[Radicaux] Algorithme de calcul des expressions des racines en radicaux: cas de la caractéristique 0 sans hypothèse de racines de l'unité.

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index b853aba..5fbdf53 100644
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@@ -1559,7 +1559,10 @@ k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est le corps de décomposition de $f$, et le
 groupe $G$ des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ laissant $J$ invariant
 est le groupe de Galois de $f$.  On sait effectuer algorithmiquement
 des calculs dans $E$, et on sait naturellement faire agir $G$ sur ses
-éléments (puisqu'il s'agit simplement de permutations des $Z_i$).
+éléments (puisqu'il s'agit simplement de permutations des $Z_i$).  En
+réalité, dans ce qui suit, nous n'aurons pas besoin du fait que $G$
+soit exactement le groupe de Galois de $f$, il suffira qu'il le
+contienne.
 
 On supposera que $k$ contient les racines $N$-ièmes de l'unité, où $N$
 est tel que $g^N = 1$ pour tout $g \in G$ (et dès lors que $k$
@@ -1618,10 +1621,10 @@ déterminations des racines $m$-ièmes.  Pour pouvoir réaliser ce choix,
 il faut, lorsqu'on réalise le corps de décomposition de $f$ comme
 $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$, choisir en même temps un plongement compatible
 dans $\CC$, c'est-à-dire trouver une numérotation des racines
-complexes $\zeta_1,\ldots,\zeta_d$ de $f$ telles que toutes les
-relations engendrant $J$ soient satisfaites pour cette numérotation
-(ou inversement, choisir l'idéal $J$ premier contenant $I$ qui soit
-compatible avec la numérotation préalablement choisie des $\zeta_i$).
+complexes $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$ telles que toutes les relations
+engendrant $J$ soient satisfaites pour cette numérotation (ou
+inversement, choisir l'idéal $J$ premier contenant $I$ qui soit
+compatible avec la numérotation préalablement choisie des $\xi_i$).
 Ceci permet, à chaque étape de l'algorithme, d'obtenir une valeur
 complexe approchée des éléments de $E$ qui apparaissent, et donc,
 quand il s'agit d'extraire une racine $m$-ième de $a$, de choisir
@@ -1629,6 +1632,35 @@ l'écriture $\zeta^t \root m\of a$ qui fait intervenir la détermination
 principale complexe.
 \end{remarque2}
 
+\subsubsection{Cas de caractéristique $0$ sans hypothèse de racines de l'unité}
+Supposons maintenant relaxée l'hypothèse que le corps de base $k$
+possède assez de racines de l'unité.
+
+On peut se ramener au cas précédent en introduisant le corps $k' =
+k(\zeta)$ où $\zeta$ est une racine $N$-ième de l'unité avec $N$
+choisi de sorte que $g^N = 1$ pour tout $g$ dans le groupe de Galois
+de $f$ sur $k$ (ou, dans le pire cas, $\ppcm(1,2,\ldots,d)$).  Pour
+cela, on factorise le $N$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_N$ sur $k$,
+on en choisit un facteur irréductible $\chi$ quelconque, et on appelle
+$k'$ le corps de rupture (qui est aussi corps de décomposition) de
+$\chi$ sur $k$ : manifestement, on sait effectuer des calculs
+dans $k'$, et on sait aussi factoriser des polynômes sur $k'$ car \XXX
+\textcolor{Magenta}{[il faut décider où expliquer ce fait : pour
+    l'instant, il est prévu dans le chapitre « Calculs », mais ce
+    n'est pas forcément idéal]}.  Soulignons que le groupe de Galois
+de $f$ sur $k'$ peut très bien être strictement plus petit que sur $k$
+(lorsque $k'$ et $\dec_k(f)$ ne sont pas linéairement disjoints).
+
+Plutôt que de travailler sur le corps $k'$, on peut préférer
+travailler toujours sur $k$ : ceci peut se faire en ajoutant une
+nouvelle indéterminée $\Omega$ (qui représentera une racine $N$-ième
+de l'unité) et la relation $\Phi_N(\Omega)$ dans l'idéal $I$ : en
+trouvant comme précédemment un idéal $J$ premier contenant $I$, le
+corps $E = k[Z_1,\ldots,Z_d,\Omega]/J$ sera alors le corps de
+décomposition de $\Phi_N \times f$ sur $k$, c'est-à-dire le corps de
+décomposition de $f$ sur $k'$.  Le choix de $J$ équivaut ici au calcul
+du groupe de Galois de $f$ sur $k'$.
+
 
 
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