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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-09 14:50:35 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-09 14:50:35 +0100
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[calculs] Définition et calcul de transformations de Tschirnhaus.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex77
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index 8ed1a36..4bcb419 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -507,6 +507,83 @@ seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans
$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
+\subsection{Transformations de Tschirnhaus}
+
+\begin{definition2}\label{definition-transformation-de-tschirnhaus}
+Soit $P \in k[X]$ un polynôme unitaire irréductible et séparable à
+coefficients dans un corps $k$, dont on notera $k(x) = k[X]/(P)$ le
+corps de rupture (où $x$ désigne la classe dans $k[X]/(P)$ de
+l'indéterminée $X$). On appelle \emph{transformation de Tschirnhaus}
+sur $P$ un élément primitif (i.e., de degré $\deg P$) de $k(x)$, qu'on
+représentera sous la forme $U(x)$ avec $U \in k[X]$ un polynôme
+(considéré modulo $P$) qui sera souvent par abus de langage identifié
+avec la transformation de Tschirnhaus. Le polynôme minimal de $U(x)$
+sur $k$ (dont le degré est, par hypothèse, le même que $P$) sera
+qualifié de polynôme obtenu à partir de $P$ par la transformation de
+Tschirnhaus définie par $U$.
+
+Si $U$ est une fraction rationnelle dont le dénominateur est premier
+avec $P$, on pourra aussi considérer $U$ comme définissant une
+transformation de Tschirnhaus sur $P$ comme l'élément $U(x)$ (à
+condition que celui-ci soit primitif).
+\end{definition2}
+
+\begin{exemples2}
+Soit $P = X^3 - 2 \in \QQ[X]$, dont on note $\root3\of2$ la racine
+dans le corps de rupture. Le polynôme $U = X+1$ définit une
+transformation de Tschirnhaus sur $P$ car $\root3\of2 + 1$ est encore
+de degré $3$ sur $\QQ$ : son polynôme minimal est $Q = (X-1)^3-2 = X^3
+- 3X^2 + 3X - 3$ (c'est donc le polynôme obtenu à partir de $P = X^3 -
+2$ par la transformation de Tschirnhaus définie par $U = X + 1$). Le
+polynôme $U = X^2$ définit lui aussi une transformation de Tschirnhaus
+sur $P$ : le polynôme minimal de $\root3\of4$ est $Q = X^3 - 4$, qui
+est donc le polynôme obtenu à partir de $P = X^3 - 2$ par la
+transformation de Tschirnhaus définie par $U = X^2$. La fraction
+rationnelle $U = \frac{1}{X}$ définit encore une transformation de
+Tschirnhaus sur $P$, qui transforme ce dernier en $Q = X^3 -
+\frac{1}{2}$. En revanche, le polynôme $X^3 + 1$ ne définit pas une
+transformation de Tschirnhaus sur $P$, car $(\root3\of2)^3 + 1 = 3 \in
+Q$.
+\end{exemples2}
+
+La notion de transformation de Tschirnhaus est en elle-même peu
+intéressante puisqu'elle coïncide exactement avec la notion d'élément
+primitif d'un corps de rupture. Elle le devient un peu plus en raison
+des observations suivantes :
+
+\begin{remarques2}
+Donné un polynôme $P \in k[X]$ unitaire irréductible et séparable, et
+un polynôme $U \in k[X]$, on dispose d'un \emph{algorithme} permettant
+de déterminer si $U$ définit une transformation de Tschirnhaus
+sur $P$, et le cas échéant de calculer le polynôme transformé, dès
+lors que les opérations arithmétiques et l'égalité dans $k$ sont
+décidables. En effet, pour déterminer si $U$ définit une
+transformation de Tschirnhaus, on peut par exemple écrire les
+coefficients des $n$ quantités $1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg
+ P-1}$ sur la base évidente $1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$ de $k(x) =
+k[X]/(P)$ (ceci se fait en effectuant des divisions euclidiennes des
+différentes puissances de $U$ par $P$), et chercher si la matrice
+ainsi définie est inversible, ce qui revient à calculer un
+déterminant ; si c'est le cas, le polynôme minimal $Q$ de cette
+matrice, qui est alors égal à son polynôme caractéristique puisque les
+deux sont de même degré $\deg P$ (et il peut donc se calculer lui-même
+comme un déterminant) constitue le polynôme transformé : de façon
+équivalente, on peut l'obtenir en exprimant $U(x)^{\deg P} \in k(x)$
+sur la base $1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg P-1}$ (le polynôme
+$Q$ est alors le polynôme unitaire de degré $\deg P$ dont l'annulation
+en $U(x)$ exprime cette relation).
+
+D'autres présentations, équivalentes en théorie mais éventuellement
+différentes en complexité algorithmique, sont aussi possibles : par
+exemple, le polynôme $Q(Y)$ peut se calculer comme le résultant de
+$P(X)$ et de $Y - U(X)$ comme polynômes de la variable $X$ (et la
+condition que $U$ définisse effectivement une transformation de
+Tschirnhaus se traduit par le fait que le résultant en question soit
+séparable), ce qui permet de remplacer les déterminants par des
+résultants et d'utiliser des techniques spécifiques à eux comme
+l'algorithme du sous-résultant.
+\end{remarques2}
+
\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du