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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 18:19:45 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 18:19:45 +0200
commitfd181a0bb8c4b47a8130904521c245dbe81eaad4 (patch)
tree28d9cdefaf5b24f7be09146d703fa78e9b152bfb /chapitres
parentc9fad18a9753ca6a34e613578b8e0a3eb80c6312 (diff)
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[Gröbner] Idéaux de dimension 0 (début).
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex25
1 files changed, 24 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 24fb71e..e0f20c5 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1297,7 +1297,7 @@ fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$.
\XXX --- Le prouver ?
-\begin{definition2}
+\begin{definition2}\label{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Le polynôme (manifestement
unique) coïncidant pour $\ell$ grand avec la fonction de
Hilbert-Samuel affine de $I$, et dont l'existence est garantie par la
@@ -1311,6 +1311,29 @@ dimension $\delta$) de $I$.
\end{definition2}
+\subsection{Idéaux de dimension $0$}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Les affirmations suivantes
+sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item l'anneau quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est artinien (i.e.,
+ toute suite décroissante d'idéaux de cet anneau stationne),
+\item l'espace vectoriel quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est de
+ dimension finie sur $k$,
+\item la dimension affine $\delta$ de $I$ (au sens
+ de \ref{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}) vaut $0$,
+\item (pour $f_1,\ldots,f_r$ une base de Gröbner quelconque de $I$
+ pour un ordre monomial quelconque :) pour tout $1\leq j\leq d$ il
+ existe un $1\leq i\leq r$ tel que le monôme initial de $f_i$ soit
+ une puissance de $Z_j$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+\XXX
+\end{proof}
+
+
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}