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D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}, cet idéal est l'ensemble $\Nilp(A)$ des éléments nilpotents de $A$. (Seule l'inclusion $⋂𝔭⊆\Nilp(A)$ est non triviale.) -La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme \ssi +La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme si et seulement si $\Nilp(A)=\{0\}$ — on dit alors que $A$ est \emph{réduit} — -ou encore \ssi $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$. +ou encore si et seulement si $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$. D'autre part, on a un morphisme de projection \begin{equation} @@ -121,9 +99,9 @@ sont dits \emph{rationnels} sur $k$. Comme observé en \refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux}, l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$ associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$, -aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$ +aussi noté $A^{田}(k)$ ou $田A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$ des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme -\ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection. +si et seulement si l'injection d'ensembles $田A(k)→\Spec(A)$ est une bijection. \subsubsection{Morphisme d'évaluation} \label{morphisme évaluation} @@ -131,11 +109,11 @@ Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.}, démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et $(\star\star)$, réécrite sous la forme \[ -A↠k^{\japmath{田}A(k)}, +A↠k^{田A(k)}, \] coïncide avec l'application d'évaluation -$a↦\big(f∈\japmath{田}A(k)↦f(a)\big)$. -D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et +$a↦\big(f∈田A(k)↦f(a)\big)$. +D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit et chaque idéal premier est rationnel. \subsubsection{Composantes connexes} @@ -156,7 +134,7 @@ suivant, fonctoriel (de façon contravariante) en $A$ : \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{ -|(points)| \japmath{田}A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\}; +|(points)| 田A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\}; \draw[->>] (spec) -- (pi0); \draw[right hook->] (points) -- (specmax); \draw[right hook->] (specmax) -- (spec); @@ -170,19 +148,19 @@ partie de ces observations dans le théorème suivant. \begin{théorème2}\label{k-algebres-finies} Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}. \begin{enumerate} -\item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont +\item Les trois ensembles $田A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont finis ; ils satisfont la condition suivante : -\[♯ \japmath{田}A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\] +\[♯ 田A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\] \item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$. Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et -reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$. +reçoit naturellement $田A(k)$. \item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbres locales d'idéal maximal nilpotent. \item Le morphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est -surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit. -\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est -surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi on a égalité : -\[♯ \japmath{田}A(k)=[A:k].\] +surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit. +\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{田A(k)}$ est +surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si on a égalité : +\[♯ 田A(k)=[A:k].\] \end{enumerate} \end{théorème2} @@ -226,12 +204,12 @@ des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs. Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} -\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{\japmath{田}A(k)}$ est un isomorphisme ; -\item l'inégalité \emph{a priori} $♯\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ; +\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{田A(k)}$ est un isomorphisme ; +\item l'inégalité \emph{a priori} $♯田A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ; \item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ; \item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ; \item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}. -\item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection +\item l'injection $田A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection et $A$ est réduit. \end{enumerate} \end{proposition2} @@ -267,7 +245,7 @@ Le choix d'un isomorphisme comme en (ii) est parfois appelé une \emph{diagonalisation} de $A$ sur $k$. Notons que si $A$ est une algèbre diagonalisable, les trois -ensembles finis $\japmath{田}A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont +ensembles finis $田A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont naturellement en bijection. @@ -294,17 +272,17 @@ induit $k → B$ étant surjectif, c'est un isomorphisme. L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable. Considérons maintenant un morphisme de $k$-algèbres $f:B → A$. -Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{\japmath{田}A(k)}$ -de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B$ : +Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{田A(k)}$ +de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{田B(k)}$ de $B$ : \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ -|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{\japmath{田}B(k)} & |(Ad)| k^{\japmath{田}A(k)} \\}; +|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{田B(k)} & |(Ad)| k^{田A(k)} \\}; \draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd); \draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad); \draw[->] (B) -- node{$f$} (A); -\draw[->] (Bd) -- node{$k^{\japmath{田}f}$} (Ad); +\draw[->] (Bd) -- node{$k^{田f}$} (Ad); \end{tikzpicture} \end{center} @@ -312,22 +290,22 @@ de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japm \item Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable. -D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}$ étant injectif, -l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$ -est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est -l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes -sur les fibres de $\japmath{田}f$. -Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$. -Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une +D'autre part, le morphisme $k^{田f}$ étant injectif, +l'application $田f:田A(k) → 田B(k)$ +est \emph{surjective}. L'image de $k^{田f}$ est +l'ensemble des applications de $田A(k)$ vers $k$ constantes +sur les fibres de $田f$. +Ces fibres forment une partition de $田A(k)$. +Réciproquement, toute partition de $田A(k)$ définit une sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition. \item Si l'on ne suppose plus $f$ injectif mais que l'on suppose $B$ diagonalisable, la commutativité du diagramme ci-dessus — dont les flèches verticales sont des isomorphismes — montre que la donnée de $f$ est équivalente à la donnée -du morphisme d'ensembles $\japmath{田}f: \japmath{田}B(k) → \japmath{田}A(k)$. +du morphisme d'ensembles $田f: 田B(k) → 田A(k)$. Rappelons que ces ensembles sont respectivement canoniquement isomorphes à $π₀(B)$ et $π₀(A)$ -et d'autre part que $\japmath{田}f$ correspond à $π₀(f)$ par ces +et d'autre part que $田f$ correspond à $π₀(f)$ par ces isomorphismes. \end{itemize} @@ -404,7 +382,7 @@ Zorn). \end{démo} Remarquons que dans la démonstration ci-dessus, on pourrait -supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, \cad $λ=\Id$ ou $μ=\Id$, +supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, c'est-à-dire $λ=\Id$ ou $μ=\Id$, de sorte qu'il suffit d'établir le cas particulier $(λ₁⊗\Id)(λ₂⊗\Id)=(λ₁λ₂⊗\Id)$ de la formule précédente. @@ -526,7 +504,7 @@ est une application $k$-linéaire (resp. un morphisme de $k$-algèbres), l'appli $W_{k'}→V_{k'}$ (resp. $B_{k'}→A_{k'}$), caractérisée par $x⊗λ'↦f(x)⊗λ'$, est une application $k'$-linéaire (resp. un morphisme de $k'$-algèbres). Comme on le voit immédiatement en choisissant des bases adaptées, -ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) \ssi $f$ l'est. +ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) si et seulement si $f$ l'est. \begin{exemple2}\label{kXtenskY} Soient $X,Y$ deux ensembles finis. @@ -539,7 +517,7 @@ de Dirac définies par $e_x(x)=1$ et $e_x(x')=0$ si $x'≠x$ de structures $a_{x,x'}^{x''}$ (resp. $b_{yy'}^{y''}$) valent un si $x=x'=x''$ (resp. $y=y'=y''$) et zéro sinon. Les constantes de structure $c_{(x,y),(x',y')}^{(x'',y'')}=a_{x,x'}^{x''}b_{y,y'}^{y''}$ -de $A⊗_k B$ sont donc non nulles \ssi $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent +de $A⊗_k B$ sont donc non nulles si et seulement si $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent un. Cette propriété caractérise la $k$-algèbre $k^{X×Y}$. \end{exemple2} @@ -601,7 +579,7 @@ s'il est non nul et de coefficient dominant égal à un. On dit que le polynôme $μ_a$ est le \emph{polynôme minimal} -\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible \ssi $k[a]$ +\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible si et seulement si $k[a]$ est un corps, que l'on note alors souvent $k(a)$. Dans tous les cas, on a $[k[a]:k]=\deg\,μ_a$. @@ -675,7 +653,7 @@ ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$ et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$ engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$. Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans -$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$. +$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité si et seulement si $T³-2$ est irréductible dans $K$. De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$, @@ -748,7 +726,7 @@ première démonstration). \begin{conventionrestreinte2} Pour toute $k$-algèbre $A$ et toute partie $S$ de $A$, on note $k[S]$ la plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant $S$, -\cad l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$, +c'est-à-dire l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$, envoyant $x_s$ sur $s∈A$. Si $A$ est un anneau intègre, on note $k(S)$ le corps des fractions de son sous-anneau $k[S]$. \end{conventionrestreinte2} @@ -1368,7 +1346,7 @@ Si un élément $a$ de $A$ nilpotent, les éléments $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A de $k$ sont également nilpotents. \end{proposition2} -Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (\cad $\Nilp(k)=\{0\}$), +Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (c'est-à-dire $\Nilp(k)=\{0\}$), l'application $k$-linéaire $\Tr_{A\bo k}:A→k$ se factorise à travers le quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ où, rappelons-le, $\Nilp(A)=\{a∈A:∃n∈𝐍,a^n=0\}$. @@ -1393,7 +1371,7 @@ formule $\N(a^n)=\N(a)^n$ et de l'égalité $\N(0)=0$. \begin{lemme2} Soient $k$ un anneau et $Q ∈ k[X]$ un polynôme. -Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ \ssi +Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ si et seulement si les coefficients de $Q$ sont nilpotents. \end{lemme2} @@ -1459,7 +1437,7 @@ $a↦a⊗1$, induit une bijection \] \item Le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ -est majoré par $[A:k]$, avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$. +est majoré par $[A:k]$, avec égalité si et seulement si $A$ est diagonalisée par $K\bo k$. \end{enumerate} \end{proposition2} @@ -1563,10 +1541,10 @@ qui est un cas particulier explicite de \ref{k-algebres-finies} (iii). \begin{lemme2}\label{structure k-f} Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est : \begin{enumerate} -\item \emph{connexe} \ssi $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ; -\item \emph{intègre} \ssi $f$ est \emph{irréductible} ; -\item \emph{réduite} \ssi $f$ est \emph{sans facteur carré} ; -\item \emph{diagonalisable} \ssi $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}. +\item \emph{connexe} si et seulement si $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ; +\item \emph{intègre} si et seulement si $f$ est \emph{irréductible} ; +\item \emph{réduite} si et seulement si $f$ est \emph{sans facteur carré} ; +\item \emph{diagonalisable} si et seulement si $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}. \end{enumerate} \end{lemme2} @@ -1578,14 +1556,14 @@ Réciproquement, si $f=P^n$, $k_f$ est local, car $(P)$ est maximal donc connexe (\refext{Spec}{local implique connexe}). Le second point est évident ; il n'est mis que pour mémoire. Vérifions (iii). D'après la décomposition précédente et compte tenu -du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit \ssi chaque facteur l'est, +du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit si et seulement si chaque facteur l'est, il suffit de vérifier que si $P$ est un polynôme irréductible, -l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$, +l'anneau $k_{P^n}$ est réduit si et seulement si $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$, la classe de $P$ dans $k_{P^n}$ est un nilpotent non trivial. (L'implication réciproque est un corollaire de (ii).) Vérifions (iv). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable}, et \ref{points k-f}, $k_f$ est diagonalisable -\ssi $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD. +si et seulement si $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD. \end{démo} \begin{lemme2}\label{changement-base-k-f} @@ -1646,7 +1624,7 @@ On verra plus bas qu'une extension algébrique engendrée par des éléments séparables est séparable. Il est clair qu'une extension algébrique $k'\bo k$ est séparable -\ssi toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable. +si et seulement si toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable. \begin{proposition2}\label{critère différentiel de séparabilité polynôme} Soit $f∈k[X]$. Les conditions suivantes sont équivalentes : @@ -1716,7 +1694,7 @@ si pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est \emph{réduit}. On dit également que le \emph{morphisme} $k → A$, aussi noté $A\bo k$, est \emph{géométriquement réduit}. \begin{exemple2}\label{geom-red-separable} -Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite \ssi $f$ est séparable. +Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite si et seulement si $f$ est séparable. (cf. \ref{pot-diag-reduit}). \end{exemple2} @@ -1855,7 +1833,7 @@ sont toutes nulles, il en est de même de $d$. \begin{proposition2} Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$. -La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette \ssi le polynôme $f$ est séparable. +La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette si et seulement si le polynôme $f$ est séparable. \end{proposition2} \begin{démo} @@ -1875,7 +1853,7 @@ alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas ne \begin{corollaire2}\label{mono geom red ssi f-nette} Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie monogène est géométriquement réduite -\ssi elle est formellement nette. +si et seulement si elle est formellement nette. \end{corollaire2} \begin{proposition2}\label{net-implique-reduit} @@ -1972,7 +1950,7 @@ une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$. Le fait que l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$ -est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)). +est étale si et seulement si $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)). \begin{remarque2}[terminologique] Il résulte du théorème précédent qu'une extension $k'\bo k$ @@ -2016,7 +1994,7 @@ signalons le fait suivant — qui sera généralisé en \ref{k(sep)=sep} —, pas évident à partir de la définition d'un élément séparable : \begin{quote} Soit $K\bo k$ une extension et soit $x∈K$ un élément algébrique, séparable sur $k$. -Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — \cad +Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — c'est-à-dire tout polynôme en $x$ à coefficients dans $k$ — est racine d'un polynôme séparable à coefficients dans $k$. \end{quote} @@ -2442,7 +2420,7 @@ bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte immédiatement de la définition donnée en \ref{section définition restreinte produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$ est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}). -Il est donc nul \ssi $B'/B$ l'est, \cad si $B=B'$. +Il est donc nul si et seulement si $B'/B$ l'est, c'est-à-dire si $B=B'$. \end{remarque2} %\end{facultatif} @@ -2462,7 +2440,7 @@ est finie et $k$ parfait. \end{theoreme2} Remarquons que dans l'énoncé ne suppose pas l'extension $K\bo k$ finie \emph{a priori}. -Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, \cad $K=k[x]$ pour un $x∈K$, +Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, c'est-à-dire $K=k[x]$ pour un $x∈K$, $x$ est nécessairement algébrique sur $k$ car dans le cas contraire $K$ serait isomorphe à l'anneau de polynômes $k[X]$ qui n'est pas un corps. @@ -2500,7 +2478,7 @@ diviseurs de $f∈K[X]$ étant en nombre fini, le résultat en découle. \begin{remarques2} Dans l'esprit de ce chapitre, il est tentant d'essayer de donner une -démonstration du théorème par « extension des scalaires », \cad par tensorisation avec une +démonstration du théorème par « extension des scalaires », c'est-à-dire par tensorisation avec une clôture algébrique de $k$. On observera cependant que la $k$-algèbre \emph{monogène} $k[X]/X^4$ possède de nombreuses sous-$k$-algèbres ; par exemple les $k+k(X²+α X³)$ pour @@ -2553,7 +2531,9 @@ général dit de \emph{localisation}. \section{Exercices} -\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}] +\subsection{\XXX} + +\begin{exercice2}[\cite{Isomorphism@Poonen}] \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $3$ classes d'isomorphisme de $𝐑$-algèbres de rang $2$. @@ -2563,7 +2543,7 @@ de $𝐑$-algèbres de rang $2$ dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en dimension quatre. \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} % esquisse solution en rang $3$ sur $𝐑$. %Comme une telle algèbre·$A$ est un produit d'algèbres locales, @@ -2585,16 +2565,16 @@ dimension quatre. %sont donc %\[𝐑³,𝐑[X]/X² × 𝐑, 𝐑× 𝐂, 𝐑[X]/X³, 𝐑[X,Y]/(X,Y)².\] -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$. -\end{exercice} +\end{exercice2} \begin{démo} Cf. Poonen \XXX \end{démo} -\begin{exercice}%\label{structure-algebres-finies} +\begin{exercice2}%\label{structure-algebres-finies} Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre sans faire appel à la notion d'anneau connexe que toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales}, @@ -2608,9 +2588,9 @@ coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$. \item Vérifier que chaque anneau $A/𝔪_i^N$ est local. \item Conclure. \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice}\label{algebres finies via idempotents} +\begin{exercice2}\label{algebres finies via idempotents} Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable @@ -2621,21 +2601,21 @@ entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$. \item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$, $a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme. \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et $μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$. -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice}\label{utilisation matrices compagnons} +\begin{exercice2}\label{utilisation matrices compagnons} Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps} inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}. On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux adéquats. -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$. \begin{enumerate} \item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$. @@ -2655,14 +2635,14 @@ strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la r (cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit nombre de Pisot.}. \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que -l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$. -\end{exercice} +l'anneau $K⊗_k K$ est un corps si et seulement si $k=K$. +\end{exercice2} -\begin{exercice}\label{non unicite composition} +\begin{exercice2}\label{non unicite composition} Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme irréductible. À quelle condition sur $f$ les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles @@ -2671,14 +2651,14 @@ toutes $k$-isomorphes ? pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est $k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (v)).) -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ? -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice}%Difficile à ce niveau là. +\begin{exercice2}%Difficile à ce niveau là. Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$ est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de @@ -2687,9 +2667,9 @@ $k$.) % dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que % $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$. % Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$. -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice}[Théorème de d'Alembert-Gauß] +\begin{exercice2}[Théorème de d'Alembert-Gauß] \begin{enumerate} \item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$. Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$ @@ -2699,15 +2679,15 @@ tels que $|f(z)|<1$. un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est nul.) \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ? % Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles. -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice}[Analogue algébrique de la notion d'immersion] +\begin{exercice2}[Analogue algébrique de la notion d'immersion] \begin{enumerate} \item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que $A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$ @@ -2740,9 +2720,9 @@ où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$, sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$, nécessairement $f'(x)∈k^×$. \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module. Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$. @@ -2755,7 +2735,7 @@ vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$. \item Construire un isomorphisme $k$-linéaire $\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$. \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} |