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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 09:55:21 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 09:55:21 +0200
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Merge branch 'master' of git.madore.org:galois
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex7
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex255
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex4
-rw-r--r--chapitres/entiers.tex41
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex323
5 files changed, 433 insertions, 197 deletions
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 7564b7c..fbe2cf4 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -769,7 +769,7 @@ de Dedekind.
\end{théorème2}
\begin{démo}
-p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
+p. ex. Bourbaki, [Neukirch], chap.I., §12, p. 77, ou [Zariski-Samuel, Ⅴ].
\end{démo}
Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.
@@ -792,7 +792,8 @@ diviseurs, diviseurs effectifs etc.
\subsection{Différente}
\begin{définition2}
-Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
+\label{différente}
+Différente \index{différente} $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
\end{définition2}
Lien avec la définition locale.
@@ -836,7 +837,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
\end{démo}
\begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$.
\end{définition2}
\begin{proposition2}
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 2094169..b90e7ea 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -890,11 +890,34 @@ isomorphes.
\subsection{Polynômes invariants}
+\begin{definition2}\label{definition-polynomes-invariants-par-permutations}
+Soit $H$ un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_d$ sur $d$
+objets. On fait agir $H$ sur l'anneau $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ des
+polynômes en $d$ indéterminées (sur un anneau $K$ de coefficients
+quelconque) par permutation sur les indéterminées :
+$\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) = P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$.
+On dit notamment qu'un polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est
+invariant par $H$ lorsque $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
+P(Z_1,\ldots,Z_d)$ pour tout $\sigma\in H$, et on note $\Fix_H
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ la sous-algèbre des polynômes invariants par $H$.
+On fait les mêmes conventions pour le corps des fractions rationnelles
+en $d$ variables sur un corps $K$.
+\end{definition2}
+
+\begin{remarque2}\label{base-des-polynomes-invariants}
+Si $H$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et $K$ un anneau
+quelconque, alors l'algèbre $\Fix_H K[Z_1,\ldots,Z_d]$ des polynômes
+invariants par $H$ admet une base comme $K$-module formée des
+polynômes $\sum_{M\in \Omega} M$ où $\Omega$ parcourt les orbites des
+l'ensemble des monômes $Z_1^{v_1}\cdots Z_d^{v_d}$ sous l'action
+de $H$.
+\end{remarque2}
+
La proposition suivante, qui sera essentielle pour construire des
résolvantes, assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
-$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
+$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $H$ :
\begin{proposition2}\label{polynomes-invariants-de-sous-groupes}
Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
@@ -958,21 +981,104 @@ non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
polynôme comme proposé.
\end{remarques2}
+Les deux propositions qui vont suivre (et dont la démonstration est en
+principe constructive) montrent qu'on peut faire un peu mieux, et
+construire des polynômes invariants par $H$ et qui « séparent » deux
+points dont les coordonnées ne sont pas images l'une de l'autre par
+l'action de $H$.
+
+Le lemme suivant est évident, mais nous le démontrons pour en
+souligner le caractère constructif :
+\begin{lemme2}\label{interpolation-de-lagrange-en-d-variables}
+Soit $K$ un corps, soient $x_1,\ldots,x_r \in K^d$ des $d$-uplets deux
+à deux distincts d'éléments de $K$, et soient $y_1,\ldots,y_r \in K$
+quelconques. Alors il existe $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que
+$P(x_i) = y_i$ pour chaque $i$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Il suffit de construire $P$ dans le cas $y_1 = 1$ et
+$y_2=\ldots=y_r=0$, le cas général s'en déduisant par combinaison
+linéaire. Il suffit alors de construire $P$ s'annulant en
+$x_2,\ldots,x_r$ et ne s'annulant pas en $x_1$. Or pour chaque
+$\ell\geq 2$, comme $x_\ell \neq x_1$, il existe une coordonnée
+$i_\ell$ (c'est-à-dire $Z_{i_\ell}$) telle que $x_\ell$ et $x_1$
+diffèrent sur la coordonnée en question : $x_{\ell,i_\ell} \neq
+x_{1,i_\ell}$. Le polynôme $\prod_{\ell=2}^r
+(Z_{i_\ell}-x_{\ell,i_\ell})$ répond alors aux critères demandés.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{separation-des-points-du-quotient-de-l-espace-affine-par-des-permutations}
+Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et $(\xi'_1,\ldots,\xi'_d)$ sont deux
+$d$-uplets d'éléments de $K$, alors il y a équivalence entre les
+affirmations suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item il existe $\sigma \in H$ tel que $\xi'_i = \xi_{\sigma(i)}$ pour
+ tout $i$,
+\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$
+ (au sens où $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
+ P(Z_1,\ldots,Z_d)$ pour chaque $\sigma \in H$), on a
+ $P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$,
+\item tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ qui
+ s'annule en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ s'annule aussi en
+ $(\xi'_1,\ldots,\xi'_d)$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que (i) implique (ii) est évident, ainsi que le fait que (ii)
+implique (iii). Il reste à prouver que (iii) implique (i) : mais
+d'après \ref{interpolation-de-lagrange-en-d-variables}, si (i) n'est
+pas vérifié, on peut construire un polynôme $P$ qui s'annule en
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ mais en aucun des
+$(\xi'_{\sigma(1)},\ldots,\xi'_{\sigma(d)})$ pour $\sigma\in H$, et le
+produit $\prod_{\sigma\in H} P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$
+est invariant par $H$ et s'annule alors en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ mais
+pas en $(\xi'_1,\ldots,\xi'_d)$, c'est-à-dire que (iii) n'est pas
+vérifié.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{separation-des-points-du-quotient-de-l-espace-affine-par-des-permutations-bis}
+Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, soit $K$ un corps et soit
+$L$ une extension quelconque de $K$ : si $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et
+$(\xi'_1,\ldots,\xi'_d)$ sont deux $d$-uplets d'éléments de $L$, alors
+il y a équivalence entre les affirmations suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item il existe $\sigma \in H$ tel que $\xi'_i = \xi_{\sigma(i)}$ pour
+ tout $i$,
+\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$
+ (au sens où $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
+ P(Z_1,\ldots,Z_d)$ pour chaque $\sigma \in H$), on a
+ $P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+De nouveau, le fait que (i) implique (ii) est évident. Supposons que
+(i) ne soit pas vérifié : d'après la proposition précédente, il existe
+$P \in L[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ tel que
+$P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Écrivons $P$
+comme combinaison linéaire (à coefficients dans $L$) des polynômes qui
+sont somme de l'orbite d'un monôme par l'action de $H$
+(cf. \ref{base-des-polynomes-invariants}) : ces monômes sont dans
+$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ et invariants par $H$, et il doit y en avoir au
+moins un, appelons-le $Q$, tel que $Q(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq
+Q(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Ceci montre que (ii) n'est pas vérifié.
+\end{proof}
+
\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable}
Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
les racines comptées avec multiplicité dans un corps de
-décomposition $L$. Alors, pour $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de
+décomposition $L$. Alors, pour $H$ un sous-groupe de
$\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant
- par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire tel que
- $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
- $\sigma\in \mathfrak{G}$) on a $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
+\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$
+ (c'est-à-dire tel que $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
+ P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que $\sigma\in H$) on a
+ $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
\item pour toute fraction rationnelle $R \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$
- invariante par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire telle que
+ invariante par $H$ (c'est-à-dire telle que
$R(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = R(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
- $\sigma\in \mathfrak{G}$) et dont le dénominateur ne s'annule pas en
+ $\sigma\in H$) et dont le dénominateur ne s'annule pas en
$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
\item \XXX
\end{enumerate}
@@ -982,20 +1088,19 @@ Le fait que (ii) implique (i) est trivial. Montrons que (i) implique
(ii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur
commun (on rappelle que $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est factoriel, ce qui
donne un sens à cette affirmation), où $Q$ ne s'annule pas en
-$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et où $R$ est invariante par $\mathfrak{G}$.
-Pour chaque $\sigma\in\mathfrak{G}$, on a alors $R =
-\sigma(P)/\sigma(Q)$, c'est-à-dire que $P\,\sigma(Q) = Q\,\sigma(P)$
-dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et comme $P,Q$ ont été supposés sans facteur
-commun on peut en déduire $\sigma(Q) = c_\sigma Q$ et $\sigma(P) =
-c_\sigma^{-1} P$ avec $c_\sigma\in K^\times$, en particulier
-$\sigma(Q)$ ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Si on
-introduit $Q^* = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma(Q) =
-(\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} c_\sigma) Q$, et de même $P^* =
-\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma(P) =
-(\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} c_\sigma^{-1}) P$, on a $P^*/Q^* = P/Q
-= R$, le polynôme $Q^*$ ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et
-comme $P^*$ et $Q^*$ sont tous deux invariants par $\mathfrak{G}$, la
-conclusion du (i) permet d'affirmer que $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) =
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et où $R$ est invariante par $H$. Pour chaque
+$\sigma\in H$, on a alors $R = \sigma(P)/\sigma(Q)$, c'est-à-dire que
+$P\,\sigma(Q) = Q\,\sigma(P)$ dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et comme $P,Q$
+ont été supposés sans facteur commun on peut en déduire $\sigma(Q) =
+c_\sigma Q$ et $\sigma(P) = c_\sigma^{-1} P$ avec $c_\sigma\in
+K^\times$, en particulier $\sigma(Q)$ ne s'annule pas en
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Si on introduit $Q^* = \prod_{\sigma\in H}
+\sigma(Q) = (\prod_{\sigma\in H} c_\sigma) Q$, et de même $P^* =
+\prod_{\sigma\in H} \sigma(P) = (\prod_{\sigma\in H} c_\sigma^{-1})
+P$, on a $P^*/Q^* = P/Q = R$, le polynôme $Q^*$ ne s'annule pas en
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et comme $P^*$ et $Q^*$ sont tous deux
+invariants par $H$, la conclusion du (i) permet d'affirmer que
+$R(\xi_1,\ldots,\xi_d) =
P^*(\xi_1,\ldots,\xi_d)/Q^*(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
\end{proof}
@@ -1003,19 +1108,19 @@ P^*(\xi_1,\ldots,\xi_d)/Q^*(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
Il est tentant de comparer le (ii) de la proposition ci-dessus
avec \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}. Notamment, on sait
qu'il existe des polynômes $P$ tels que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) =
-\mathfrak{G}$, et que si $P$ est un tel polynôme, alors le corps
-$F(P)$ qu'il engendre au-dessus du corps $K(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$
-des fonctions rationnelles totalement symétriques en les $Z_i$ est
+H$, et que si $P$ est un tel polynôme, alors le corps $F(P)$ qu'il
+engendre au-dessus du corps $K(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$ des
+fonctions rationnelles totalement symétriques en les $Z_i$ est
précisément le corps des fonctions rationnelles invariantes
-par $\mathfrak{G}$ : on peut donc être tenté de penser que l'hypothèse
+par $H$ : on peut donc être tenté de penser que l'hypothèse
$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ suffit à entraîner la conclusion (ii) de
la dernière proposition. Or il n'en est rien : par exemple, si $K$
est un corps de caractéristique $3$ non parfait, $L$ l'extension
purement inséparable de $K$ obtenue en ajoutant la racine cubique
$\xi$ d'un élément $a \in K$ qui ne soit pas un cube dans $K$, si on
-pose $d=3$ et $\mathfrak{G} = \ZZ/2\ZZ$ opérant en échangeant les
+pose $d=3$ et $H = \ZZ/2\ZZ$ opérant en échangeant les
indéterminées $Z_2$ et $Z_3$, et $P = Z_2 Z_3^2 + Z_2^2 Z_3$ qui
-vérifie bien $\Stab_{\mathfrak{S}_3}(P) = \mathfrak{G}$, on peut
+vérifie bien $\Stab_{\mathfrak{S}_3}(P) = H$, on peut
écrire $Z_1 = \frac{\sigma_1 \sigma_3}{\sigma_3 + P} \in F(P)$ où
$\sigma_1 = Z_1+Z_2+Z_3$ et $\sigma_3 = Z_1 Z_2 Z_3$, on a bien
$P(\xi,\xi,\xi) = 2 \xi^3 \in K$, et pourtant $Z_1$ prend en
@@ -1023,12 +1128,12 @@ $(\xi,\xi,\xi)$ une valeur ($\xi$) qui n'appartient pas à $K$,
c'est-à-dire que la conclusion (i) ou (ii) ne tient pas.
\end{remarque2}
-\begin{sslemme2}\label{transitivite-des-sylow}
+\begin{proposition2}\label{transitivite-des-sylow}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de
cardinal $p^e$ avec $p$ un nombre premier, et soit $H$ un sous-groupe
de $G$ dont l'indice $(G:H)$ est premier avec $p$. Alors $H$ est
encore transitif sur $X$.
-\end{sslemme2}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $U = \Stab_G(x)$ le fixateur dans $G$ d'un élément $x\in X$ : on
a $(G:U) = p^e$. On peut écrire $(H:(U\cap H)) = (G:U) \, (U:(U\cap
@@ -1049,77 +1154,61 @@ proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
supposons en outre que $K$ est de caractéristique $p$ et $f =
X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec $d=p^e$) sont
tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$. Alors les affirmations de
-la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$ opère
+la proposition sont équivalentes à : $H$ opère
transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
-Supposons d'abord que $\mathfrak{G}$ opère transitivement
-sur $\{1,\ldots,p^e\}$. Soit $P$ un $p$-Sylow de $\mathfrak{G}$ :
-alors $P$ opère encore transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$
-(d'après \ref{transitivite-des-sylow}), donc on peut supposer que
-$\mathfrak{G}=P$, c'est-à-dire que l'ordre de $\mathfrak{G}$ est une
+Supposons d'abord que $H$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
+Soit $P$ un $p$-Sylow de $H$ : alors $P$ opère encore transitivement
+sur $\{1,\ldots,p^e\}$ (d'après \ref{transitivite-des-sylow}), donc on
+peut supposer que $H=P$, c'est-à-dire que l'ordre de $H$ est une
puissance de $p$. Soit maintenant $M$ un monôme sur les variables
-$Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant par $\mathfrak{G}$, alors
-il peut s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e} Z_i)^r$, et sa valeur sur
-$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r
-\in K$. Si $M$ n'est pas invariant par $\mathfrak{G}$, alors le
-nombre de ses conjugués par $\mathfrak{G}$ est une puissance non
-triviale de $p$, donc leur somme, évaluée sur l'élément diagonal
-$(\xi,\ldots,\xi)$, vaut $0$ dans $K$ qui est de caractéristique $p$.
-Il s'ensuit que si $P$ est un polynôme invariant par $\mathfrak{G}$,
-sa valeur sur $(\xi,\ldots,\xi)$ appartient à $K$.
-
-Si au contraire $\mathfrak{G}$ n'opère pas transitivement
-sur $\{1,\ldots,p^e\}$, considérons une orbite $O$ sous
-$\mathfrak{G}$, et le monôme $P$ produit des $Z_i$ pour $i\in O$.
-Alors $P$ est invariant par $\mathfrak{G}$, mais son image sur
-$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{\#O}$ qui n'appartient pas à $K$ car le
-polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de degré $p^e$.
-\end{proof}
-
-\begin{sslemme2}
-Soient $\xi_1,\ldots,\xi_d$ des éléments distincts d'une extension $L$
-quelconque d'un corps $K$, et soit $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de
-$\mathfrak{S}_d$. Alors il existe un polynôme $P \in
-K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que pour $\sigma \in \mathfrak{S}_d$ les trois
-affirmations suivantes soient équivalentes :
-\begin{itemize}
-\item $\sigma \in \mathfrak{G}$,
-\item $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$, et
-\item $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) =
- P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$.
-\end{itemize}
-\end{sslemme2}
-\begin{proof}
-\XXX
+$Z_1,\ldots,Z_{p^e}$. Si $M$ est invariant par $H$, alors il peut
+s'écrire $(\prod_{i=1}^{p^e} Z_i)^r$, et sa valeur sur
+$(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{rp^e} = a^r \in K$. Si $M$ n'est pas
+invariant par $H$, alors le nombre de ses conjugués par $H$ est une
+puissance non triviale de $p$, donc leur somme, évaluée sur l'élément
+diagonal $(\xi,\ldots,\xi)$, vaut $0$ dans $K$ qui est de
+caractéristique $p$. Il s'ensuit que si $P$ est un polynôme invariant
+par $H$, sa valeur sur $(\xi,\ldots,\xi)$ appartient à $K$.
+
+Si au contraire $H$ n'opère pas transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$,
+considérons une orbite $\Omega$ sous $H$, et le monôme $P$ produit des
+$Z_i$ pour $i\in \Omega$. Alors $P$ est invariant par $H$, mais son
+image sur $(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{\#\Omega}$ qui n'appartient
+pas à $K$ car le polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de
+degré $p^e$.
\end{proof}
\begin{lemme2}
Sous les conditions de la
proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
supposons en outre que $f$ soit séparable sur $K$. Alors les
-affirmations de la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$
-contient le groupe de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de
-$\mathfrak{S}_d$ en opérant sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$
-de $f$).
+affirmations de la proposition sont équivalentes à : $H$ contient le
+groupe de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ en
+opérant sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$).
\end{lemme2}
\begin{proof}
-Si $\mathfrak{G}$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout
-polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $\mathfrak{G}$ l'est
-en particulier par $G$ opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
+Si $H$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout polynôme $P
+\in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ l'est en particulier par $G$
+opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
pour tout $\sigma\in G$, c'est-à-dire que $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ est
invariant par $G$ opérant comme groupe d'automorphismes sur le corps
de décomposition $L = K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ de $f$, donc
$P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ appartient bien au corps fixe $K$ de $G$.
-Réciproquement, si $\mathfrak{G}$ ne contient pas le groupe de Galois
-$G$ de $f$, considérons un polynôme $P$ tel que donné par le
-sous-lemme précédent : le polynôme $P$ est invariant
-par $\mathfrak{G}$. Si $\sigma$ appartient à $G$ mais non à
-$\mathfrak{G}$, on a alors $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})
-\neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ d'après la conclusion du sous-lemme (comme
-$\sigma \in \mathfrak{G}$), donc $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$.
+Réciproquement, si $H$ ne contient pas le groupe de Galois $G$ de $f$,
+il existe $\sigma$ dans $G$ n'appartenant pas à $H$. Si on définit
+$(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) = (\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$,
+alors comme les $\xi_i$ sont distincts, $\sigma$ est l'unique élément
+de $\mathfrak{S}_d$ tel que $\xi'_i = \xi_{\sigma(i)}$, et d'après
+\ref{separation-des-points-du-quotient-de-l-espace-affine-par-des-permutations-bis},
+il existe $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ tel que
+$P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, c'est-à-dire
+$\sigma(P(\xi_1,\ldots,\xi_d)) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, donc
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$ puisque $G$ est le groupe de Galois
+de $f$.
\end{proof}
\subsection{Résolvantes}
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 6400830..7d971b3 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -2506,8 +2506,8 @@ Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$.
\begin{corollaire2}
\label{variante-orthogonalite-caracteres}
Soit $G$ un groupe abélien fini et $χ∈\chap{G}$.
-Alors, $∑_{g∈G} χ(g)$ est égal à $0$ si $χ=1$
-et $|G|$ sinon.
+Alors, $∑_{g∈G} χ(g)$ est égal à $0$ si $χ ≠ 1$
+et $|G|$ sinon.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
diff --git a/chapitres/entiers.tex b/chapitres/entiers.tex
deleted file mode 100644
index ed18c2f..0000000
--- a/chapitres/entiers.tex
+++ /dev/null
@@ -1,41 +0,0 @@
-\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-\synctex=1
-
-% À faire :
-% — changer la profondeur de la numérotation par endroit
-\title{Éléments entiers sur un anneau}
-
-\externaldocument{extensions-algebriques}
-\externaldocument{correspondance-galois}
-\externaldocument{spectre}
-\externaldocument{RT}
-\externaldocument{produit-tensoriel}
-
-\begin{document}
-\maketitle
-\tableofcontents
-\else
-\chapter{Éléments entiers sur un anneau}
-\fi
-
-
-\ifx\danslelivre\undefined
-\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
-\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
-\end{document}
-\fi
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index b014b61..a95d93b 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -209,7 +209,7 @@ de Haar.
compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar ; elle est
unique à un facteur multiplicatif non nul près.
(Cf. Bourbaki, INT, VII.§1.№2 ; la démonstration ne fait que
-quelques pages.) Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
+quelques pages. \XXX) Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident.
\subsubsection{}Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
@@ -217,8 +217,10 @@ invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_g f ∘ φ^{-1} d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
réel $\mod(φ)>0$, appelé \emph{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
+Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module unité.
\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
+\label{mesures Tamagawa locales}
Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc} de mesures
de Haar dans le cas où $G$ est le groupe additif d'un corps local.
@@ -235,7 +237,7 @@ de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[non arch.] Soit $K$ un corps local non archimédien et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
-constante à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
+constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^n}.
@@ -251,11 +253,17 @@ La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
précédents.
\begin{proposition2}
+\label{module=module}
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
-Le module de l'automorphisme $[a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
+Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
-termes, $[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus
-$+$}}$ pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
+termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
+c'est-à-dire
+\[
+|a| ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
+∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
+\]
+pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}
Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
@@ -276,9 +284,9 @@ corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=1$ si $ψ$ est non trivial
-et $-∞$ sinon. [doute sur le signe $±n$ ; cf. $\deg(𝔠)$ dans RR. \XXX]
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus petit
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
+et $-∞$ sinon.
\end{définition2}
Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
@@ -329,25 +337,46 @@ il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.
\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
-Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère non trivial.
+Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
-\[x ↦ \big([x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
-est un isomorphisme.
+\[x ↦ \big([×x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
+est un isomorphisme de groupes.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-L'injectivité est évidente. Soit $ψ ′$ un caractère
-non trivial et montrons qu'il appartient à l'image. On peut
-supposer $ψ$ et $ψ′$ de niveaux nuls. Le fait que le résultat
-soit connu pour un corps fini montre qu'il existe
-un $x₁ ∈ 𝒪^×$ tel que $[x₁]^*ψ$ coïncide avec $ψ ′$
-sur $𝔪^{-1}$. (On utilise le fait que $𝔪^{-1}/𝒪$ est
-isomorphe au groupe additif du corps résiduel $k$.) On construit alors
-de proche en proche une suite $x_n ∈ 𝒪^×$
-telle que $x_n - x_{n-1} ∈ 𝔪^n$ et telle que
-$[x_n]^*ψ$ coïncide avec $ψ ′$ sur $𝔪^{-n}$.
-\XXX
+L'égalité $[×(x + x ′)]^*ψ=[×x]^*ψ × [×x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
+du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
+évidente car $ψ$ est supposé non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
+niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
+si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
+de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
+coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
+Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
+l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
+peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
+corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
+et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
+par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ 𝔪^{n+1}/𝔪^n$
+est l'isomorphisme défini par le choix de $ϖ$.
+De même, pour chaque $n ≥ 0$ et chaque
+caractère additif $θ_n$ de $𝔪^{-n}$,
+l'ensemble des prolongements de $θ_n$ en un
+caractère de $𝔪^{-(n+1)}$ est naturellement
+un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
+on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $θ$
+par $χ ⋅ θ = θ × \chap{ι}(χ)$ où $\chap{ι}: \chap{k} ⥲
+\chap{𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}}$ est un isomorphisme.
+Soit maintenant $ψ ′$ un caractère additif de $k$
+et montrons qu'il appartient à l'image du morphisme
+considéré dans l'énoncé. On peut le supposer de niveau nul.
+D'après ce qui précède, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
+ait même cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≥ 0$
+un élément $x_n ∈ 𝒪$, unique modulo $𝔪^n$,
+tel que $[× x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
+La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[× x]^* ψ = ψ ′$,
+comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
+$𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
% voir aussi \jap{井草}, « An introduction to the theory of
% local zeta functions », chap. 8.
@@ -360,17 +389,24 @@ de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}
\begin{proposition2}
-Niveau de $𝐞_{p,K}$ et discriminant.
-%Niveau de $ψ_ω$.
+Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
+et de caractéristique résiduelle $p>0$.
+On a l'égalité
+\[
+n(e_{p,K})=-v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
+\]
+entre le niveau du caractère additif non trivial
+$e_{p,K}$ défini en \ref{caractère corps local}
+et l'opposé de la valuation de la différente
+définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
-Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème
-de Riemann-Roch. \XXX
+Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème de Riemann-Roch.
\begin{démo}
-$𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
-si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$
-c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝔡^{-1}$ (cf. \ref{}).
+Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
+si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
+La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}
\subsection{Transformation de Fourier}
@@ -380,105 +416,256 @@ Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des fonctions continues $
décroissante à l'infini suivante. Lorsque $K$ est
archimédien, donc isomorphe à $𝐑^n$ pour un entier $n ∈ \{1,2\}$,
on demande que $f$ soit $𝒞^∞$ (en tant que fonction de $n$
-variables) et que pour tout polynôme $P$ (resp. $Q$) à
-coefficients complexes en les $n$ variables (resp. en
-les dérivées par rapport à ces $n$ variables), la fonction réelle $|P × (Q ⋅
-f)|$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
-pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
+variables) et que pour tout polynôme $P ∈ 𝐂[X_i,∂_{X_i}: 1 ≤ i ≤ n]$
+la fonction $P ⋅ f$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
+pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
+constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
de \emph{Bruhat-Schwartz}.
%Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
%et variantes uniquement dans cas archimédien).
- \[⁂\]
-
-\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
-et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
+\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
+et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
\begin{remarques2}
-Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
-en fait une somme \emph{finie}.
-D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
-de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
+\begin{enumerate}
+\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
+en fait une somme \emph{finie}
+\[
+∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\]
+où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
+localement constante à support compact $f ψ_x$.
+Si $K=𝐑$, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ est la transformation de Fourier usuelle — au choix de la
+normalisation près — de $f$ : $x ↦ ∫ f(t)\exp(-2i π tx) dt$.
+\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
+additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
+\end{enumerate}
\end{remarques2}
\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
-\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
+\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
+\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
+\[
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}.
+\]
+En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
+\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
+\begin{enumerate}
+\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
+\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([+a]^*f)=ψ_{-a} ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$,
+où $[+a]^*f$ désigne la fonction $y ↦ f(y+a)$ ;
+\item $ψ_a f$ appartient à $𝒮(K)$ et $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(ψ_a f)=[+a]^* ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$.
+\end{enumerate}
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
-ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
-où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
-\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
-$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$.
+où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
+\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \emph{auto-duale}
+(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
+$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
+et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
+$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$.
-\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{±n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
-(resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$), si $K$ est ultramétrique et $n$ est le niveau
-de $ψ$ (resp. si $ψ=[a]^*𝐞_{∞,K}$).
-\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{±n/2} ⋅ [ϖ^{±n}]^*\mathbf{1}_𝒪$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-
On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
\begin{démo}
-Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
+Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
+par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
+ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
+des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une gaussienne.
+Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
+(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
+\[
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})(x)=∫_{𝔪^r} ψ(xy) d
+μ^{\mbox{\minus $+$}}(y).
+\]
+Si $x 𝔪^r$ est contenu dans $𝔪^{n(ψ)}$, l'intégrande
+est constante égale à $1$ de sorte que l'intégrale
+vaut $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝔪^r)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)/q^r$.
+(Voir p. ex. \ref{module=module} pour cette dernière égalité.)
+Dans le cas contraire, l'intégrale est nulle. En effet,
+on a la généralisation suivante de
+\refext{Fin}{variante-orthogonalite-caracteres} :
+pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
+groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
+l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
+tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
+et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
+de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
+ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
+donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
+sus-mentionné.)
+(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
+et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
+est un cas particulier du fait général suivant : le produit
+d'une fonction localement constante par une fonction localement
+constante à support compact est localement constante à support
+compact.
+(i) On a vu en \ref{mesures Tamagawa locales} que l'espace vectoriel $𝒮(K)$
+est engendré par les fonctions caractéristiques $𝟭_{a + 𝔪^r}=[+a]^*[× ϖ^r] 𝟭_{𝒪}$, $a ∈ K, r ∈ 𝐙$.
+La stabilité de l'espace de Bruhat-Schwartz par la transformation de
+Fourier résulte immédiatement du calcul explicite (ii), de la formule (iii.b)
+et du fait que $𝒮(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
+(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'après ce qui
+précède on a les égalités :
+\[
+ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r}))=[-a]^*ℱ
+ℱ(𝟭_{𝔪^r})=[-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r}
+𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}[-a]^*
+𝟭_{𝔪^r}=c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
+\]
+où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus
+$+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
+La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
+(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
+auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
+si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{n(ψ)}{2}}$.
+L'existence et l'unicité en découle.
+(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=-v(a)+n(ψ)$ et de (v).
\end{démo}
-\begin{exemples2}
-\XXX
-Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
-Lien avec sommes de Gauß.
-\end{exemples2}
+Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
+dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
+dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
+
+\begin{exemple2}
+Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
+Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
+telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
+$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
+$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙$
+et on étend $χ$ à $𝐙/p 𝐙$ en la prolongeant par zéro.
+On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
+\[
+ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
+\]
+où $G(χ)$ est la somme de Gauß
+\[
+∑_{x ∈ 𝐙/p^×} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
+\]
+Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez}.
+\end{exemple2}
%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.
-\subsection{Théorie multiplicative}
+Abordons maintenant la théorie multiplicative.
-\subsubsection{Quasi-caractères}
+\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local}
\begin{définition2}
-Conducteur.
+\label{quasi-caractère}
+On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
+tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
+𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$).
\end{définition2}
-$ω_s=| ⋅ |^s$.
+Ainsi, un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}.
+
+\subsubsection{}Soit $K$ un corps local. Pour tout nombre complexe $s$,
+la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
+multiplicatif.
+
+\begin{définition2}
+\label{quasi-caractère net}
+Soit $K$ un corps local.
+Un quasi-caractère multiplicatif de $K$
+est dit \emph{non ramifié} ou \emph{net}
+s'il est trivial sur le sous-groupe $U=\{x ∈ K^×: |x|=1\}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Tout quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
+est de la forme $ω_s$ pour un nombre complexe $s$ bien défini
+modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
+(resp. archimédien).
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Facile (cf. Tate, p. 311). \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
+ultramétrique $K$. On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
+noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
+que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
+\end{définition2}
+
+En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
+d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
+si il est de conducteur nul.
+
+\subsubsection{}Si $K$ est un corps local ultramétrique,
+supposons choisie une uniformisante $ϖ$. Tout élément
+$x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
+\[
+x=x₁ ρ,
+\]
+où $x₁ ∈ U=\{z ∈ K^×:|z|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
+est archimédien (resp. ultramétrique).
\begin{proposition2}
-Structure des quasi-caractères.
+Soit $χ$ un quasi-caractère d'un corps local. Il existe un unique
+caractère $χ₁$ de $U$ et un nombre complexe $s$ tels
+que, pour chaque $x ∈ K^×$, on ait l'égalité
+\[
+χ(x)=χ₁(x₁) ω_s(x).
+\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Cf. ex. Tate.
+Facile (cf. ibidem). \XXX
\end{démo}
-\subsubsection{}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
+\subsection{Transformée de Mellin}
+
+ \[⁂\]
+
+\subsubsection{Mesures multiplicatives}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
sur $K$. On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ la mesure de Haar
multiplicative sur $K^×$ définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
-si $K$ est ultramétrique et
+c'est-à-dire
+\[
+∫_{K^×} f d μ^{\mbox{\minus $×$}} = \frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}}
+f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
+\]
+pour chaque $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$ si $K$ est ultramétrique et
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{1}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×}
\]
sinon.
-On vérifie immédiatement que, dans le cas ultramétrique,
+
+Dans le cas ultramétrique, on utilise
+implicitement le fait que si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
+la fonction $f ω_{-1}$, prolongée par zéro à $K$,
+est également dans $𝒞_c(K^×,𝐂)$. Détailler \XXX
+Notons que, dans ce cas,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
+
\begin{lemme2}
Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
\end{lemme2}
@@ -618,7 +805,7 @@ etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.)
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
\begin{proposition2}
-$[a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
+$[×a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}