]}$. \subsubsection{}Bien que l'exponentielle d'une série formelle $f ∈ W_∞(A)$ ne soit pas définie en général — à cause des divisions par $n!$ —, on peut malgré tout considérer sa dérivée logarithmique On appelle \emph{morphisme fantôme} le morphisme -\[\japmath{鬼}: W_∞ → \Ga^∞\] +\[鬼: W_∞ → \Ga^∞\] \[f ↦ X \frac{f ′}{f}.\] \begin{proposition2} morphisme ; injectif si sans $𝐙$-torsion, bijectif si $𝐐$-algèbre. Si $𝐙_{(p)}$-algèbre $e_p$ « correspond » à $(a₁,a₂, …) ↦ (a_1,0, …,a_p,0, …,a_{p²}, …)$. -\[\japmath{鬼}\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\] +\[鬼\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\] \end{proposition2} \subsection{Algèbres simples-centrales de degré $p^r$} diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex index 2ad3f9b..47eb669 100644 --- a/chapitres/brauer.tex +++ b/chapitres/brauer.tex @@ -2036,14 +2036,14 @@ l'argument donné n'utilisait pas l'hypothèse que l'anneau des coefficients soit un corps. Nous dirons donc que $p_φ$ est un \emph{projecteur de rang un}. -\subsubsection{}Soient $\mathrm{pr}_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne » -de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\mathrm{pr}_{i|M_φ}$ leurs restrictions -à $M_φ$. L'application $\mathrm{pr}_{1|M_φ}$ +\subsubsection{}Soient $\pr_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne » +de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\pr_{i|M_φ}$ leurs restrictions +à $M_φ$. L'application $\pr_{1|M_φ}$ induit un isomorphisme sur son image $L_φ$ dont l'inverse est l'application $L_φ → M_φ$ envoyant $l$ sur $(φ(E_{1,1})l,…,φ(E_{n,1})l)$. On peut donc reconstruire $L_φ$ à partir de $M_φ$ ; l'égalité \[ -(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \mathrm{pr}_{i|M_φ} ∘ {\mathrm{pr}_{1|M_φ}}^{-1} +(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \pr_{i|M_φ} ∘ {\pr_{1|M_φ}}^{-1} \] montre comment reconstruire $ι_φ$. (Par construction, le terme de droite prolonge l'inclusion $L⊆A^n$.) @@ -2052,9 +2052,9 @@ Pour tout anneau $A$, notons $𝐏⁰(𝐌_n)(A)$, l'ensemble des sous-$A$-modules $M$ de $𝐌_n(A)$ tels que l'application « image » (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps} \emph{infra} pour une justification de cette terminologie) -\[I_M := ∑_i \mathrm{pr}_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme. -L'application \[M↦(L_M=\Im \mathrm{pr}_{1|M}, ι_M=∑_i \mathrm{pr}_{i|M} ∘ -{\mathrm{pr}_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre +\[I_M := ∑_i \pr_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme. +L'application \[M↦(L_M=\Im \pr_{1|M}, ι_M=∑_i \pr_{i|M} ∘ +{\pr_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre $\mathbf{P}⁰(𝐌_n)(A)$ et $ℒ_n(A)$. Il en résulte que les foncteurs $\Aut(𝐌_n)$ et $𝐏⁰(𝐌_n)$ sont isomorphes. (Si $A → B$ un morphisme de $k$-algèbres, l'application $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(B)$ envoie $M⊆𝐌_n(A)$ @@ -2086,10 +2086,10 @@ un $k$-plongement de $R$ dans $R'$. des ouverts d'un espace affine.) Pour toute paire d'indices $(i,j)∈\{1,…,n\}²$, et tout anneau $A$, posons -\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \mathrm{pr}_{ij|M}:M ⥲ A\},\] -où $\mathrm{pr}_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$ +\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \pr_{ij|M}:M ⥲ A\},\] +où $\pr_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$ « coefficient $(i,j)$ de la matrice » et -$\mathrm{pr}_{ij|M}$ sa restriction à $M$. +$\pr_{ij|M}$ sa restriction à $M$. Si $A$ est un corps, cela revient à regarder les droites comme ci-dessus dont un élément a sa coordonnée en position $(i,j)$ inversible. @@ -2124,7 +2124,7 @@ inversible mais il en résulte cependant que les coefficients d'une colonne quelconque (par exemple la première) engendre l'idéal unité de $A$. (Calculer le déterminant en développant le long de cette colonne.) Si l'on inverse l'un quelconque de ces coefficients, disons $a_{i1}$, -l'application $\mathrm{pr}_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme. +l'application $\pr_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme. Ceci achève la démonstration du fait que les sous-foncteurs $𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)$ recouvrent $𝐏⁰(𝐌_n)$ . diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 58e65a6..5ae3b17 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -224,7 +224,7 @@ algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$, le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$ est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections -$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles +$\pr_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$. diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex index bad6d72..6cdf363 100644 --- a/chapitres/formes-tordues.tex +++ b/chapitres/formes-tordues.tex @@ -541,8 +541,8 @@ $k$-algèbres de rang $n$ trivialisées par l'extension $K\bo k$. Pour mémoire, rappelons que les trois applications -$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\mathrm{pr}_i)$ -($\mathrm{pr}_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur), +$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\pr_i)$ +($\pr_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur), $\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K)→\Spec(K^n)$, $φ↦\Ker(φ)$, et $\Aut_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n)→\Aut_{\Ens}(\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K))$, @@ -648,7 +648,7 @@ l'application $x↦σ∘x$. (Prendre garde que si $σ$ est une permutation d'un ensemble fini $X$, l'image inverse par l'automorphisme $(λ_x)↦(λ_{σ(x)})$ de -$K^X$ de l'idéal premier $𝔭_x=\Ker(\mathrm{pr}_x)$ +$K^X$ de l'idéal premier $𝔭_x=\Ker(\pr_x)$ est $𝔭_{σ^{-1}(x)}$.) CQFD. \end{démo} @@ -717,7 +717,7 @@ où $G$ agit sur lui-même par translation à droite : $g ⋅h=hg^{-1}$. L'alg il résulte de l'exercice \refext{Alg}{algebres finies via idempotents} que l'application $G → \Spec(K^G)$ $g ↦ \Ann(e_g)$ est une bijection\footnote{On obtient une seconde démonstration de ce fait en observant que -$\Ann(e_g)=\Ker(\mathrm{pr}_g)$ et en utilisant \refext{Alg}{ideaux-k-X}}. +$\Ann(e_g)=\Ker(\pr_g)$ et en utilisant \refext{Alg}{ideaux-k-X}}. L'isomorphisme $G ⥲ \Spec(K^G)$ ainsi obtenu est $G$-équivariant, si l'on fait agir $G$ sur le spectre de la manière naturelle, c'est-à-dire par $g ⋅ 𝔭=g(𝔭)$. diff --git a/chapitres/krull.tex b/chapitres/krull.tex index bf41a2f..9b3ed00 100644 --- a/chapitres/krull.tex +++ b/chapitres/krull.tex @@ -1,33 +1,13 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -%\usepackage{makeidx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant -%\usepackage{pxfonts} - -\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys} +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Théorie de Galois infinie} \externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder \externaldocument{categories} \externaldocument{entiers} \externaldocument{KAS} -%\makeindex - -\title{Théorie de Galois infinie} - \begin{document} \maketitle \tableofcontents @@ -74,7 +54,7 @@ distingué d'indice fini algébrique. \begin{démo} (i) Soit $H⊆G$ contenant $H'=G_{K\bo k'}$ où $k'\bo k$ est -finie. Quitte à agrandir $k'$ (\cad rétrécir $G_{K\bo k'}$), +finie. Quitte à agrandir $k'$ (c'est-à-dire rétrécir $G_{K\bo k'}$), on peut supposer que $k'\bo k$ est finie galoisienne. L'application composée $H/H'↪G/H' ⥲ \Gal(k'\bo k)$ @@ -106,7 +86,7 @@ les sous-groupes d'indice fini algébriques soient ouverts. \begin{définition2} On appelle \emph{topologie de Krull} sur $G$ la topologie -pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert \ssi +pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert si et seulement si pour tout $u∈U$ il existe un sous-groupe d'indice fini \emph{algébrique} $H_{u,U}$ de $G$ tel que $uH_{u,U}$ soit contenu dans $U$. @@ -126,7 +106,7 @@ que $U∩U'$ est ouvert. Enfin, remarquons qu'il n'y a pas de « nouveaux » sous-groupes ouverts : -un sous-groupe de $G$ est ouvert \ssi il est d'indice fini +un sous-groupe de $G$ est ouvert si et seulement si il est d'indice fini algébrique. Cela résulte immédiatement de la définition de la topologie et @@ -169,7 +149,7 @@ k}$ étant caractérisé par son action sur les $y_i$, le morphisme $G→\{±1\}^𝐍$, $g\mapsto (\frac{g(y_i)}{y_i})$ est injectif. D'autre part, pour tout $i∈𝐍$, le polynôme -$X²-y_i$ est irréductible (\cad : n'a pas de racine) sur +$X²-y_i$ est irréductible (c'est-à-dire : n'a pas de racine) sur $k(y_j, j≠i)$ (exercice). Il en résulte que pour toute partie finie $I⊆𝐍$, le corps $k(y_i,i∈I)$ est isomorphe @@ -237,7 +217,7 @@ de $K$ dans $K$ et munissons-le de la topologie produit où chaque facteur $K$ est muni de la topologie discrète. Montrons que l'injection canonique $G→K^K$, $g\mapsto (g(λ))_{λ∈K}$, est -continue, \cad que pour tout indice $λ∈K$, l'application +continue, c'est-à-dire que pour tout indice $λ∈K$, l'application composée $G→K^K\dessusdessous{\ev_λ}{→}K_λ$ est continue, où on note $\ev_λ$ l'« évaluation en $λ$ », projection @@ -315,7 +295,7 @@ réunion \emph{disjointe} des classes à gauche (ou à droite) de $H$ dans $G$ (resp. des classes à gauche différentes de $H$). Puisque les translations sont des homéomorphismes, -chaque classe est ouverte (resp. fermée) \ssi $H$ l'est. +chaque classe est ouverte (resp. fermée) si et seulement si $H$ l'est. Les énoncés (i—iii) résultent immédiatement de cette observation. \end{démo} @@ -488,7 +468,7 @@ constantes}\label{Spec(Hom(X,k))} Soient $X$ un espace topologique, $k$ un corps muni de la topologie discrète et -$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (\cad localement +$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (c'est-à-dire localement constantes) de $X$ dans $k$. Le morphisme d'évaluation en $x$, $\ev_x:f↦f(x)$, est une surjection de $A$ sur $k$. @@ -496,11 +476,11 @@ Son noyau $\{f∈A: f(x)=0\}$ est donc un idéal maximal de $A$, que nous noterons $\MM_x$. -\begin{proposition3}\label{Spec(Hom(X,k))} +\begin{proposition2}\label{Spec(Hom(X,k))} Si l'espace topologique $X$ est quasi-compact et totalement discontinu, l'application $X→\Spec(A)$, $x↦\MM_x$, est une bijection. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{démo} Puisque $X$ est totalement discontinu, l'application @@ -582,7 +562,7 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$. %Réduction au cas où $G$ est fini. %Cas où $G$ est fini. %Soient $𝔭,𝔭'$ deux idéaux de $A$ ayant même image dans -%$B=\Fix_G(A)$, \cad +%$B=\Fix_G(A)$, c'est-à-dire %tels que $𝔭⋂B=𝔭'⋂B=p$. Soit $x∈𝔭$ et considérons $y=∏_{g∈G} %g(x)$. Il est %$G$-invariant et appartient à $𝔭$ donc à $𝔭⋂B=𝔭'⋂B⊆𝔭'$. @@ -604,17 +584,17 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$. \subsection{Le groupe de Galois, muni de la topologie de Krull, est profini}\label{galois=profini} -Considérons une famille $\mc{E}$ +Considérons une famille $\mathscr{E}$ de sous-$k$-extensions galoisiennes $E\bo k$ -(finies ou non) \emph{exhaustive}, \cad telle que -$⋃_{E∈\mc{E}} E=K$. +(finies ou non) \emph{exhaustive}, c'est-à-dire telle que +$⋃_{E∈\mathscr{E}} E=K$. Supposons que, munie de la relation d'ordre définie par la relation d'inclusion des corps, cette famille soit \emph{filtrante à droite} : -pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mc{E}$, -il existe $E∈\mc{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$. +pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mathscr{E}$, +il existe $E∈\mathscr{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$. -Si $E$ et $E'$ sont dans $\mc{E}$, avec $E⊆E'$, la +Si $E$ et $E'$ sont dans $\mathscr{E}$, avec $E⊆E'$, la restriction à $E$ induit un morphisme surjectif $π_{E,E'}:G_{E'\bo k}↠G_{E\bo k}$. Notons $\lim_E G_{E\bo k}$ la limite de ce @@ -625,7 +605,7 @@ Ce morphisme est : \begin{itemize} \item injectif car tout élément non trivial de $G$ agit non trivialement sur un élément de $K$, -et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mc{E}$ +et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mathscr{E}$ qui le contient ; \item surjectif car toute famille compatible d'éléments $(g_E∈G_{E\bo k})$ se « recolle » @@ -633,7 +613,7 @@ en un automorphisme $g∈G_{K\bo k}$. \end{itemize} Ainsi, on a un isomorphisme de groupes abstraits : $$ -G ⥲ \lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}. +G ⥲ \lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}. $$ Supposons maintenant que les extensions $E∈ℰ$ soient @@ -645,13 +625,13 @@ la limite projective (des groupes de Galois des extensions sous-extensions finie galoisiennes de $K\bo k$). -Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$ +Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}$ séparé (car compact, cf. \ref{limite-compacts=compact}), -la bijection $G→\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$ est un +la bijection $G→\lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}$ est un homéomorphisme -\ssi elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2). +si et seulement si elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2). Par définition de la topologie de la limite, -il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mc{E}$ le +il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mathscr{E}$ le morphisme composé $G→\lim_E G_{E\bo k}→G_{E'\bo k}$ est continu. Puisque c'est un morphisme de groupes et que le but @@ -675,9 +655,9 @@ $a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto g(a)b∈K'\big)$ induit un isomorphisme de $K'$-algèbres $$ -K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\cont}(G,K'), +K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K'), $$ -où $\Hom_{\cont}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications +où $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications \emph{continues} de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et $K'$ de la topologie @@ -702,7 +682,7 @@ par translation à droite donc localement constante, et par conséquent continue car l'espace but est discret. -Notons $\mc{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions +Notons $\mathscr{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions \emph{finies galoisiennes} de $K$. La démonstration se fait par « passage à la limite » @@ -710,7 +690,7 @@ sur $E∈ℰ$. Commençons par démontrer l'affirmation suivante, qui est une variante -de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mc{E}$, +de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application $f_{E,K}:E⊗_k K'→\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ envoyant $e⊗b$ sur $\big(g\mapsto g(e)b\big)$ est un @@ -731,24 +711,25 @@ qui est $K'$-isomorphe à $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ par l'application $β:φ⊗b\mapsto (g\mapsto φ(g)b)$. La conclusion résulte de la commutativité du diagramme -$$ -\xymatrix{ -(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} & -\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K' -\ar[d]^{\beta} \\ -E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K') -} -$$ +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%$$ +%\xymatrix{ +%(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} & +%\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K' +%\ar[d]^{\beta} \\ +%E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K') +%} +%$$ -Pour tout $E∈\mc{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$ +Pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$ déduite de l'inclusion $E⊆K$ est injective (cf. \refext{Cat}{}). De plus, identifiant $E⊗_k K'$ à son image dans $K ⊗_k K'$, on a (cf. \refext{Cat}{}) : -$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mc{E}} E⊗_k K'.$$ +$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mathscr{E}} E⊗_k K'.$$ -D'autre part, pour tout $E∈\mc{E}$, l'application +D'autre part, pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→ \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$ @@ -756,7 +737,7 @@ est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$, on a : -$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mc{E}} +$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}} \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$ Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on souhaite @@ -764,9 +745,9 @@ montrer qu'elle se factorise à travers un quotient par un sous-groupe distingué ouvert de $G$. Comme remarqué plus haut, puisque $K'$ est discret, -une application de but $K'$ est continue \ssi elle est +une application de but $K'$ est continue si et seulement si elle est localement -constante \cad si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$ +constante c'est-à-dire si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$ de $G$ contenant $g$ tel que $f(U_g)=\{f(g)\}$. Puisque $G$ est un groupe topologique, on peut @@ -787,13 +768,14 @@ factorise donc par le groupe quotient $G/H$. CQFD. La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes -$$ -\xymatrix{ -K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\cont}(G,K') \\ -E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u] -} -$$ -pour chaque $E∈\mc{E}$. +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%$$ +%\xymatrix{ +%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K') \\ +%E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u] +%} +%$$ +pour chaque $E∈\mathscr{E}$. Le fait que cet isomorphisme soit $G$-équivariant est conséquence immédiate des définitions. @@ -803,10 +785,10 @@ conséquence immédiate des définitions. L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact, il résulte du résultat de \ref{Spec(Hom(X,k))} que le spectre de -$\Hom_{\cont}(G,K')$ est en bijection naturelle avec +$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec $G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$. On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$, -puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\cont}(G,K')→K'$ +puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')→K'$ correspond par l'isomorphisme de la proposition à l'application $a⊗b↦g(a)b$, @@ -847,7 +829,7 @@ de sorte que l'application $H\mapsto \Fix_H(K)$, de l'ensemble de \emph{tous} les sous-groupes de $G_{K\bo k}$ vers les sous-corps de $K$ n'est injective -que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, \cad si l'extension $K\bo +que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, c'est-à-dire si l'extension $K\bo k$ est finie. \end{miseengarde2} @@ -883,7 +865,7 @@ Le fait que $K\bo k'$ soit galoisienne n'est mis que pour mémoire. Soit $g$ un élément du sous-groupe \emph{fermé} $\Gal(K\bo k')$. -On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, \cad que pour +On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, c'est-à-dire que pour tout sous-groupe ouvert $U$ de $G$, l'intersection $H∩gU$ est non vide. Il suffit de le vérifier @@ -1052,12 +1034,12 @@ Cf. p. ex., Fontaine, cours à Orsay. \XXX On montre par Hilbert 90 que $\dim_k D(V)=\dim_{𝐅_p} V$. Pour la réciproque, on utilise le·: -\begin{lemme3} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$ +\begin{lemme2} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$ et $(a_{ij})∈\GL_d(K)$. Posons $P_i=X_i^p+∑_j a_{ij}X_j$ et $A=K[X₁,…,X_d]/(P₁,…,P_d)$. Alors, le $𝐅_p$-sous-espace vectoriel $A(K)$ de $K^d$ est de dimension finie $d$. -\end{lemme3} +\end{lemme2} \end{démo} Amplification. [Katz, «·p-adic properties of modular schemes diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 7cdc8dd..234e1bb 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -1,36 +1,9 @@ %%% vim: set textwidth=80: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/amsart} -\usepackage{palatino,euler} - -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\InputIfFileExists{.cv.tex}{}{} - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} -\usepackage{pifont} -\usepackage{mathtools} % pour mathrlap, cf. produit restreint - -\tikzset{column sep=3em,row sep=2em,text height=1.5ex, text depth=0.25ex} -\tikzset{description/.style={fill=white,inner sep=1pt}} - -\def\russe#1{\foreignlanguage{russian}{#1}} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} \title{Corps locaux, corps globaux} - \externaldocument{AC} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} @@ -42,22 +15,14 @@ \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} \externaldocument{AVD-Dedekind} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=4cm,right=4cm,marginpar=1.5cm,marginparsep=1cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - \begin{document} -\begin{center} -Corps locaux, corps globaux -\end{center} -\IfFileExists{.cv.tex}{\version}{} +\maketitle \tableofcontents \else -\chapter{corps locaux, corps globaux} +\chapter{Corps locaux, corps globaux} \fi -\renewcommand{\mod}{\mathrm{mod}} +\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathrm}{mod} \section{Corps locaux} @@ -465,12 +430,12 @@ $ν(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. Nécessairement, $μ(φ)=ν(φ)$ ; CQFD Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_G f ∘ φ^{-1} d μ$ est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre -réel $\mod(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$ ; il +réel $\module(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\module(φ) μ$ ; il ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction, -pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$. +pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\module(φ)μ(E)$. Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$ -— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat. +— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\module(φ)μ(G)$, d'où le résultat. Appliquant cette observation au cas des automorphismes intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable, on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$ @@ -524,12 +489,12 @@ Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$, on a \[ -\mod_G(φ)=\mod_{G/Γ}(φ)\mod_Γ(φ). +\module_G(φ)=\module_{G/Γ}(φ)\module_Γ(φ). \] Dans le cas particulier considéré ici, -on a $\mod_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret, -et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact, -d'où $\mod_G(φ)=1$. +on a $\module_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret, +et $\module_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact, +d'où $\module_G(φ)=1$. Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$, et imposant à $μ_Γ$ d'être — par exemple — la mesure de comptage, @@ -570,13 +535,13 @@ du paragraphe précédent. \subsubsection{}Soit $K$ un corps topologique localement compact, non discret. Fixons une mesure de Haar $μ$ sur le -groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\mod_K(x)$ +groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\module_K(x)$ le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif -de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie -mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$. +de $K$ : $μ(aX)=\module_K(a)μ(X)$ pour toute partie +mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\module_K(0)=0$. Dans cette section nous allons montrer comment construire une valeur absolue sur $K$ -à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue +à partir de $\module_K$ et démontrer un analogue du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet} dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}). Nous terminons par une démonstration du @@ -586,15 +551,15 @@ théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}. \begin{proposition2} \label{continuité de modK} -La fonction $\mod_K:K → 𝐑_+$ est continue et -satisfaisant l'égalité $\mod_K(ab)=\mod_K(a)\mod_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$. +La fonction $\module_K:K → 𝐑_+$ est continue et +satisfaisant l'égalité $\module_K(ab)=\module_K(a)\module_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$. \end{proposition2} Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret. \begin{démo} L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente : -$\mod(φ ∘ ψ)=\mod(φ) \mod(ψ)$ où $φ$ et $ψ$ +$\module(φ ∘ ψ)=\module(φ) \module(ψ)$ où $φ$ et $ψ$ sont deux automorphismes d'un groupe localement compact. Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$ @@ -604,11 +569,11 @@ Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$, dont l'existence est assurée par la continuité du produit. Pour chaque $x ∈ A$, on a : \[ -\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\mod_K(x) ≤ \mod_K(a)+ ε μ(C)^{-1}. +\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\module_K(x) ≤ \module_K(a)+ ε μ(C)^{-1}. \] -Il en résulte que la fonction $\mod_K$ est \emph{semi-continue +Il en résulte que la fonction $\module_K$ est \emph{semi-continue supérieurement}. En particulier, elle est continue en $0$ (où -elle atteint son minimum.) L'égalité $\mod_K(x)=\mod_K(x^{-1})^{-1}$ +elle atteint son minimum.) L'égalité $\module_K(x)=\module_K(x^{-1})^{-1}$ pour chaque $x ≠ 0$ montre qu'elle est aussi semi-continue inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue. \end{démo} @@ -621,20 +586,20 @@ En déduire que $K$ n'est pas compact. \subsubsection{} \label{compacité des Br} Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la -proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\mod_K(x) +proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\module_K(x) ≤ r\}$ est un voisinage fermé de $0$ dans $K$. Montrons qu'il est \emph{compact}. Soit $V$ un voisinage compact de $0$ et $W$ un voisinage ouvert de $0$ tel que $WV ⊆ V$. L'existence de $V$ résulte de la locale compacité de $K$ ; celle de $W$ de la continuité du produit $K×K → K$. -Le corps $K$ étant non discret et $\mod_K$ étant +Le corps $K$ étant non discret et $\module_K$ étant continue, il existe $x ∈ W ∩ V$ tel que -$0<\mod_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$ +$0<\module_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$ pour tout $n ≥ 1$. Nous allons montrer que $B_r$ est contenu dans une réunion finie d'ensembles $x^{-n}V$, $n ≥ 0$. Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite $(x^n)$. -Le réel $\mod_K(y)$ est valeur d'adhérence de la -suite $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$ +Le réel $\module_K(y)$ est valeur d'adhérence de la +suite $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$ est nul. Comme la suite $(x^n)$ appartient au \emph{compact} $V$, elle tend donc vers $0$. Ainsi, pour chaque $a ∈ K$, il existe $n ≥ 0$ — que l'on peut supposer minimal — @@ -645,9 +610,9 @@ Si $n>0$, $x^n a ∈ V-xV$. Soit $X$ l'adhérence de $V-xV$ ; c'est un compact, car fermé dans $V$, ne contenant pas $0$, car $xV$ en est un voisinage. Il en résulte qu'il existe $m_r>0$ -tel que $\mod_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$. -En particulier, $\mod_K(x^n a)=\mod_K(a) \mod_K(x)^n ≥ m_r$. -Comme $\mod_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\mod_K(x)<1$, +tel que $\module_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$. +En particulier, $\module_K(x^n a)=\module_K(a) \module_K(x)^n ≥ m_r$. +Comme $\module_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\module_K(x)<1$, l'entier $n$ est majoré indépendamment de $a$. CQFD. \subsubsection{} @@ -657,9 +622,9 @@ voisinage de $0$ dans $K$ : pour tout voisinage $V$ de $0$, il existe $r>0$ tel que $B_r ⊆ V$. Pour le montrer, on peut supposer $V$ compact (par locale compacité de $K$). Soit $ρ$ un réel strictement supérieur à la borne supérieure -de $\mod_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence +de $\module_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence de $B_ρ-V$. C'est un compact ne contenant pas $0$. Soit $σ$ -la borne inférieure de $\mod_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$. +la borne inférieure de $\module_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$. Considérons enfin $0<r<σ$ ; par construction, $B_r ∩ X= ∅$ et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$. @@ -667,23 +632,23 @@ et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$. \label{module est valeur absolue} Soit \[ -A_K=\sup_{\mod_K(x) ≤ 1} \mod_K(1+x) , +A_K=\sup_{\module_K(x) ≤ 1} \module_K(1+x) , \] le réel $ ≥ 1$ dont l'existence est assurée par la continuité -de la fonction $\mod_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité +de la fonction $\module_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité de $B_1$ (\ref{compacité des Br}). Pour toute paire $(x,y) ∈ K²$, on a l'inégalité \[ -\mod_K(x+y) ≤ A_K \max\{\mod_K(x),\mod_K(y)\} +\module_K(x+y) ≤ A_K \max\{\module_K(x),\module_K(y)\} \] et $A_K$ est le plus petit réel pour lequel ceci soit vrai. Pour vérifier l'inégalité, on peut supposer -$x ≠ 0$ et $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, auquel -cas on a $\mod_K(x+y)=\mod_K(1+yx^{-1}) \mod_K(x) ≤ A_K \mod_K(x)$ car -$\mod_K(yx^{-1})≤ 1.$ +$x ≠ 0$ et $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, auquel +cas on a $\module_K(x+y)=\module_K(1+yx^{-1}) \module_K(x) ≤ A_K \module_K(x)$ car +$\module_K(yx^{-1})≤ 1.$ \subsubsection{}Soit $f_K$ la fonction $𝐍 → 𝐑_+$, $n ↦ -\mod_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes : +\module_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item $f_K ≤ 1$ \item $A_K=1$. @@ -697,7 +662,7 @@ Vérifions l'équivalence ci-dessus. Une récurrence immédiate montre que (ii) Considérons la réciproque. Soient $r$ un entier et $n=2^r$. Par récurrence sur $r$, on a \[ -\mod_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \mod_K(x_i) +\module_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \module_K(x_i) \] pour tout choix d'éléments $x₁,…,x_n ∈ K$. Quitte à considérer des éléments nuls, cette inégalité @@ -710,18 +675,18 @@ où $x$ et $y$ sont des éléments quelconques de $K$ et la somme de gauche contient $2^r+1 ≤ 2^{r+1}$ termes, on obtient, grâce à l'hypothèse faite sur $f_K$, \[ -\mod_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\mod_K(x)^i \mod_K(y)^{2^r-i}\}. +\module_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\module_K(x)^i \module_K(y)^{2^r-i}\}. \] -Si $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, on en tire +Si $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, on en tire \[ -\mod_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \mod_K(x), +\module_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \module_K(x), \] et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite. \subsubsection{} \label{corps localement compacts archimédiens} Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}. -La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$ +La restriction du module $\module_K$ au sous-corps premier $𝐐$ est $|⋅|_∞^c$, où $|⋅|_∞$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel. D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnée par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br système @@ -741,25 +706,25 @@ sur corps valué complet}). \subsubsection{} \label{corps localement compacts ultramétriques} Soit $K$ un corps localement compact \emph{ultramétrique}. -Posons $𝒪=\{x ∈ K: \mod_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que +Posons $𝒪=\{x ∈ K: \module_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que nous notions $B₁$ précédemment. Il est donc compact. D'autre part, on a $𝒪+𝒪=𝒪$ car $K$ est ultramétrique. Ainsi, $𝒪$ est un sous-anneau compact de $K$ ; il est maximal -car — comme il résulte de la continuité de $\mod_K$ -et de la formule $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ — +car — comme il résulte de la continuité de $\module_K$ +et de la formule $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ — tout sous-ensemble relativement compact de $K$ -est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\mod_K(x)<1\}$ +est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\module_K(x)<1\}$ de $𝒪$ est un idéal ; il est maximal car tout élément de $x ∈ 𝒪-𝔭$ est de module $1$ donc d'inverse $x^{-1}$ dans $𝒪$. Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants de $𝒪$ modulo $𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts -disjoints $\{x ∈ K:\mod_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc +disjoints $\{x ∈ K:\module_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc fini ; le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ aussi. Le quotient $k$ étant fini donc séparé, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts -$\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$ -tel que $𝔭=\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$. La valeur -absolue $\mod_K$ est donc discrète : son +$\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$ +tel que $𝔭=\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$. La valeur +absolue $\module_K$ est donc discrète : son image est un sous-groupe discret de $𝐑_+$. Ainsi, $K$ est le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète de corps résiduel fini. @@ -776,7 +741,7 @@ En caractéristique nulle, on peut à nouveau considérer l'adhérence du corps $𝐐$ et utiliser \refext{AVD-D}{Ostrowki}). En caractéristique $p>0$, on peut remplacer $𝐐$ par le corps $ℚ=𝐅_p(ϖ)$ engendré par un élément $ϖ ∈ K$ tel -que $\mod_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant +que $\module_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant sur $𝐅_p$ sans quoi il serait une racine de l'unité, de module $1$. Utilisant \refext{AVD-D}{k-valuations de k(X)}, il en résulte que l'adhérence de $ℚ$ dans $K$ @@ -878,7 +843,7 @@ constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant un voisinage de l'origine, on se ramène par translation à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante. Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$ -d'après laquelle $\Hom_\cont(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$. +d'après laquelle $\Hom_{\mathrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$. Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$ tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie @@ -1003,9 +968,9 @@ du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser : si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$ -coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$. +coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \module 𝔪^r$. Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$, -l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$ +l'ensemble des relèvements de $x_n \module 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$ peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante, et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$ @@ -1194,7 +1159,7 @@ on a la généralisation suivante de pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$, l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour -tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$ +tout $g ∈ G$ (car $\module(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$ et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$ de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut @@ -1240,7 +1205,7 @@ dans $𝐙[1/ \sqrt{q}]$ si le niveau de $ψ$ est impair. Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$. Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$ telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait -$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient +$f_χ(x)=χ(x \module p)$, où l'on identifie naturellement le quotient $𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$ et on étend $χ$ à $𝐅_p$ en la prolongeant par zéro. On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité @@ -2565,7 +2530,7 @@ la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée}. En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$ est l'image du morphisme propre — donc fermé — composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et -du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$. +du morphisme propre $\pr₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$. \begin{proposition2} \label{discrétion et séparation quotient} @@ -2751,8 +2716,8 @@ craindre, le produit d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une immersion ouverte (continue) $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$. Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté -$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement -$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite +$\resprod_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement +$\resprod_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite \[(𝒳;\! 𝒱)_𝐀=\colim_{U ⊆ Σ} (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),\] où $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $Σ$. Ensemblistement, $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ Σ} ∈ ∏_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ tels que pour presque @@ -2982,7 +2947,7 @@ Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$. discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$ dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact. Cependant, si $U$ est \emph{affine} (\ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}), le morphisme diagonal -$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}. +$K → \resprod_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}. \commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...} \item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est un isomorphisme modulo les compacts. @@ -3099,7 +3064,7 @@ de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients} que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$. D'autre part, il résulte immédiatement de la construction de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite}) -que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$. +que $\module_K([×a])= ∏_x \module_{K_x}([×a])$. Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD. \end{démo} @@ -3144,7 +3109,7 @@ si pour chaque nombre premier $p$, $x_p$ désigne l'idèle de $𝐐$ dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$, la suite $x_p$ converge vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais pas dans $𝐐^×_𝐀$ -Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$, +Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \module_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$, n'est \emph{pas} continue pour la topologie adèlique, alors que sa restriction en $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ l'est — essentiellement par définition — pour la topologie idélique : si pour chaque entier $n$, $x_n$ désigne l'adèle de $𝐐$ tel que $x_{n,∞}=1$ et @@ -4027,8 +3992,8 @@ adélique}). \begin{enumerate} \item La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante du choix de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar -$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa}, -telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ soit le produit +$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$, dite \emph{mesure de Tamagawa}, +telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par la mesure de Haar normalisée sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$. @@ -4058,7 +4023,7 @@ forme $[×a]^*ψ$ (noté également $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il ré $+$}}_{ψ_a}$. (On montre également, en utilisant la formule $ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'égalité (iii) ne dépend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite -par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ sur le quotient $K_𝐀/K$ +par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ sur le quotient $K_𝐀/K$ soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration. \subsubsection{Formule d'inversion} @@ -4453,7 +4418,7 @@ et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 L'égalité locale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$ entraîne l'égalité \[ -μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁. +μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁. \] Le module $|d_ψ|$ ne dépendant pas du choix de $ψ$, on le note dorénavant $|d_K|$. @@ -4496,9 +4461,9 @@ Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K_𝐀$, notons ici $\sur{μ}$ l'unique mesure de Haar sur $K_𝐀/K$ telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients}) de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$. -Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$ +Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}(K_𝐀 ∕ K)=1$ (\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus -$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$ +$+$}}_{玉}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$ (\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a : \[ \sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K) @@ -5141,7 +5106,7 @@ Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$. Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$. \begin{enumerate} -\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction +\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{玉}$ est absolument convergente et définit une fonction holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime comme un produit « eulérien » absolument convergent \[ @@ -5253,8 +5218,8 @@ exactement $h_K>0$ diviseurs de degré $n$. Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble $$ -\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in -\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} +\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in +\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\} $$ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. \end{corollaire2} @@ -5279,7 +5244,7 @@ $𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$. \begin{théorème2}[Minkowski] Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$. \[ -\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}. +\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}. \] \end{théorème2} @@ -5305,7 +5270,7 @@ Admettons que $$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, $$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) - \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$ + \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$ il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. L'inégalité en résulte immédiatement. @@ -5402,7 +5367,7 @@ $$ Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, $\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc, -la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. +la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$, on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$. @@ -5487,7 +5452,7 @@ qui est égale à $\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})$ (cf. \ref{réécriture par $P$, on a $c_{2g-n}=q^{g-n}c_n$ pour chaque $0 ≤ n ≤ g$. Il en résulte que la fonction Zêta $Z=P (1-T)^{-1}(1-qT)^{-1}$ est déterminée par $c₁,…,c_g$. Or, l'égalité -$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \mod (T^{g+1})$ +$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \module (T^{g+1})$ montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 ≤ n ≤ g$. \end{démo} @@ -5573,7 +5538,7 @@ Il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients $λ_s$ sont non nuls et dans $K$, il existe deux indices distincts $s₁,s₂$ dans $S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′} -f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \mod q′$, ce qui +f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \module q′$, ce qui est exclu car $s₁$ et $s₂$ sont majorés par $N=q′ -1$. Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$ diff --git a/chapitres/omega.tex b/chapitres/omega.tex index 41fed71..fda3639 100644 --- a/chapitres/omega.tex +++ b/chapitres/omega.tex @@ -1,25 +1,9 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\synctex=1 -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} \title{Différentielles} - \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{formes-tordues} @@ -28,15 +12,8 @@ \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - \begin{document} -\begin{center} -Différentielles -\end{center} +\maketitle \tableofcontents \else \chapter{Différentielles} diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex index 298787a..f4ccca0 100644 --- a/chapitres/verselles.tex +++ b/chapitres/verselles.tex @@ -1,26 +1,9 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\synctex=1 - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -%\usepackage{makeidx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant -%\usepackage{pxfonts} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Équations verselles et petits degrés} \externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder \externaldocument{categories} \externaldocument{entiers} @@ -30,18 +13,8 @@ \externaldocument{formes-tordues} \externaldocument{cohomologie-groupes} \externaldocument{KASW} - -%\makeindex - -\setcounter{tocdepth}{1} - -\textwidth16cm -\hoffset-1.5cm - \begin{document} -\begin{center} -Équations verselles et petits degrés -\end{center} +\maketitle \tableofcontents \else \chapter{Équations verselles et petits degrés} @@ -57,7 +30,7 @@ contient strictement $k$ et est inclus dans $K$. Ainsi, la $k$-extension $K$ est isomorphe au quotient $k_f=k[X]/f$ où $f=X²-aX+b$ est un polynôme irréductible de degré deux. Par irréductibilité, le coefficient $b$ est nécessairement non nul. L'extension $K$ est séparable -\ssi le polynôme $f$ est séparable +si et seulement si le polynôme $f$ est séparable (\refext{Alg}{dec(f)-sep=>f-red-separable}), ce qui est le cas sauf si $\car(k)=2$ et $a=0$ (cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}). @@ -84,7 +57,7 @@ d'\emph{Artin-Schreier}\index{Artin-Schreier}, cf. \refext{KAS}{}.) En résumé, nous avons établi la proposition suivante. -\begin{proposition}\label{equation verselle C2} +\begin{proposition2}\label{equation verselle C2} \begin{enumerate} \item Soit $k$ un corps. Toute extension séparable de degré deux est galoisienne @@ -94,14 +67,14 @@ $X²-σX+1$ où $σ∈k$, de discriminant $σ²-4$ et de distinguant $(σ²-4)^{-1}$. \item Si $k$ est de caractéristique différente de deux, l'équation précédente se transforme en $X²-π$, -de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible \ssi +de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible si et seulement si $π∉k²$. \item Si $k$ est de caractéristique deux, l'équation précédente se transforme en $X²-X-a$, de $2$-distinguant $a$. -Un tel polynôme est irréductible \ssi $a∉℘k$. +Un tel polynôme est irréductible si et seulement si $a∉℘k$. \end{enumerate} -\end{proposition} +\end{proposition2} %idéalement, remplacer $℘$ par un $2$ sous une forme %spéciale. @@ -110,7 +83,7 @@ Les énoncés sur l'irréductibilité sont évidents et résultent d'ailleurs de \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}. -\begin{remarque} +\begin{remarque2} La proposition ci-dessus ne donne pas une description parfaite des extensions galoisiennes de degré deux : la famille @@ -121,13 +94,13 @@ les extensions $k_σ\bo k$ et $k_σ'\bo k$ peuvent $σ²<4$ et $𝐑_σ≃𝐑²$ dans le cas contraire.) L'équation ci-dessus est donc une équation « verselle » et non universelle. -\end{remarque} +\end{remarque2} \section{Extensions de groupe $C₃=𝐙/3$} Nous nous proposons d'exhiber une équation verselle (à un paramètre) -pour le groupe $C₃$, \cad une équation (à un paramètre) +pour le groupe $C₃$, c'est-à-dire une équation (à un paramètre) décrivant, de façon non nécessairement unique, les extensions galoisienne de groupe $C₃$ d'un corps $k$. @@ -221,14 +194,14 @@ racine d'un polynôme du type attendu (où $a=\frac{y³-3y+1}{y²-y}$). Il faut vérifier que, pour un choix convenable de $x$, $y_x$ engendre $K$ sur -$k$, \cad n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se +$k$, c'est-à-dire n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se réécrit $σ(y)=y$ ou encore $y(1-y)=1$, équation ayant au plus deux solutions dans $K$. Or, si $1,α,β$ est une $k$-base de $K$, les quantités $y_α,y_β$ et $y_{α+β}$ sont deux à deux distinctes. -En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, \cad +En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, c'est-à-dire \[ \frac{α-σ²(α)}{α-σ(α)}=λ=\frac{β-σ²(β)}{β-σ(β)}, \] @@ -326,18 +299,18 @@ En résumé, on a démontré la proposition suivante : Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b$ un polynôme irréductible séparable sur $k$. Le groupe de Galois du polynôme $f$ est cyclique d'ordre -trois \ssi +trois si et seulement si le polynôme $Y²+3bY+(a³+9b²)$ est scindé sur $k$. \end{proposition2} \begin{remarque2}\label{ce n'est pas une coincidence} Il résulte des formules \refext{CG}{} que \[ -\japmath{別}(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²} +別(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²} \] et \[ -\japmath{別}(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}. +別(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}. \] La somme des deux racines du polynôme quadratique est $3b$, où $b≠0$ @@ -380,12 +353,12 @@ $k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$. \begin{enumerate} \item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique -d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est +d'ordre quatre si et seulement si $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est de la forme $εc²$ pour un $c∈k^×$. \item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre -quatre \ssi $ε$ est une somme +quatre si et seulement si $ε$ est une somme de deux carrés dans $k$. \end{enumerate} \end{théorème2} @@ -520,7 +493,7 @@ carrées (usuelles) par des racines $\root℘\of{}$. \begin{exercice2} Déduire du théorème précédent qu'un polynôme $X⁴+AX²+B$ est de groupe de Galois isomorphe -à $C₄$ \ssi $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$. +à $C₄$ si et seulement si $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$. \end{exercice2} \begin{exercice2} @@ -535,7 +508,7 @@ de $X$ sur $𝐐(T)$ est X⁴-TX³+6X²+TX+1=0 \] \item Montrer que l'équation ci-dessus est verselle -\ssi $-1$ est un carré dans $k$. +si et seulement si $-1$ est un carré dans $k$. \end{enumerate} \end{exercice2} @@ -556,7 +529,7 @@ on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$. \begin{enumerate} \item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique -d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est +d'ordre quatre si et seulement si $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est de la forme $ε+℘(c)$ pour un $c∈k$. \item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge @@ -639,7 +612,7 @@ $W_{r+1}(k)/℘W_{r+1}(k)↠W_{r}(k)/℘W_{r}(k)$ Déduire du théorème précédent qu'un polynôme $X⁴+aX²+bX+c$ est de groupe de Galois isomorphe -à $C₄$ \ssi $...$ et $...$. \XXX +à $C₄$ si et seulement si $...$ et $...$. \XXX \end{exercice2} \section{¶ Extensions de groupe quaternionique} @@ -1186,7 +1159,7 @@ $\Hom_k(k[𝐇_k],A)$ est naturellement isomorphe à l'ensemble $𝐇(A)$ est quaternions à coefficients dans $k$. (En d'autres termes, l'algèbre $k[𝐇_k]$ \emph{représente} (cf. \refext{Categ}{}) le \emph{foncteur} -$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{\japmath{田}}$.) +$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{田}$.) De même $\Hom_k(k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}],A) ⥲ 𝐇^×(A)$. Remarquons que les anneaux $k[𝐇^×]:=k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}]$ et $k[𝐇_k]$ ont même corps des fractions de sorte qu'il suffit @@ -1366,7 +1339,7 @@ Signalons la caractérisation suivante des bases normales. \begin{proposition2}\label{caracterisation base normale} Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ et $x∈K$. Les éléments $g(x)$, où $g$ parcourt $G$, -forment une base de $K$ sur $k$ \ssi le déterminant +forment une base de $K$ sur $k$ si et seulement si le déterminant $\det\big(g′g(x)\big)_{(g ′,g)∈G²}$ est non nul. \end{proposition2} @@ -1419,7 +1392,7 @@ g^{-1}(λ)μ \,e_{g})$ (produit dans $K[G]$). Ce produit est $y=∑_g g^{-1}(λ) \begin{proposition2}\label{pleine-fidelite-cb} Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension, $A$ une $k$-algèbre non nécessairement commutative et $A_K$ le produit tensoriel $A⊗_k K$. Deux $A$-modules à gauche $M₁$ et $M₂$ -\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes \ssi $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k +\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes si et seulement si $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k K$ sont $A_K$-isomorphes. \end{proposition2} @@ -1432,7 +1405,7 @@ Ceci est suffisant pour démontrer le théorème de la base normale car tout gro d'une extension finie de corps finis est cyclique. \begin{démo} -Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ \cad tels +Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ c'est-à-dire tels qu'il existe un $A_K$-isomorphisme ${M₁}_K≃{M₂}_K$. Nécessairement $\dim_k(M₁)=\dim_k(M₂)$ car $\dim_k(M_i)=\dim_K({M_i}_K)$ pour chaque $i∈\{1,2\}$. Soit $V=\Hom_A(M₁,M₂)$ ; c'est un sous-$k$-espace vectoriel de @@ -1547,9 +1520,9 @@ les extensions de groupe $G$. \end{théorème2} Rappelons que l'ensemble des $k$-morphismes de $BG$ vers une $k$-algèbre -$T$ est noté $BG^\japmath{田}(T)$. Le théorème précédent +$T$ est noté $BG^田(T)$. Le théorème précédent affirme donc que toute extension galoisienne de $K$ de groupe -$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^\japmath{田}(K)$ +$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^田(K)$ des \emph{$K$-points de $BG$}. Le choix des notations provient de la topologie, où l'on note souvent $BG$ les espaces dit « classifiants » et $EG$ le « $G$-torseur universel » @@ -1569,12 +1542,15 @@ Le morphisme composé $k[x_g:g∈G] ↪ K[x_g:g∈G] → L$ s'étend donc, de façon unique, en un $k$-morphisme $EG → L$. Par construction, ce morphisme est $G$-équivariant ; il s'insère donc dans un diagramme commutatif -\[ -\xymatrix{ -L & EG \ar[l] \\ -K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l] -} -\] + +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%\[ +%\xymatrix{ +%L & EG \ar[l] \\ +%K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l] +%} +%\] + On utilise ici le fait que $\Fix_G(L)=K$. Par propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, le morphisme $EG → L$ se factorise en @@ -1593,7 +1569,7 @@ est un isomorphisme. Soient $G$ un groupe abélien et $k$ un anneau. Le foncteur $k\traitdunion\Alg→\Ens$, associant à une $k$-algèbre $A$ l'ensemble $\Hom_{\Ens}(G,A)=A^{(G)}$ est représentable par la $k$-algèbre $CG=k[x_g:g∈G]$. En effet, l'application -\[CG^\japmath{田}(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\] +\[CG^田(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\] envoyant un morphisme $φ $ sur la fonction $f_φ: g↦φ(x_g)$ est une bijection fonctorielle en $A$. Pour chaque $A$, les ensembles $\Hom_{\Ens}(G,A)$ @@ -1602,13 +1578,13 @@ donnée par le \emph{produit de convolution} : \[(f⋆f')(h)=∑_{gg'=h}f(g)f'(g').\] Cette $k$-algèbre n'est autre que l'algèbre de groupe $A[G]$. Le produit $A[G]×A[G]→A[G]$, pour $A$ variable, correspond donc à un morphisme de foncteurs -\[CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}.\] Par +\[CG^田×CG^田→CG^田.\] Par définition du produit tensoriel, le foncteur « produit cartésien » -$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}$ envoyant -$A$ sur $CG^\japmath{田}(A)×CG^\japmath{田}(A)$ est représentable +$CG^田×CG^田$ envoyant +$A$ sur $CG^田(A)×CG^田(A)$ est représentable par le produit tensoriel $CG ⊗_k CG$. D'après le lemme de Yoneda, le morphisme de foncteurs -$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}$, +$CG^田×CG^田→CG^田$, déduit du produit de convolution, correspond à un morphisme de $k$-algèbres dans l'autre sens : \[ @@ -1702,15 +1678,15 @@ tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble à $n$ éléments $μ$), lui-même isomorphe à l'algèbre $k[T_ζ^{±1}: ζ ∈ μ]$. Soit $ζ ∈ μ$ une racine primitive. La projection $\pr_ζ:\Gm^μ→\Gm$ induit, via l'isomorphisme -$E_n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs -$E_n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant +$E_n^田 ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs +$E_n ^田→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant si l'on fait agir $\sur{i} ∈ 𝐙/n$ sur $\Gm$ par multiplication par la puissance $ζ^{\sur{i}}$ de $ζ$. Le morphisme composé -de foncteurs $E _n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$ +de foncteurs $E _n ^田→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^田$ étant $𝐙/n$-équivariant, où le second $\Gm$ est muni de l'action triviale, il se factorise -à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^\japmath{田}→ B_n -^\japmath{田}$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$. +à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^田→ B_n +^田$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$. Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E_n$ correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source : son image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes @@ -1721,12 +1697,14 @@ Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$, où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème \ref{base normale géométrique} se complète donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres -\[ -\xymatrix{ -L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\ -K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n} -} -\] + +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%\[ +%\xymatrix{ +%L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\ +%K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n} +%} +%\] L'extension $k[X^{±1}] → k[X^{±1}]$, $X ↦ X^n$ est galoisienne de groupe $𝐙/n$ (\refext{CG}{revêtement @@ -1764,13 +1742,13 @@ a₀+a₁X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1} \mod X^p ∈ (A[X]/(X^p))^×↦ \frac{a₁}{a sont $𝐙/p$-équivariants, où $𝐙/p$ agit par multiplication par $1+X$ sur $(A[X]/(X^p))^×$ et par translation par $1$ sur $A$. Ils définissent un morphisme de foncteurs -$E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$, +$E_{[1]}^{田}→\Ga=k[Y]^{田}$, où l'on écrit $E_{[1]}$ pour $E(𝐙/p¹)$. Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$, -le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga +le morphisme composé $E_{[1]}^{田}→\Ga \dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme -$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$. +$B_{[1]}^{田} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$. En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda — un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$. |