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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 10:51:46 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 10:51:46 +0100
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index 0000000..9a86b76
--- /dev/null
+++ b/divers/exercices.txt
@@ -0,0 +1,160 @@
+1) Lili et Lulu.
+Soit un pentagone régulier dan le plan, centré en l'origine.
+On lui fait subir des réflexions le long de ses arêtes.
+Étant donné sa nouvelle position, trouver une méthode pour le ramener
+à sa position initiale.
+
+Une réponse.
+On regarde (non pas la conjugaison complexe mais)
+l'automorphisme ζ_5 → ζ_5^3 [3 est d'ordre 4 dans ℤ/5^×], qui donne (dans ℂ) un autre pentagone
+(« Lulu » ; le premier étant « Lili »). Il suffit
+de faire en sorte que Lili *et* Lulu se rapproche de l'origine.
+On utilise la discrétude de l'image de ℤ[ζ_5] par (Id,autom) dans
+ℂ². (j'ai pas vérifié)
+
+2) Soit k'/k extension finie de corps de car. p>0. Supposons
+leur p-rang fini. Alors, pour toute extension finie K de k, il existe
+une extension finie *étale* K'/K où K' est isomorphe (comme corps)
+à une extension finie de k'.
+[c'est utile]
+
+3) algèbres artiniennes : si k=k^alg, il existe
+un nombre infini de classes d'isom de k-algèbres
+de rang n pour n≥7 [facile], fini si n≤6 [calculatoire]
+(cf. court article élémentaire de Poonen)
+
+4) [chapitre 9, Nullstellensatz]
+a) démo du théorème dans le cas d'un corps
+algébriquement clos indénombrable
+b) application aux questions d'irréductibilité :
+si A est intègre, corps des fractions K,
+f∈A[X.] non constant, géométriquement irréductible sur K
+alors, il existe a∈A non nul tel que si a∉℘,
+f irréductible modulo ℘.
+(cf. ÉGA IV, 9.7.5. L'usage de Chevalley n'est *pas*
+nécessaire)
+[À mettre en application sans doute, plutôt qu'en exercice]
+
+5) extensions biquadratiques et quaternioniques.
+Démontrer le théorème suivant :
+ Soit k de car. ≠2, K=k(a^½,b^½) biquadratique.
+ K est contenue dans une extension quaternionique sur k
+ssi la forme quadratique ax²+by²+abz² est équivalente (sur k) à x²+y²+z².
+
+Exemple : Q(2^½,3^½)⊂Q((6+3.2^½+2.3½+2.2^½.3^½)^½)
+(cf. 2x²+3y²+6z² ~ x²+y²+z²).
+
+6) Extensions de groupe D_10. (cf. chapitre d'exemples,
+extension universelle pour ℤ/3 etc.)
+[2009-4-17 (vendredi)]
+
+Soit k=ℚ(X,Y) et c:k→k l'automorphisme défini par
+c(X)=Y et c(Y)=(X+1)/(XY-1).
+
+Fait : c^5=Id.
+Avec t défini par t(X)=Y et t(Y)=X, on plonge donc D_10
+dans le groupe de Cremona.
+
+Fait : k^D_10=ℚ(a,b,(a-3)^-1),
+où a,b définis par ∏_i=0^4(T-c^i(X))=T^5-aT^4+bT^2+...
+
+(valable sur ℤ d'après Gaëtan)
+
+On a discr(polynôme)=((a-3)R(a,b))².
+
+D'un autre côté, si P=T^5-5T^2+12 on montre
+que la résolvante ∏_{α,β}(T-(α+β))=QR où
+deg(Q)=deg(R)=5. Ainsi, Gal(P)=D_10.
+(C'est pas ℤ/5, comme on le voit par exemple par
+réduction modulo p.)
+Or, comme l'a observé Jean Lannes, si α et β sont des
+racines, on a souvent αβ-1 également racine. Ceci
+s'explique en partie par le calcul général ci-dessus.
+Enfin, il a également observé que souvent (condition
+sur a,b à déterminer), l'extension K=ℚ(racines)/ℚ(racine
+du discriminant)=K₀, de groupe ℤ/5 si discr≠carré est non
+ramifiée. D'après Gaëtan, c'est lié au fait que
+si l'extension O_K₀⊂O_K était ramifié, on aurait
+Inertie→D_10 surjective. (En effet, I↠±1 et si
+extension ramifiée, on a élément d'ordre 5). Or, dans
+le cas modéré, l'inertie ne peut pas se surjecter sur
+le groupe D_10 (l'inertie est pro-cyclique).
+
+7) Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique p.
+Expliquer que le foncteur V↦V⊗K des Fq-ev de dimension finie,
+vers les K-ev de dimension finie munis d'un isom. (Id×Frob)^*V≃V
+[càd un isomorphisme q-linéaire] est une équivalence de catégories.
+
+C'est utilisé par Drinfel'd dans « Variétés des modules de
+F-faisceaux (prop. 1.1) et c'est utile.
+
+8)
+On the 12th of May 2004, Bhargav Bhatt wrote:
+
+> Hello,
+
+> Say we have two algebraic numbers x,y such that
+> [Q(x):Q] = m, [Q(y):Q] = n, (m,n) = 1.
+
+> Is it true that Q(x,y) = Q(x+y)?
+
+> I've been stuck on this seemingly innocuous looking problem for a while.
+
+My crummy newsreader doesn't remember this far back so apologies
+for starting a new thread.
+
+The news is that in fact it is true. Thanks to Hendrik Lenstra
+for pointing me to
+
+MR0258803 (41 #3449)
+Isaacs, I. M.
+Degrees of sums in a separable field extension.
+Proc. Amer. Math. Soc. 25 1970 638--641.
+
+which in fact essentially solves the problem with Q replaced
+by any field. It's always true in characteristic zero, but there
+are some cases in characteristic p where one has to be careful
+(it's not always true in the char p case).
+
+I'll sketch the proof in the characteristic zero case (which is much
+simpler than the more delicate characteristic p arguments in the paper).
+Let E be the Galois closure of Q(x,y) and let G=Gal(E/Q). Let H be the subgroup
+of G corresponding to Q(x) and let K be the subgroup corresponding
+to Q(y). Then [G:H]=m and [G:K]=n so G:H intersect K]=mn and the
+conjugates of x+y are precisely x_i+y_j as x_i runs through the
+conjugates of x and y_j through the conjugates of y. As we had
+already established in the thread, we now have to rule out the possibility
+that x+y=x_i+y_j for some conjugates x_i \not=x of x and y_j \not=y of y.
+This equation implies that x-x_i=y_j-y=u is a non-zero element of E.
+
+Now here's the trick in Isaac's paper. Let V be the sub-Q-vector
+space of E generated by the conjugates of x, and let W be the sub-Q-vector
+space generated by the conjugates of y. Then u is in both V and W,
+and hence V, W, and V intersect W are all non-zero Q-vector spaces with a
+G-action. Now what can be we say about V intersect W? Well, G acts on the x_i
+via permutations and H is the stabiliser of x, so (as a representation
+of G) V is a subquotient of Ind_H^G(1). Similarly W is a subquotient of
+Ind_K^G(1), and one checks that (Ind_H^G(1),Ind_K^G(1))=1 e.g. by
+Mackey's decomposition theorem, because G=HK. Moreover the common
+irreducible representation giving rise to this 1 is easily seen to
+be the trivial representation. Hence
+G acts trivially on V intersect W! But this is a contradiction because
+it implies that x-x_i is a non-zero rational number t, so x is conjugate
+to x+t and hence to x+2t, x+3t,... .
+
+A delicate argument but I'm certainly convinced by it. Again thanks to
+Lenstra for pointing me to the paper of Isaacs.
+
+Kevin Buzzard
+
+9) Montrer que les polynômes symétriques en deux variables à
+coefficients dans $𝐅_p$ satisfaisant la relation de
+cocycle :
+f(y,z)-f(x+y,z)+f(x,y+z)-f(x,y)=0
+sont les $λ(x^q+y^q-(x+y)^q)/p$.
+
+Ceci « explique » la formule d'addition pour les vecteurs de
+Witt tronqué à l'ordre deux : c'est la seule extension de
+$\Ga$ par $\Ga$.
+Pour le calcul (que je n'ai pas fait), cf. Lazard,
+« Sur les groupes de Lie formels à un paramètre », Ⅲ.