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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 10:51:46 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 10:51:46 +0100
commit9b397c6baf243cfab623ede077eff43b67f0d05f (patch)
treebf934a1dd51c9555c9ce0668bb262038b95be28a /divers/bouts-a-deplacer.tex
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-rw-r--r--divers/bouts-a-deplacer.tex105
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new file mode 100644
index 0000000..3f29128
--- /dev/null
+++ b/divers/bouts-a-deplacer.tex
@@ -0,0 +1,105 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+
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+\usepackage{graphics}
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+
+\title{Bouts à déplacer}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Bouts à déplacer}
+\fi
+
+\begin{théorème2}\label{second théorème quotient fini}
+Soient $B$ un anneau nœthérien réduit et $G$ un groupe fini agissant sur $B$ par
+automorphismes. Si $\# G$ est inversible sur $B$, l'anneau
+$A=\Fix_G(B)$ est nœthérien et le morphisme $A→B$ est \emph{fini}.
+\end{théorème2}
+
+L'hypothèse que $B$ est réduit n'est là que pour simplifier légèrement
+la démonstration : le résultat ci-dessus est vrai sans cette
+hypothèse.
+
+\begin{démo}
+Commençons par montrer que $A$ est nœthérien.
+Considérons le morphisme $A$-linéaire $\Tr:B→A$, $x\mapsto \frac{1}{|G|}∑_{g∈G}
+g(x)$, parfois appelé « opérateur de Reynolds ». Soient $I$ un idéal de $A$ et
+$x∈IB∩A$. De l'égalité $x=\Tr(x)$ on tire immédiatement que
+$x∈I\Fix_G(B)=I$. Ainsi, $IB∩A=I$, pour tout idéal $I⊆A$,
+l'inclusion opposée étant en effet triviale. On en déduit que l'anneau $A$
+est nœthérien.
+
+Démontrons maintenant que $A→B$ est un morphisme fini.
+
+\begin{enumerate}
+\item (Réduction au cas d'un produit de corps.)
+Considérons l'ensemble fini $\{𝔭_i\}_{i∈I}$ des idéaux premiers minimaux de $B$.
+Pour chaque $i$, $𝔭_i^G$ est un idéal premier \emph{minimal} de $B^G$.
+En effet, si $𝔮\subsetneq 𝔭^G$ est un idéal premier, le morphisme
+$B/B^G$ étant entier, il existe d'après \ref{relèvement de paires}
+une paire d'idéaux premiers de $B$,
+$𝔮'⊂𝔭'$ au-dessus de $𝔮⊂𝔭^G$. On peut supposer $𝔭'=𝔭$ car $G$ agit
+transitivement sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(B^G)$
+(\emph{op. cit.}, n°2, th. 2).
+
+Soit $\Frac{\,B}$ (resp.
+$\Frac{\,B^G}$) l'anneau total des fractions de $B$ (resp. $B^G$)·;
+c'est un produit de corps dans lequel $B$ (resp. $B^G$) s'injecte,
+isomorphe au semi-localisé de $B$ en les $\{𝔭_i\}_{i∈I}$ (resp.
+$\{𝔭_i^G\}_{i∈I}$). Soit $S=B-⋃𝔭_i$ ; on a donc $\Frac{\,B}=S^{-1}B$.
+D'après (\emph{op. cit.}, §1, n°1, prop. 23), on a $(S^{-1}B)^G=(S^G)^{-1}B^G$,
+de sorte que $(\Frac{\,B})^G=\Frac{\,B^G}$ et
+$B⊗_{B^G} \Frac{\,B^G}≅\Frac{\,B}$.
+
+Supposons $\Frac{\,B}$ fini sur $\Frac{\,B^G}$, de sorte qu'il existe d'après
+l'isomorphisme précédent un nombre fini $n$ \emph{d'éléments de $B$}, qui engendrent $\Frac{\,B}$
+sur $\Frac{\,B^G}$. Observons que l'opérateur $\tr:B→B^G$ définit,
+par composition avec le produit, un accouplement $B⊗_{B^G} B→ B^G$
+qui est parfait sur les anneaux de fractions :
+on se ramène à montrer que si $e_i$ est un idempotent
+correspondant au facteur $K_i=\Frac{\,B/𝔭_i}$ de $\Frac{\,B}$, l'élément
+$\tr(e_i)$ est non nul ; il est en effet égal à $\frac{|G_i|}{|G|}$,
+où $G_i$ est le stabilisateur de $e_i$.
+Les $n$ éléments ci-dessus définissent donc un \emph{plongement} $B^G$-linéaire
+de $B$ dans $(B^G)^n$. On peut conclure par nœthérianité.
+
+\item (Réduction au cas, connu, d'un corps.)
+Soit donc $B=∏_i K_i$ un produit fini de corps et posons $X=\Spec(B)=∐_i η_i$.
+Si $X=X₁∐X₂$, où $X₁$ et $X₂$ sont $G$-stables, $X/G=(X₁/G)∐(X₂/G)$ de sorte
+que l'on se ramène immédiatement au cas où $X/G$ est connexe, \cad où l'action
+de $G$ est \emph{transitive}. Pour tout $i$, notons $G_i$ le groupe de
+décomposition correspondant. D'après le cas classique (cas d'un corps),
+$η_i → η_i/G_i$ est fini étale. Il en résulte que le morphisme
+$X→ ∐ η_i / G_i$ est fini. Enfin, puisque pour tout $i$,
+$η_i/G_i\iso X/G$ (\emph{loc. cit.}, §2, n°2, prop. 4), le résultat en découle.
+\end{enumerate}
+\end{démo}
+
+\begin{miseengarde2}
+Il n'est pas vrai en général que si $B$ est nœthérien
+et $G$ fini d'ordre arbitraire, $A=\Fix_G(B)$ est nœthérien. \XXX
+\end{miseengarde2}
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\end{document}
+\fi