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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-15 18:12:39 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-15 18:12:39 +0100
commitfaf27ec75f269e96a298dc99f580875bf044522e (patch)
tree906e9329102516da913e14bf261b5d3d85e92e62 /chapitres
parentc46b4c44309dffb2b6d8806201dfc1b7cebbe451 (diff)
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[locaux-globaux] esquisse de Pontrâgin adélique
Le dévissage est censé être trivial mais pas encore clair...
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex32
1 files changed, 29 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index eb2c32f..17c2fe4 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -23,6 +23,9 @@
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
+\tikzset{column sep=3em,row sep=2em,text height=1.5ex, text depth=0.25ex,>=angle 90}
+\tikzset{description/.style={fill=white,inner sep=1pt}}
+
\def\russe#1{\foreignlanguage{russian}{#1}}
\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}
@@ -1676,6 +1679,7 @@ Ainsi, les $L_y$ sont locaux dès lors que $L$ est un corps
global.
\begin{proposition2}
+\label{toute courbe est revêtement ramifié de P1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
$K\bo 𝐅_p(t)$ soit finie séparable.
@@ -1812,7 +1816,11 @@ Trivial. cf. p. ex Saïtô p. 239.
\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
-Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme.
+Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme,
+envoyant $K$ sur $L$.
+Le morphisme $𝐀_K → 𝐀_L$ correspondant
+est $(a_x)↦ (b_y)$ où pour $y↦ x$, $b_y=a_x$
+et $A_K^n ⥲ A_L$ étend $K^n ⥲ L$ etc. \XXX
\end{proposition2}
\begin{théorème2}
@@ -2376,8 +2384,26 @@ est un isomorphisme et $K$ est orthogonal à lui-même.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Cf. [Weil, Adèles] II.2.1.1
-On se ramène au cas $K=𝐐$ ou $K=𝐅$ via une extension étale.
+Soit $K₀$ un sous-corps de $K$ isomorphe à $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$
+($p>0$) tel que l'extension $K \bo K₀$ soit étale (\ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1}).
+Si $ψ_{K₀}$ est un caractère additif non trivial de $𝐀_{K₀}$
+(resp. et trivial sur $K₀$), il résulte de \ref{adèles et cb}
+que le caractère $ψ_{K₀} ∘ \Tr_{𝐀_K \bo 𝐀_{K₀}}$ est également
+non trivial (resp. et trivial sur $K$).
+La conclusion résulte alors \XXX de la commutativité
+du diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+𝐀_{K} & \chap{𝐀_{K}} \\ 𝐀_{K₀}^n & \chap{𝐀_{K₀}}^n \\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+et du fait que $\Tr(aK)=\Tr(a)K₀$ et $\Tr(a) ∈ K₀$
+implique $a ∈ K$. \XXX
\end{démo}
\subsubsection{Fourier sur $A_K$}