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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index a870a9b..0de9a31 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -253,7 +253,7 @@ Radon $μ$ sur $∏_{s ∈ Σ} X_s$ telle que \label{mesure des ensembles} On fait le lien avec la théorie de Lebesgue de la mesure en posant, pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(𝟭_E) ∈ \sur{𝐑}_+$, -où $\mathbf{1}_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \textbf{mesure extérieure} +où $𝟭_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \textbf{mesure extérieure} de l'ensemble $E$. Elle coïncide avec la borne inférieure des mesures extérieures des ouverts contenant $E$. (Noter que la fonction caractéristique d'un ouvert est @@ -885,10 +885,10 @@ Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$ tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie \[ -f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^e}. +f=∑_{i=1}^r c_i 𝟭_{x_i+𝔪^e}. \] On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité -à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$. +à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(𝟭_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$. On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar à multiplication par une constante non nulle près. @@ -3356,7 +3356,9 @@ le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$. \newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}} \renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits} -\subsubsection{}Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert +\subsubsection{} +\label{définition diviseur} +Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$, c'est-à-dire une partie cofinie de l'ensemble $X$ des places ultramétriques de $K$. Notons $\Div(U)$ le groupe abélien $⨁_{u ∈ U} 𝐙$ des @@ -3970,7 +3972,7 @@ les fonctions $f_x$ sont dans $𝒮(K_x)$ et presque toutes La formule d'inversion globale résulte donc, par linéarité, des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)). -\subsubsection{Formule de Poisson : convergence} +\subsubsection{Formule de Poisson : convergence normale sur les compacts} \label{lemme de convergence normale sur compacts} \newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}} Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$. @@ -4063,8 +4065,8 @@ On peut donc écrire, dans cet espace, \[ F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x}, \] -où $\chap{X}$ désigne l'ensemble des caractères continus $\{\chap{x}\}$ de $X$ -(à valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)$ +où $\chap{X}$ désigne l'ensemble des caractères continus $\chap{x}$ de $X$ +(à valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)=⟨F,\chap{x}⟩_{L²(X,μ′_X)}$ appartient à $ℓ²(\chap{X})$. Nous allons montrer que cette famille appartient à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente @@ -4077,16 +4079,16 @@ l'égalité qui s'avère être l'égalité désirée (\emph{a priori} à une constante multiplicative près). Calculons : \[ -c_{\chap{x}}(F) := ⟨F,\chap{x}⟩_{L²(X,μ′_X)} +c_{\chap{x}}(F) =∫_X F(x) \sur{\chap{x}(x)} d μ′_X(x) =v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ_G(g) =:v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}), \] -où l'avant-dernière égalité est conséquence +où la seconde égalité est conséquence de \ref{module et mesure quotients} — car on a choisi la mesure de comptage sur $Γ$ —, et la dernière est une définition du terme de droite. Appliquons ce qui précède lorsque $μ$ est la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ associée -à un caractère non trivial $ψ$. D'après d'après \ref{dual des classes de adèles}, +à un caractère non trivial $ψ$. D'après \ref{dual des classes de adèles}, chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour un unique $λ ∈ K$ et, par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a $ℱ_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)$. @@ -4120,63 +4122,62 @@ notes à la fin. \XXX \label{définition classe canonique} Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes, -de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial -de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x n(ψ_x) ⋅ x$, +de cardinal $q$, et $X$ l'ensemble des places. +Pour chaque caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial +de $K_𝐀\bo K$, considérons le diviseur $\div(ψ)=∑_x n(ψ_x) ⋅ x$, où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}). -Il résulte de \ref{dual des classes de adèles}, -de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$ -et de \ref{définition Pic} que la classe -de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle +Il résulte de la dualité de Pontrâgin (\ref{dual des classes de adèles}), +de la formule triviale $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$, et de la formule des résidus +(\ref{formule du produit additive}) que la classe de $\div(ψ)$ +dans le groupe de Picard $\Pic(X)$ est bien définie ; on l'appelle \emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la notera $𝔠$. \subsubsection{} \label{Poisson implique RR} -Considérons la fonction caractéristique $\mathbf{1}=⊠′ _x \mathbf{1}_{𝒪_x}$ -(cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}=∏_x -𝒪_x$ des adèles entiers de $K_𝐀$. -Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a +Appliquons la formule de Poisson-Riemann-Roch (\ref{Fourier adélique}, +\ref{Poisson-Riemann-Roch}) à la fonction +caractéristique, notée ici $𝟭$, du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}$. +Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K_𝐀 ∕ K$. +Il résulte des formules locales \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a l'égalité : \[ -ℱ_ψ(\mathbf{1}) -= ⊠′_x \big( q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big) -= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}. +ℱ_ψ(𝟭) += \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x q_x^{-½n(ψ_x)} 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} += q^{-½\deg(𝔠)} \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}. \] -Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement +Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$. +Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$ +(dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts}, +a déjà été observée en \ref{finitude K inter O sur a}), +n'est autre que l'ensemble \[ -∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big), +L(𝔞):=\{f ∈ K: \div(f) ≥ - 𝔞\}, \] -la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}. -Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ n'est autre que l'ensemble -des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur -$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$. -(Prendre garde au signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$ -sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$. - -De même, +où $\div(f)=∑_x x(f)x$ est le diviseur d'une fonction $f ∈ K^×$ (\ref{définition diviseur}) +et, par convention, $\div(0) ≥ -𝔞$. +Notons \[ -∑_{λ ∈ K} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(λ/i)= \# \{ λ ∈ K: -\div(λ) ≥ 𝔞-𝔠\}=\# L(𝔠-𝔞). +l(𝔞)=\dim_k L(𝔞) \] - -Appliquant la formule \ref{Poisson-Riemann-Roch} du théorème \ref{Fourier adélique} -à la fonction $𝟭$ et à l'idèle $ι$ et constatant que -$|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, on obtient -l'égalité +la dimension (finie) sur $k$ de $L(𝔞)$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$. +Pour chaque $f ∈ K$, on a $\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(f/ι)=1$ +si et seulement si $f ∈ L(𝔠-𝔞)$. Compte tenu +de l'égalité $|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, la formule de Poisson-Riemann-Roch appliquée +à $𝟭$ et $ι$ se réécrit \[ q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-½\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}. \] - -Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$ étant +Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic(X)$ étant de la forme $\div(ι)$ pour un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on en déduit le théorème fondamental suivant. \begin{théorème2}[Riemann-Roch] \label{Riemann-Roch} Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$}, -$k$ son corps des constantes, et $𝔠 ∈ \Pic_K$ -la classe canonique. Pour tout classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$, -on a l'égalité +$k$ son corps des constantes, et $𝔠$ la classe canonique +définie en \ref{définition classe canonique}. +Pour tout classe de diviseur $𝔞$, on a l'égalité \[ l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-g+1, \] @@ -4187,10 +4188,6 @@ l(𝔞)=\dim_k \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}. \] \end{théorème2} -La principale application que nous ferons de ce théorème -est la démonstration de la rationalité de la fonction -zêta d'une courbe algébrique sur un corps fini, cf. -\emph{infra}. \begin{remarque2} Le théorème précédent est valide sous des hypothèses plus @@ -4202,11 +4199,19 @@ semblable à celle suivie ici. % cas général… ? \XXX \end{remarque2} +\begin{remarque2} +La principale application que nous ferons de ce théorème +est la démonstration de la rationalité de la fonction +zêta d'une courbe algébrique sur un corps fini, cf. \emph{infra}. \XXX +\end{remarque2} + \begin{exemple2} -\label{genre droite affine} -$g_{𝐅_p(t)}=0$. On a vu que $\div(ψ_{𝐤_𝐀})=-2⋅∞$.\XXX -% cf. p. ex Rosen, p. 49 -% via forme différentielle ou bien calcul fonction zêta ;) +\label{genre droite projective} +Soit $p$ un nombre premier. Le genre du corps $𝐅_p(t)$ des fractions +rationnelles est \emph{nul}. +En effet, le diviseur $𝔠=\div(ψ_{𝐤_𝐀})$ du caractère +additif construit en \ref{caractères additifs kA} est $-2⋅∞$ ; en +particulier, son degré est $-2$ et le genre $g=½\deg(𝔠)+1$ est nul. \end{exemple2} \begin{corollaire2} @@ -4214,6 +4219,14 @@ $g_{𝐅_p(t)}=0$. On a vu que $\div(ψ_{𝐤_𝐀})=-2⋅∞$.\XXX Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$. \end{corollaire2} +\begin{démo} +D'après le théorème de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}), +il suffit de montrer que $l(𝔠-𝔞)=0$ si $\deg(𝔞)>\deg(𝔠)$ ou +encore, de façon équivalente, que $l(𝔞)=0$ si $\deg(𝔞)<0$. +Or, si $f ∈ L(𝔞)-\{0\}$ pour un tel idéal, on a $\div(f) + 𝔞 ≥ 0$, +d'où $\deg(𝔞)=\deg(\div(f)+𝔞)≥ 0$. Absurde. +\end{démo} + \begin{corollaire2} \label{existence de fonctions ayant pôles imposés} Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble @@ -4382,7 +4395,7 @@ Elle s'obtient à partir de son analogue local par produit. Cette formule est également valable dans le cas des corps de nombres si l'on considère la fonction \[ -𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠ +𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠ \big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) \] Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place @@ -4842,7 +4855,7 @@ Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$. Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à la fonction \[ -𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠ +𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠ \big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) \] considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations |