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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-15 15:48:14 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-15 15:48:14 +0100 |
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[Radicaux] Algorithme de calcul des expressions des racines en radicaux: cas de la caractéristique 0 sans hypothèse de racines de l'unité.
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 42 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index b853aba..5fbdf53 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1559,7 +1559,10 @@ k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est le corps de décomposition de $f$, et le groupe $G$ des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ laissant $J$ invariant est le groupe de Galois de $f$. On sait effectuer algorithmiquement des calculs dans $E$, et on sait naturellement faire agir $G$ sur ses -éléments (puisqu'il s'agit simplement de permutations des $Z_i$). +éléments (puisqu'il s'agit simplement de permutations des $Z_i$). En +réalité, dans ce qui suit, nous n'aurons pas besoin du fait que $G$ +soit exactement le groupe de Galois de $f$, il suffira qu'il le +contienne. On supposera que $k$ contient les racines $N$-ièmes de l'unité, où $N$ est tel que $g^N = 1$ pour tout $g \in G$ (et dès lors que $k$ @@ -1618,10 +1621,10 @@ déterminations des racines $m$-ièmes. Pour pouvoir réaliser ce choix, il faut, lorsqu'on réalise le corps de décomposition de $f$ comme $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$, choisir en même temps un plongement compatible dans $\CC$, c'est-à-dire trouver une numérotation des racines -complexes $\zeta_1,\ldots,\zeta_d$ de $f$ telles que toutes les -relations engendrant $J$ soient satisfaites pour cette numérotation -(ou inversement, choisir l'idéal $J$ premier contenant $I$ qui soit -compatible avec la numérotation préalablement choisie des $\zeta_i$). +complexes $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$ telles que toutes les relations +engendrant $J$ soient satisfaites pour cette numérotation (ou +inversement, choisir l'idéal $J$ premier contenant $I$ qui soit +compatible avec la numérotation préalablement choisie des $\xi_i$). Ceci permet, à chaque étape de l'algorithme, d'obtenir une valeur complexe approchée des éléments de $E$ qui apparaissent, et donc, quand il s'agit d'extraire une racine $m$-ième de $a$, de choisir @@ -1629,6 +1632,35 @@ l'écriture $\zeta^t \root m\of a$ qui fait intervenir la détermination principale complexe. \end{remarque2} +\subsubsection{Cas de caractéristique $0$ sans hypothèse de racines de l'unité} +Supposons maintenant relaxée l'hypothèse que le corps de base $k$ +possède assez de racines de l'unité. + +On peut se ramener au cas précédent en introduisant le corps $k' = +k(\zeta)$ où $\zeta$ est une racine $N$-ième de l'unité avec $N$ +choisi de sorte que $g^N = 1$ pour tout $g$ dans le groupe de Galois +de $f$ sur $k$ (ou, dans le pire cas, $\ppcm(1,2,\ldots,d)$). Pour +cela, on factorise le $N$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_N$ sur $k$, +on en choisit un facteur irréductible $\chi$ quelconque, et on appelle +$k'$ le corps de rupture (qui est aussi corps de décomposition) de +$\chi$ sur $k$ : manifestement, on sait effectuer des calculs +dans $k'$, et on sait aussi factoriser des polynômes sur $k'$ car \XXX +\textcolor{Magenta}{[il faut décider où expliquer ce fait : pour + l'instant, il est prévu dans le chapitre « Calculs », mais ce + n'est pas forcément idéal]}. Soulignons que le groupe de Galois +de $f$ sur $k'$ peut très bien être strictement plus petit que sur $k$ +(lorsque $k'$ et $\dec_k(f)$ ne sont pas linéairement disjoints). + +Plutôt que de travailler sur le corps $k'$, on peut préférer +travailler toujours sur $k$ : ceci peut se faire en ajoutant une +nouvelle indéterminée $\Omega$ (qui représentera une racine $N$-ième +de l'unité) et la relation $\Phi_N(\Omega)$ dans l'idéal $I$ : en +trouvant comme précédemment un idéal $J$ premier contenant $I$, le +corps $E = k[Z_1,\ldots,Z_d,\Omega]/J$ sera alors le corps de +décomposition de $\Phi_N \times f$ sur $k$, c'est-à-dire le corps de +décomposition de $f$ sur $k'$. Le choix de $J$ équivaut ici au calcul +du groupe de Galois de $f$ sur $k'$. + \ifx\danslelivre\undefined |