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--- /dev/null
+++ b/divers/vieux/3-chap-Galois.tex
@@ -0,0 +1,1764 @@
+\chapter{Résolubilité par radicaux. Extensions cyclotomiques}
+
+\section{Traces et normes}\label{Traces et normes}
+
+\begin{dfn}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre \emph{finie} et \emph{libre}.
+On définit la \emph{trace}, comme étant la forme $A$-linéaire
+$$
+\begin{array}{l}
+\mathrm{Tr}_{B/A}:B\ra A\\
+b\mapsto \mathrm{Trace}\big(x\mapsto bx\big)\in A
+\end{array}
+$$
+\end{dfn}
+
+Rappelons que la
+trace d'une application linéaire $u:M\ra M$, où
+$M$ est un $A$-module libre de type fini, est définie
+par $u\in \Hom_A(M,M)\giso M\otimes_A M^{\vee} \sr{\mathrm{ev}}{\ra} A$,
+où $M^{\vee}:=\Hom_A(M,A)$.
+L'isomorphisme $M\otimes_A M^{\vee}\iso \Hom_A(M,M)$ est caractérisé par
+$m\otimes \varphi\mapsto \big(m'\mapsto \varphi(m')m\big)$ et
+$\mathrm{ev}:M\otimes M^{\vee}\ra A$ n'est autre que l'évaluation $m\otimes\varphi\mapsto
+\varphi(m)$.
+
+Remarquons que si $a\in A$, $\mathrm{Tr}_{B/A}(a)=\dim_A B\cdot a$.
+
+Pour $C/B$ libre de type fini et $B/A$ libre de type fini, on a la formule de transitivité :
+$$
+\mathrm{Tr}_{B/A}\circ \mathrm{Tr}_{C/B}=\TR_{C/A}.
+$$
+De plus, pour $B/A$ libre de type fini, et $A'/A$ quelconque,
+on a
+$$
+\TR_{B/A}\otimes_A A'=\TR_{B\otimes_A A'/A'}: B\otimes_A A'\ra A'.
+$$
+
+\begin{prp}
+Soient $L/K$ une extension finie séparable, $\alpha\in L$ et $L\sep$
+une clôture séparable de $L$.
+Alors,
+$$\mathrm{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{\iota\in \Hom_K(L,L\sep)}\iota(a).$$
+En particulier, si $L/K$ est finie galoisienne,
+$$\mathrm{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{g\in \ga(L/K)} g(a).$$
+\end{prp}
+
+En d'autres termes, la trace d'un élément de $L$ est la somme de ses conjugués
+(avec multiplicités) dans une clôture séparable.
+
+\begin{proof}
+Calculons tout d'abord $\TR_{K(x)/K}(x)$. Le polynôme minimal de l'application $K$-linéaire
+multiplication par $x$ : $K(x)\ra K(x)$ est $\mathrm{Irr}_{K}(x)$. Il en résulte
+que $\TR_{K(x)/K}(x)$ est la somme des racines de ce polynôme, \cad
+$\sum_{\iota:K(x)\hra L\sep} \iota(x)$. La formule générale résulte des égalités :
+$$\begin{array}{ll}
+\TR_{L/K}(x)& =\TR_{K(x)/K}\big(\TR_{L/K(x)}(x)\big)\\
+&=\TR_{K(x)/K}([L:K(x)]x)=[L:K(x)]\sum_{\iota:K(x)\hra L\sep} \iota(x)\\
+& =\sum_{\iota:L\hra L\sep} \iota(x).
+\end{array}
+$$
+\end{proof}
+
+De même :
+
+\begin{dfn}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre \emph{finie} et \emph{libre}.
+On définit la \emph{norme}, comme étant l'application
+multiplicative $B\ra A$ :
+$$
+\begin{array}{l}
+\mathrm{N}_{B/A}:B\ra A\\
+b\mapsto \mathrm{d\acute{e}t}\big(x\mapsto bx\big)\in A
+\end{array}
+$$
+\end{dfn}
+
+Si $a\in A$, $\mathrm{N}_{B/A}(a)=a^{\dim_A B}$. Les formules de transitivité
+et changement de base analogues à celles ci-dessus sont également valables.
+De même pour l'analogue de la proposition
+précédente : la norme est (pour une extension séparable finie) le produit est conjugués.
+
+\section{Théorie de Kummer}\label{Kummer}
+
+Soit $k$ un corps, $n$ un entier inversible sur $k$, et $K/k$ une extension galoisienne
+de groupe de Galois $\ZZ/n$. \emph{Supposons
+$\mu_n(\sur{k})=\{x\in \sur{k}, x^n=1\}\subset k$.}
+
+\begin{thm}
+Il existe $a\in k^\times/k^{\times n}$ tel que $K=k(\sqrt[n]{a})$. De plus
+$\langle a \rangle$ est bien défini dans $k^\times/k^{\times n}$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soit $c$ un générateur de $G=\ga(K/k)$. Si $K=k(\alpha)$ avec $\alpha^n\in k$,
+nécessairement $c\alpha=\zeta \alpha$ où $\zeta$ est une racine primitive
+$n$-ième de l'unité \cad $\frac{c\alpha}{\alpha}=\zeta$. Et réciproquement.
+Comme la norme de $\zeta$, $\mathrm{N}_{K/k}(\zeta)=\zeta^n=1$ (rappelons
+que $\zeta\in k$), le théorème (du moins l'existence de $a$) résulte
+de la proposition qui suit. Discutons l'ambiguïté de $a$. Supposons que
+$k(\sqrt[n]{a})=k(\sqrt[n]{b})\subset \sur{k}$ et montrons que les
+sous-groupes de $k^{\times}/k^{\times n}$, $\langle a \rangle $ et $\langle b \rangle$
+coïncident. En effet, $c(\sqrt[n]{a})=\zeta \sqrt[n]{a}$ et $c(\sqrt[n]{b})=\zeta' \sqrt[n]{b}$
+pour deux racines primitives $n$-ièmes de l'unité $\zeta$ et $\zeta'$. Comme
+il existe $r$ premier à $n$ tel que $\zeta^r=\zeta'$, on en déduit immédiatement
+que $\frac{\sqrt[n]{b}^r}{\sqrt[n]{a}}$, fixe par $c$, appartient à $k$.
+Cela signifie que $b^r=a$ dans $k^{\times}/k^{\times n}$.
+\end{proof}
+
+\begin{prop}
+Soient $K/k$ une extension cyclique de groupe $\ZZ/n\ni \langle c \rangle$
+et $x\in K$ tel que $\mathrm{N}_{K/k}(x)=1$. Alors, il existe $\alpha\in K^{\times}$ tel que
+$x=\frac{c\alpha}{\alpha}$.
+\end{prop}
+
+\begin{proof}
+Étant donné un tel $x$, on définit $\varphi:G\ra K^{\times}$ par $c^i\mapsto
+xc(x)\cdots c^{i-1}(x)$, pour $0\leq i \leq n-1$, étendue à $i\in \NN$
+en remarquant que $xc(x)\cdots c^{n-1}(x)= N(x)=1$.
+On vérifie immédiatement qu'elle satisfait à la condition :
+$$
+\varphi(g' g)=\varphi(g') g'(\varphi(g)),
+$$
+pour tous $g,g'\in G$.
+C'est ce qu'on appelle un $1$-\emph{cocycle} à valeurs dans $K^{\times}$.
+Il suffit de démontrer qu'il existe $\alpha\in K^{\times}$
+tel que pour tout $g\in G$, $\varphi(g)=\alpha g(\alpha^{-1})$ ; dans
+ce cas $x=\varphi(c)=\alpha c(\alpha)^{-1}$.
+Pour chaque $\alpha\in K^{\times}$, la fonction $g\mapsto \alpha g(\alpha^{-1})$ est
+un $1$-cocycle. Ceux de ce type sont appelés \emph{cobords}.
+Tout revient donc à démontrer le théorème suivant, qui ne fait plus
+d'hypothèse sur le groupe.
+\end{proof}
+
+\begin{thm}[Hilbert's 90 Satz]\label{90}
+Soit $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$. Tout $1$-cocycle
+$G\ra K^{\times}$, \cad toute fonction $f:G\ra K^{\times}$ satisfaisant à
+$f(g'g)=f(g')\cdot g'(f(g))$, est un cobord, \cad de la forme
+$g\mapsto \alpha g(\alpha^{-1})$ pour un $\alpha\in K^{\times}$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soit $x\in K$. Considérons la série de Poincaré
+$$
+b:=\sum_{g\in G}\varphi(g)g(x).
+$$
+Un simple calcul montre que pour tout $g\in G$, $\varphi(g)g(b)=b$.
+Compte tenu de l'indépendance linéaire des automorphismes
+\ref{indépendance linéraire caractères}, il existe un
+$x$ pour lequel $b\neq 0$. La conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Plus généralement, on a montré que $k^{\times}/k^{\times n}\iso \Hom(G_{k},\ZZ/n)$,
+où $G_{k}$ désigne le groupe de Galois \emph{absolu} de $k$ : $\ga(\sur{k}/k)$.
+On en déduit que pour tout $n$ inversible sur $k$ tel que $\mu_n(\sur{k})\subset
+ k^{\times}$, si $k_n$ est l'extension composée des extensions abéliennes tuées par $n$,
+$$
+\ga(k_n/k)\iso \mu_n(k)\otimes (k^{\times}/k^{\times n})^{\vee}.
+$$
+
+Cela entraîne en particulier que l'extension $\QQ(\sqrt{2},\dots,\sqrt{p_r})/\QQ$
+($r$ nombres premiers distincts) est galoisienne de groupe $\FF_2^r$ :
+en effet, $\QQ^{\times}/\QQ^{\times 2}$ est un $\FF_2$-espace vectoriel
+libre de base $-1,2,3,5,7,\dots$.
+Les détails sont laissés au lecteur qui pourra consulter avec profit \cite{Algebre@Bourbaki}.
+\end{crl}
+
+\section{Théorème 90 de Hilbert, d'après A.~Grothendieck (facultatif)}\label{H^1(GL)}
+Dans toute cette section $K/k$ est une extension finie galoisienne de groupe $G$.
+Notre but est double : d'une part démontrer une généralisation
+du théorème \ref{90} (en remplaçant $K^{\times}=\mathrm{GL}_1(K)$ par $\mathrm{GL}_r(K)$)
+mais surtout de donner une démonstration conceptuelle mais plus tangible de cette dernière.
+Cela permet d'approfondir la méthode de la descente initiée en \ref{descente 1}.
+Précisons qu'il est possible de donner une démonstration assez semblable
+à celle donnée ci-dessus de la généralisation à $\mathrm{GL}_r$ (cf. p. ex.
+\cite{CL@Serre}, ?). Quelques uns des avantages de la méthode de A.~Grothendieck sont
+d'une part l'étendue de son champs d'application et d'autre part qu'il
+est possible de s'en faire une image mentale relativement simple.
+
+\begin{thm}\label{90'}
+Soient $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ et
+$r$ un entier. Pour toute fonction
+$$
+\varphi:G\mapsto \mathrm{GL}_r(K)
+$$
+satisfaisant :
+$$\varphi(g'g)=\varphi(g') g'(\varphi(g))\ \text{pour tout}\ (g,g')\in G^2$$
+\cad --- par définition --- un $1$-\emph{cocycle} à valeur dans $\mathrm{GL}_r(K)$,
+il existe un élément $A\in \mathrm{GL}_r(K)$ tel que pour
+tout $g\in G$,
+$$
+\varphi(g)=A g(A^{-1}),
+$$
+\cad --- par définition --- que $\varphi$ est un \emph{cobord}.
+\end{thm}
+
+Ici, $g(A)$ désigne la matrice obtenue à partir de $A$ en appliquant $g$ à tous ses
+coefficients.
+Remarquons que l'on ne suppose pas $G$ cyclique.
+
+De nos jours on écrit plus savamment la conclusion du théorème sous
+une forme plus compacte :
+
+\begin{dfn}
+Soient $G$ un groupe fini et $(M,\cdot)$ un groupe muni d'un morphisme $G\ra \Aut(M)$ noté
+$g\mapsto (m\mapsto g(m))$.
+On note $$\HH^1(G,M)=\{\star\}$$ si pour toute application
+$\varphi:G\ra M$ satisfaisant à $\varphi(g'g)=\varphi(g')\cdot g'(\varphi(g))$ pour chaque
+$(g',g)\in G^2$, il existe $m\in M$ tel que $\varphi(g)=m\cdot g(m)^{-1}$, pour
+tout $g\in G$.
+\end{dfn}
+
+Ainsi, on écrira \ref{90'} sous la forme
+$$
+\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_r)=\{\star\}.
+$$
+
+
+\begin{rmr}
+Insistons sur le fait que si l'on remplace $\mathrm{GL}_r$
+par, par exemple, le groupe projectif linéaire $\mathrm{PGL}_r$, le résultat est faux :
+$$
+\HH^1(G_{K/k},\mathrm{PGL}_r)\neq \{\star\}
+$$
+en général (\cad certains cocycles ne sont pas des cobords). Cet ensemble
+est d'ailleurs lié au \emph{groupe de Brauer} du corps $k$. Plus de détails nous
+entraîneraient trop loin, mais nous renvoyons le lecteur curieux
+aux livres de Jean-Pierre Serre, \cite{CL@Serre}
+et \cite{CG@Serre}. Signalons tout de même, comme la notation
+le suggère, que --- du moins si $M$ est un groupe abélien --- l'on peut
+définir des groupes $\HH^i(G,M)$ pour chaque $i\in \NN$. Par exemple,
+pour $M=\ZZ/n$, muni de l'action \emph{triviale} de $G$, ces groupes
+s'identifient aux groupes de \emph{cohomologie} de l'espace topologique
+classifiant $BG$ (aussi noté $K(G,1)$), étudiés également par
+les topologues. Remarquons que si l'action de $G$ sur $M$ est triviale,
+un cocycle est un morphisme et tout cobord est trivial. Dans ce cas, on pose
+$\HH^1(G,M)=\Hom(G,M)$. En général, $\HH^1(G,M)$ est l'ensemble
+des « cocycles modulo cobord ». Comme nous n'utiliserons pas ce fait, nous ne
+donnons pas la définition de la relation d'équivalence par laquelle on quotiente.
+\end{rmr}
+
+Revenons à la démonstration.
+Rappelons que si $K/k$ est galoisienne de groupe fini $G$,
+on a un isomorphisme canonique $\mathrm{can}_1:K\otimes_k K\iso \prod_{g\in G} K$.
+Nous utiliserons souvent la notation $K_g$ pour désigner spécifiquement le $g$-ième facteur,
+correspondant au quotient $K\otimes_k K\surj K$, $a\otimes b\mapsto
+g(a)b$.
+
+\subsection{}\label{Spec(prod)}
+Nous aurons à étudier des modules sur différentes algèbres et en particulier
+sur $K\otimes_k K$ qui est diagonalisable ;
+il est donc utile de rappeler que si $A=\prod_{i\in I} A_i$
+($I$ fini) est un anneau produit, un $A$-module correspond à la donnée, pour
+chaque $i\in I$, d'un $A_i$-module $M_i$. On passe de $M$ à $M_i$
+en posant $M_i:=e_iM$, où $e_i$ est l'idempotent de $A$ correspondant au $i$-ième facteur.
+En particulier, un $K\otimes_k K$-module $V$ correspond à la donnée
+d'un $K$-espace vectoriel $V_g$ pour chaque $g\in G$.
+
+Enfin, si $p:A\ra B$ est un morphisme d'anneaux, on note
+$$
+p^*M\sr{\mathrm{d\acute{e}f}}{=} M\otimes_{A,p} B.
+$$
+Ceci pour mettre en évidence la dépendance en $p$. L'utilité d'une telle notation
+est évidente dans le lemme suivant.
+
+\begin{lmm}\label{desc:lmm1}
+Soient $$p_1:K\ra K\otimes_k K,\ \lambda\mapsto \lambda \otimes 1$$
+et $$p_2:K\ra K\otimes_k K,\ \lambda\mapsto 1 \otimes \lambda.$$
+Pour tout $K$-espace vectoriel $V$,
+la donnée d'un isomorphisme $K\otimes_k K$-linéaire
+$$\psi:p_1^*V \iso p_2^*V$$
+est équivalente à la donnée, pour chaque $g\in G$
+d'un isomorphisme $k$-linéaire $\Psi_g:V\ra V$ tel
+que $$\Psi_g(\lambda v)=g(\lambda)\Psi_g(v)$$ pour tout $(\lambda,v)\in K\times V$.
+\end{lmm}
+
+Une application \emph{additive} $\Psi_g$ comme ci-dessus est dite $g$-\emph{semi-linéaire}.
+
+
+\begin{proof}
+Dans notre cas, les morphismes $p_1$ et $p_2$ correspondent,
+via l'isomorphisme \ref{auto décomposition} aux deux morphismes
+
+$$\xymatrix{
+(g(\lambda))_{g} & \prod_{g\in G} K & (\lambda)_{g} \\
+\lambda \ar[u] & K \ar@<2ex>[u]^{q_1} \ar@<-2ex>[u]_{q_2} & \lambda \ar[u]}
+$$
+Ainsi, se donner un isomorphisme $\psi$ revient à
+se donner un isomorphisme $K$-linéaire
+$$\oplus_{g\in G} g^*V \iso \oplus_{g\in G} V,$$
+\cad, pour chaque $g\in G$, un isomorphisme
+$$
+\psi_g:g^*V:=V\otimes_{K,g} K\iso V.
+$$
+%[DESSIN : points pour chaque g etc.]
+Dans $g^*V$, on a $g(\lambda)\cdot(v\otimes 1)=v\otimes g(\lambda)=(\lambda v)\otimes 1$,
+pour tout
+$v\in V$ et $\lambda\in K$. Il existe une unique application additive
+$\Psi_g:V\ra V$ telle que $\psi_g(v\otimes 1)=\Psi_g(v)$.
+Par linéarité de $\psi_g$,
+on a :
+$$\Psi_g(\lambda v)=\psi_g((\lambda v)\otimes 1)=g(\lambda)\psi_g(v\otimes 1)=
+g(\lambda)\Psi_g(v).$$
+Ainsi, $\Psi_g(\lambda v)=g(\lambda)\Psi_g(v)$ ; c'est une application
+$g$-semi-linéaire.
+\end{proof}
+
+Le lemme combinatoire suivant, analogue à \ref{auto décomposition},
+permettra de traduire l'énoncé groupique de Hilbert en un énoncé bien plus
+général (\ref{descente fpqc}), ne faisant plus intervenir de groupes.
+La condition de cocycle
+$\varphi(g'g)=\varphi(g')g'(\varphi(g))$ fait intervenir les couples
+$(g,g')\in G^2$. On ne sera donc pas surpris de voir apparaître
+$K\otimes_k K \otimes_k K$ dans le lemme ci-dessous :
+$G^2$ est canoniquement isomorphe au spectre de cet anneau.
+
+\begin{lmm}\label{desc:lmm2}
+\begin{enumerate}
+\item Le morphisme
+$$\mathrm{can_2}:K\otimes_k K \otimes_k K\iso \prod_{(g,g')\in G^2} K$$
+défini par $$a\otimes b \otimes c\mapsto \Big((gg')a\cdot g(b)\cdot c\Big)_{(g,g')}$$
+est un isomorphisme.
+En particulier, $$G^2\ni (g,g')\mapsto \ker\Big(a\otimes b \otimes c\mapsto
+(gg')a\cdot g(b)\cdot c\Big)
+\in \SP(K\otimes_k K \otimes_k K)$$
+est un isomorphisme.
+\item
+Considérons les trois morphismes $K\otimes_k K\ra K\otimes_k K \otimes_k K$
+définis par $$p_{21}=p_{12}:a\otimes b\mapsto a\otimes b \otimes 1,$$
+$$p_{31}=p_{13}:a\otimes b\mapsto a\otimes 1 \otimes b$$ et
+$$p_{32}=p_{23}:a\otimes b\mapsto 1\otimes a \otimes b.$$
+Alors, on a un diagramme commutatif :
+$$\xymatrix{
+K\otimes_k K \otimes_k K \ar[r]^{\mathrm{can}_2} & \prod_{(g,g')\in G^2} K \\
+K\otimes_k K \ar@<5ex>[u]^{p_{12}} \ar[u]^{p_{13}} \ar@<-5ex>[u]^{p_{23}} \ar[r]^{\mathrm{can}_1} &
+\prod_{g\in G} K \ar@<5ex>[u]^{q_{12}} \ar[u]^{q_{13}} \ar@<-5ex>[u]^{q_{23}} \\
+K \ar@<2ex>[u]^{p_1} \ar@<-2ex>[u]^{p_2} \ar[r]^{=} & K \ar@<2ex>[u]^{q_1} \ar@<-2ex>[u]^{q_2}
+}$$
+où les morphismes en haut à droite sont (au niveau des spectres
+puis sur les facteurs se correspondant) :
+$$
+q_{12}\left\{
+\begin{array}{l}
+\SP(q_{12}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{pr}_2}{\mapsto} g'\in G \\
+ K_g\sr{g}{\ra} K_{g,g'}
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+$$
+q_{23}\left\{
+\begin{array}{l}
+\SP(q_{23}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{pr}_1}{\mapsto} g\in G \\
+ K_{g'}\sr{\mathrm{Id}}{\ra} K_{g,g'}
+\end{array}
+\right.
+$$
+et
+$$
+q_{13}\left\{
+\begin{array}{l}
+\SP(q_{13}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{prod}}{\mapsto} gg'\in G \\
+ K_{gg'}\sr{\mathrm{Id}}{\ra} K_{g,g'}
+\end{array}
+\right.
+$$
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Cela résulte des trois diagrammes commutatifs :
+$$\xymatrix{
+a\otimes b \ar[r]^{p_{12}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & a\otimes b \otimes 1 \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
+(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{12}} & \Big(g\big(g'(a)b\big)\Big)_{g,g'}
+}$$
+
+$$\xymatrix{
+a\otimes b \ar[r]^{p_{13}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & a\otimes 1 \otimes b \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
+(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{13}} & \big((gg')(a)b\big)_{g,g'}
+}$$
+et
+$$\xymatrix{
+a\otimes b \ar[r]^{p_{23}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & 1\otimes a \otimes b \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
+(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{23}} & (g(a)b)_{g,g'}
+}$$
+\end{proof}
+
+Avant d'énoncer le lemme suivant, une observation s'impose. Nous avons défini
+plus haut la notation $p^*M:=M\otimes_{A,p} B$ pour
+$M$ un $A$-module et $p:A\ra B$ un morphisme d'anneaux. Nous aurons besoin
+d'étendre cette notation aux morphismes : si $f:M\ra M'$ est un morphisme
+de $A$-modules, on notera $p^*f$ le morphisme $f\otimes_{A} B :M \otimes_{A} B
+\sr{f\otimes_A \mathrm{Id}}{\ra} M'\otimes_A B$.
+% ; compte tenu de la multiplicité des morphismes
+%entre les anneaux $A$ et $B$ que nous considérons (cf. par exemple
+%$A=K$ et $B=K\otimes_k K$ et les morphismes considérés plus haut !), il importe
+%d'incorporer le morphisme dans la notation.
+En d'autres termes, nous
+avons défini un \emph{foncteur} $p^*$ de la catégorie des $A$-modules
+vers la catégorie des $B$-modules.
+
+Enfin, la transitivité du produit tensoriel entraîne que
+si l'on se donne $g:B\ra C$, $f:A\ra B$ et $M$ un $A$-module,
+les $C$-modules $g^*f^*M$ et $(gf)^*M$ sont naturellement isomorphes.
+
+\begin{rmr}[Analogie]\label{heuristique descente}
+La signification tangible du théorème 90 de Hilbert, revu par A.~Grothendieck
+est d'étudier ce que l'on perd en passant de $A$ à $B$ : certains $B$-modules
+ne s'obtiennent pas par cette construction. (Par exemple, si $A$ est un corps $k$ et $B$
+est une $k$-algèbre quelconque les $B$-modules obtenus comme ceci sont nécessairement libres
+sur $B$.) Une idée essentielle d'A.~Grothendieck est d'avoir rapproché\footnote{Au meilleur
+sens possible : il existe une théorie générale (dite des topos) qui
+contient comme cas particulier les deux problèmes.}
+ ce problème à la question plus classique suivante :
+soient $A$ un espace topologique et $(U_i)$ un recouvrement ouvert de $A$.
+Toute fonction (disons réelle pour fixer les idées)
+continue $f$ sur $A$ induit, par restriction à chaque $U_i$,
+une fonction $f_{|B}$ sur l'espace topologique « union disjointe » $B=\coprod_i U_i$.
+Parmi les fonctions continues sur $B$, celles obtenues par restriction de $A$ à $B$
+ont la propriété caractéristique de coïncider sur les intersections $U_i\cap U_j$.
+On considérera donc avec profit ici $K\otimes_k K$ en pensant si possible
+aux $U_i\cap U_j$ ; de même on pense aux intersections triples
+$U_i\cap U_j \cap U_k$ quand on considère
+$K\otimes_k K \otimes_k K$. La nécessité de considérer des intersections triples
+apparaît en topologie quand on veut recoller non pas des fonctions mais des objets
+(fibrés vectoriels, espaces topologiques etc.).
+Nous renvoyons le lecteur à \sga{1}{}{} pour des définitions précises
+et des détails sur cette analogie,
+qui nous emmèneraient un peu plus loin que nous ne le souhaitons ici.
+\end{rmr}
+
+\begin{lmm}\label{desc:lmm3}
+Soient $V$ et $\psi$ comme dans le lemme \ref{desc:lmm1}.
+Pour chaque choix d'indices $(i,j,k)\in \[1,3\]^2\times \[1,2\]$,
+les $K\otimes_k K \otimes_k K$-modules
+$p_{ij}^*p_k^*V$ correspondent via \ref{desc:lmm2} et \ref{Spec(prod)} à la donnée d'un
+$K$-espace vectoriel $V_{g,g'}$ pour chaque $(g,g')\in G^2$. Notons,
+comme en \ref{desc:lmm1}, $\Psi_g:V\ra V$ le morphisme déduit
+de $\psi$ sur le $g$-ième facteur.
+Au moyen de cette identification et avec ces notations, on a une correspondance,
+sur le facteur $(g,g')$ :
+$$p_{12}^*\psi \longleftrightarrow \Psi_{g'}$$
+$$p_{23}^*\psi \longleftrightarrow \Psi_{g}$$
+$$p_{13}^*\psi\longleftrightarrow \Psi_{gg'}.$$
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Ce n'est qu'une traduction des lemmes précédents :
+compte tenu du \ref{desc:lmm2}, la $(g,g')$-composante de
+$p_{12}^*\psi$ correspond $\Psi_{q_{12}(g,g')=g'}$. (Ici, on identifie
+$G\times G$ à $\SP(K\otimes_k K \otimes_k K)$ et l'on note $q_{12}$ pour
+$\SP(q_{12})$. De même, comme $q_{23}(g,g')=g$ et $q_{13}(g,g')=gg'$, on a le résultat souhaité.
+\end{proof}
+
+Avant d'exploiter le lemme précédent, remarquons les égalités suivantes :
+$$
+\begin{array}{l}
+p_{13}p_1=p_{12}p_1=:P_1\\
+p_{12}p_2=p_{23}p_1=:P_2\\
+p_{13}p_2=p_{23}p_2=:P_3
+\end{array}
+$$
+où $P_1(a)=a\otimes 1 \otimes 1$, $P_2(a)=1\otimes a \otimes 1$ et
+$P_3(a)=1\otimes 1 \otimes a$.
+
+Ainsi, compte tenu des isomorphismes canoniques $(fg)^*\isononcan f^*g^*$, on a que, pour
+$\psi$ comme plus haut,
+$$p_{12}^*\psi:p_{12}^*p_1^*V\iso p_{12}^*p_2^*V$$
+correspond à un isomorphisme :
+$$\sous{p_{12}}^*\psi:P_1^*V\iso P_{2}^*V.$$
+De même, on note $$\sous{p_{23}}^*\psi:P_2^*V\iso P_3^*V$$
+et $$\sous{p_{13}}^*\psi:P_1^*V \iso P_{3}^*V$$
+les deux autres isomorphismes déduits de ces identifications.
+
+L'avantage de ces identifications est qu'elles nous permettent
+de composer deux de ces isomorphismes.
+
+\begin{crl}[Condition de cocycle]\label{cocycle galoisien}
+La condition sur un isomorphisme $\psi$ comme plus haut :
+$$\sous{p_{23}}^*(\psi) \circ \sous{p_{12}}^* (\psi)=\sous{p_{13}}^*\psi:P_1^*V\iso P_3^*V$$
+est équivalente à la condition
+$$
+\Psi_{g}\Psi_{g'}=\Psi_{gg'},
+$$
+où l'application $g$-semi-linéaire $\Psi_g$ déduite de la $g$-composante $\psi_g$
+de l'isomorphisme $\psi$ (cf. \ref{desc:lmm1}).
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+En effet, sur le facteur $(g,g')$, le composé de gauche correspond d'après le lemme
+précédent à
+$\Psi_{g}\circ \Psi_{g'}$ tandis que le terme de droite correspond à
+$\Psi_{gg'}$.
+On remarquera que $\Psi_{gg'}$ est $gg'$-semi-linéaire, comme
+le composé $\Psi_g\circ \Psi_{g'}$.
+\end{proof}
+
+Nous allons voir que ces lemmes permettent d'interpréter le théorème 90 de Hilbert
+comme un cas particulier du théorème suivant d'A.~Grothendieck, dont la démonstration
+sera donnée dans la section suivante.
+
+\begin{thm}[Descente fidèlement plate]\label{descente fpqc}
+Soient $k$ un anneau et $p:k\ra A$ une $k$-algèbre fidèlement plate, par exemple
+$k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre quelconque. Soient
+$M$ un $A$-module et $\psi:p_1^*M\iso p_2^*M$ un isomorphisme $A\otimes_k A$-linéaire
+tel que $\sous{p_{23}}^*\psi \circ \sous{p_{12}}^*\psi=\sous{p_{13}}^*\psi$.
+Alors, il existe un $k$-module $M_0$ et un isomorphisme
+$f:p^*M_0:=M_0\otimes_k A\iso M$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
+$$
+\xymatrix{
+p_1^*p^*M_0 \ar[r]^{p_1^*f} \ar[d]_{\mathrm{iso.can.}} & p_1^*M\ar[d]^{\psi} \\
+p_2^*p^*M_0 \ar[r]^{p_2^*f} & p_2^*M
+}
+$$
+Ce que l'on écrira plus suggestivement, modulo identification des deux termes de gauche :
+$$
+\psi \circ p_1^*(f)=p_2^*f.
+$$
+\end{thm}
+
+On dit dans ce cas que le $A$-module $M$ se \emph{descend} en un $k$-module $M_0$.
+Le théorème précédent est donc une condition \emph{suffisante} pour qu'un $A$-module
+se descende. La \emph{nécessité} de l'existence d'un isomorphisme
+$\psi$ satisfaisant la condition de cocycle résulte formellement de l'égalité $p_1p=p_2p$.
+Plus précisément :
+
+\begin{lmm}\label{psi-can}
+Soient $M_0$ un $k$-module, $p:k\ra A$ un morphisme d'anneaux et $M:=p^*M_0$.
+Il existe un isomorphisme canonique $\psi_{\mathrm{can.}}:p_1^*M\iso p_2^*M$.
+\end{lmm}
+
+Remarquons également que la commutativité du diagramme est ici essentielle :
+si $A\ra B$ est une extension de corps, tout $B$-module, étant libre, est isomorphe
+à l'image inverse d'un $A$-module. Dans ce contexte, le contenu non trivial de l'énoncé
+vient donc du second point, \cad la commutativité du diagramme.
+
+
+\subsection{La descente fidèlement plate entraîne Hilbert's satz 90}
+
+Soient $V=K^r$ et $\varphi:G\mapsto \mathrm{GL}_r(K)$ un $1$-cocycle.
+Soit $\Psi_g$ l'application $g$-semi-linéaire $V\ra V$ dont la matrice dans la base
+canonique est $\varphi(g)$. En d'autre termes,
+$\Psi_g(\sum_{1}^r \lambda_i e_i)=\sum_1^r g(\lambda)\Psi_g(e_i)=
+\sum_i g(\lambda)\varphi(g)(e_i)$.
+Il résulte de la condition de cocycle sur $\varphi$,
+\ref{desc:lmm1} et \ref{cocycle galoisien},
+que $\varphi$ et le $\Psi_g$ correspondent
+à un isomorphisme $\psi:p_1^*V\iso p_2^*V$ satisfaisant
+à la condition de cocycle \ref{cocycle galoisien}. D'après \ref{descente fpqc},
+il existe un $k$-espace vectoriel $V_0$ et un isomorphisme $f:p^*V_0\iso V$ ($K$-linéaire)
+tel que $\psi \circ p_1^*(f) = p_2^*(f)$. Choisissons une base de $V_0$ sur $k$,
+une base de $V$ sur $K$ et considérons la matrice $F\in \mathrm{GL}_r(K)$ induite par $f$.
+Plus précisément, soient $(e_i)_{1\leq i \leq r}$ une base de $V_0$ sur $k$ et $(e'_i)$
+une base de $V$ sur $K$.
+L'isomorphisme $$f:(\oplus k e_i)\otimes_k K\iso \oplus K e'_i$$ envoie
+$e_i\otimes 1$ sur $\sum_{j} f_{ji}e'_j$. On note $F$ la matrice $(f_{ij})\in K^{r\times r}$.
+Pour chaque $g\in G$, l'égalité $\psi \circ p_1^*(f) = p_2^*(f)$, entraîne, sur le
+$g$-ième facteur la commutativité du diagramme :
+$$
+\xymatrix{
+g^*V \ar[r]^{\psi_g} & V \\
+g^*p^*V_0 \ar[u]^{g^*f} \ar[r]^{\mathrm{iso.can.}} & p^*V_0 \ar[u]_{f}
+}
+$$
+Il reste à comprendre que la matrice de $g^*f$, dans les bases choisies plus haut,
+est $g(F)$. On aura alors $g(F)\Psi_g =F$ \cad $\Psi_g=F g(F^{-1})$, ce que l'on voulait
+démontrer.
+L'application $g^*f$ est déterminée par :
+$$
+\begin{array}{l}
+(V_0\otimes_k K)\otimes_{K,g} K \sr{g^*F}{\ra} V\otimes_{K,g} K\\
+(e_i\otimes_k 1)\otimes_{K,g} 1 \mapsto (\sum_j f_{ji}e'_j)\otimes_{K,g} 1 =
+\sum_j \big(e'_j \otimes_{K,g} g(f_{ji})\big)=\sum_j g(f_{ji})(e'_j\otimes_{K,g} 1)
+\end{array};
+$$
+sa matrice est bien $g(F)$.
+
+
+
+\subsection{Démonstration de \ref{descente fpqc}}
+
+Soit $(M,\psi)$ comme dans l'énoncé et supposons que $(M_0,f)$
+soit une solution au problème.
+Par définition, on a un diagramme
+$$
+\xymatrix{
+& p^*M_0 \ar[dl] \ar[d] \ar[rr]^f & & M \ar[dl] \ar[d] \\
+p_1^*p^*M_0 \ar[r]^{\mathrm{can}.} \ar@/_1pc/[rr]_{p_1^*f}
+ & p_2^*p^*M_0 \ar@/_1pc/[rr]_{p_2^*f} & p_1^*M \ar[r]^{\psi} & p_2^*M }
+$$
+dont la partie inférieure est commutative, et dont les flèches horizontales
+sont des isomorphismes.
+
+On en déduit un isomorphisme $k$-linéaire
+$$
+K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.})\sr{K(f)}{\iso} K(M,\psi),
+$$
+où
+$$
+K(M,\psi):=\lim_{k-\mathrm{mod}}\left(
+\xymatrix{M \ar[r]^{p_1} \ar[dr]^{p_2} & p_1^*M \ar[d]^{\psi} \\ &
+p_2^*M}\right).$$
+Par définition, le terme de droite est le $k$-module constitué des éléments
+de $M$ dont les deux images dans $p_2^*M$ coïncident.
+De façon tautologique, pour tout $(M,\psi)$ on a une injection de $k$-modules :
+$K(M,\psi)\hra M$.
+D'autre part, comme $p$ est fidèlement plat,
+on a d'après \ref{Cech} un isomorphisme canonique $M_0\iso K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.})$.
+En résumé, on a \emph{nécessairement},
+$$
+M_0\iso K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.}) \iso K(M,\psi)\hra M.
+$$
+Ainsi, sans même supposer l'existence de $M_0$, on dispose d'un candidat
+naturel : $K(M,\psi)$.
+
+Ceci étant, commençons par démontrer le théorème dans un cas particulier :
+
+\begin{thm}[Descente avec une section]
+Pour que les conclusions du théorème \ref{descente fpqc} soient satisfaites,
+il suffit que $k\ra A$ ait une \emph{rétraction}.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soient donc $p:k\ra A$ un morphisme d'anneaux et $r_0:A\ra k$ tel que $r_0 p=\mathrm{Id}_k$.
+Posons $M_0:=r_0^*M$.
+En particulier, on dispose d'un endomorphisme $\iota=p r_0:A\ra A$
+tel que $r_0\iota=r_0$.
+Pour $M$ et $\psi$ comme dans \emph{loc. cit.}, posons $M_0:=r_0^*M$.
+On va montrer que $p^*M_0$ est isomorphe à $M$, avec un isomorphisme
+satisfaisant aux conditions requises.
+Définissons $r_1:A\otimes_k A\ra A$ par $a\otimes b\mapsto \iota(a)\cdot b$ ;
+on a $r_1\circ p_1=\iota$ et $r_1\circ p_2=\mathrm{Id}_A$.
+En particulier, $({r_1}\circ p_1)^* M\isononcan p^*r_0^* M$.
+Appliquons $r_1^*$ à l'isomorphisme $\psi:p_1^*M\iso p_2^*M$ ;
+on en déduit un isomorphisme $f:p^* M_0 \iso M$. Il nous reste donc à vérifier
+la commutativité du diagramme du \ref{descente fpqc} ;
+cela va résulter de la condition de cocycle.
+À cette fin, on construit ${r_2}:A^{\otimes 3}\ra A^{\otimes 2}$
+de telle sorte que $r_2^*$, appliqué à $p_{23}^*\psi \circ p_{12}^*\psi$,
+donne $\psi\circ p_1^*f$, tandis qu'appliqué à $p_{13}^*\psi$ on obtienne $p_2^*f$.
+On veut donc :
+$$
+\left\{
+\begin{array}{lll}
+r_2 p_{23}=\mathrm{Id} & \Longleftrightarrow &
+1\otimes a \otimes b \sr{r_2}{\mapsto} a\otimes b \\
+r_2 p_{12}=p_1 r_1 & \Longleftrightarrow & a\otimes b \otimes 1 \sr{r_2}{\mapsto} \iota(a)b\otimes 1 =
+\iota(a)(b\otimes 1) \\
+r_2 p_{13}=p_2 r_1 & \Longleftrightarrow & a\otimes 1 \otimes b \sr{r_2}{\mapsto} 1\otimes \iota(a)b=
+\iota(a)(1\otimes b) \\
+\end{array} \right.
+$$
+On n'a guère le choix que de poser ${r_2}:a\otimes b \otimes c\mapsto \iota(a)(b \otimes c)$ ;
+ce dernier répond à la question.
+\end{proof}
+
+
+
+
+Montrons que le cas où $A/k$ a une rétraction entraîne le cas général, ceci dans
+le même esprit que la démonstration de \ref{descente 1}.
+
+Soient $M,A/k,\psi$ comme dans le théorème.
+L'application $k$-linéaire $K(M,\psi)\ra M$ correspond naturellement
+à une application $A$-linéaire
+$$
+f:p^*K(M,\psi)\ra M.
+$$
+On va montrer que c'est un isomorphisme et que cet isomorphisme
+satisfait bien, modulo l'identification habituelle, $p_2^*f=\psi\circ p_1^*f$.
+
+Soient $B/k$ une $k$-algèbre et notons $B':=A\otimes_k B$,
+$M':=M\otimes_k B\isononcan M\otimes_A B'$.
+
+\begin{lmm}
+Le diagramme
+$$\xymatrix{
+A\otimes_k A \ar[r] & B'\otimes_B B'\\
+A \ar@<2ex>[u]^{p_{1}} \ar@<-2ex>[u]_{p_{2}} \ar[r] & A\otimes_k B=B'
+\ar@<2ex>[u]^{p_{1B}} \ar@<-2ex>[u]_{p_{2B}} \\
+k \ar[u]^p \ar[r] & B \ar[u]^{p_B}
+}$$
+est commutatif et
+$B'\otimes_k B'$ s'identifie canoniquement à $(A\otimes_k A)\otimes_k B$.
+\end{lmm}
+C'est évident.
+
+Il en résulte que si l'on applique le foncteur $-\otimes_k B$
+au diagramme définissant $K(M,\psi)$, on obtient le diagramme
+définissant $K(M',\psi_B)$, où $\psi_B$ est déduit de $\psi$ par
+extension des scalaires à $B$.
+Finalement, on a un morphisme
+$$
+K(M,\psi)\otimes_k B\ra K(M',\psi_B).
+$$
+
+\begin{lmm}
+Si $B/k$ est \emph{plat}, c'est un isomorphisme.
+\end{lmm}
+En effet, les $K(?,?)$ sont des noyaux ; leur formation
+commute donc aux extensions des scalaires qui sont plates.
+
+
+Ainsi, pour tout $B/k$ plat, on a un diagramme commutatif
+$$\xymatrix{
+p^*K(M,\psi)\ar[r]^f \ar[d] & M \ar[d]\\
+p_B^*K(M',\psi_B) \ar[r]^{f_B} & M'}
+$$
+où la ligne inférieure est déduite de la précédente par tensorisation avec $B$ sur $k$.
+Enfin, si $B/k$ est \emph{fidèlement} plat, $f$ est un isomorphisme
+si et seulement si $f_B$ l'est.
+On a vu précédemment que si $(B'=A\otimes_k B)/B$ a une \emph{rétraction},
+$f_B$ est un isomorphisme. Comme c'est le cas pour $B=A$, $f$ est bien
+un isomorphisme.
+De même, l'égalité $\psi_B\circ p_{2B}^*f_B=p_{1B}^*f_B$ entraîne l'égalité
+analogue pour $f$ et $\psi$. Ceci achève la démonstration du théorème.
+
+\section{Théorie d'Artin-Schreier}\label{Artin-Schreier}
+
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. Ici, $\mu_p(k)=\{x\in k, x^p=1\}$
+est réduit à un unique élément, $1\in k$. Malgré tout, il existe une théorie semblable
+à la théorie de Kummer pour les extensions de degré $p$ ; cette dernière a d'ailleurs
+l'avantage de ne pas faire d'hypothèse supplémentaire sur le corps (cf. l'hypothèse
+$\#\mu_n(k)=n$
+en théorie de Kummer).
+%Commençons par un exemple : $P=X^p-X-t^{-1}\in \FF_p(t)[X]$. C'est un polynôme irréductible
+%(cf. plus bas) et séparable (car $P'=-1$) qui définit une extension
+
+\begin{dfn}[Notation]
+Soit $A$ un anneau de caractéristique $p$. On notera $\wp$
+l'endomorphisme $\FF_p$-linéaire de $A$ défini par $\wp(x)=x^p-x$.
+\end{dfn}
+
+\begin{thm}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$.
+\begin{itemize}
+\item Si $a\in k-\wp(k)$, le polynôme $P_a=X^p-X-a$ est irréductible, séparable ;
+son corps de rupture
+est galoisien sur $k$, de groupe cyclique $\ZZ/p$. Plus précisément,
+si $\alpha:=\sqrt[\wp]{a}$ est une racine de $P$ dans une extension de $k$,
+la sous-extension $k(\alpha)/k$ est galoisienne, de groupe de Galois engendré
+par l'élément d'ordre $p$, $c:\alpha\mapsto \alpha+1$.
+Toute extension de décomposition de $P$ est notée $k(\sqrt[\wp]{a})/k$.
+\item Réciproquement, toute extension de $k$ de groupe de Galois
+$\ZZ/p$ s'obtient ainsi. De plus, la classe de $a$ est bien définie
+dans $k/\wp(k)$.
+\item Le morphisme
+$$
+\begin{array}{l}
+k/\wp(k)\iso \Hom_{\mathrm{cont.}}(G_k,\ZZ/p) \\
+a \mapsto \big(\varphi_a:s\mapsto s(x)-x\big)
+\end{array}
+$$
+où $x$ est une racine de $x^p-x=a$,
+est un isomorphisme.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+
+
+\begin{rmrs}
+\begin{itemize}
+\item Il existe une variante de cette construction qui décrit les extensions
+de groupe $\ZZ/p^n$ pour $n\geq 1$. Elle s'appuie sur les vecteurs de Witt tronqués
+$\mathsf{W}_n(k)$. (Cf. \cite{Algebre@Lang}, p330 [version anglaise] et \cite{CL@Serre})
+
+\item On déduit du dernier énoncé que $\ga(k_p/k)\iso (k/\wp(k))^{\vee}$
+où $k_p$ est le composé des extensions abéliennes de $k$ de groupe de type
+$(p,\dots,p)$ et où l'on note $G^{\vee}$ le dual (compact)
+de Pontryagin $\Hom(G,S^{1})$ d'un groupe (discret) $G$, muni de la topologie
+compacte-ouverte\footnote{C'est-à-dire de la convergence uniforme sur les compacts.}.
+\end{itemize}
+\end{rmrs}
+
+\begin{proof}
+Soient $a$ comme dans l'énoncé, $R\in k[X]$ un facteur irréductible de $P_a$
+et $\alpha$ une racine de $P_a$ dans une clôture séparable $k\sep$ de $k$.
+Comme $\FF_p\subset k$ est le noyau de $\wp$, les $\alpha+\lambda$, $\lambda\in \FF_p$
+sont également des racines de $P_a$. Elles sont distinctes donc ce dernier
+se factorise sur $k\sep$ est $\prod_{\lambda\in \FF_p}(X-(\alpha+\lambda))$.
+Ainsi, $R=\prod_{\lambda\in X\subset \FF_p} (X-(\alpha+\lambda))$, pour une partie $X$
+de cardinal $\deg(R)=r$. Par expansion, le coefficient de $X^{r-1}$ dans $R$ est
+égal à $-r\cdot\alpha+(\text{élément}\in \FF_p)$. Cela force $r\alpha$ à appartenir
+à $k$ ; ce n'est possible que si $r=p$ (auquel cas $r\cdot\alpha=0$).
+Le polynôme $P_a$ est donc irréductible et séparable. (Remarquons à ce propos
+que la dérivée $P_a'=-1$, ce qui démontre alternativement la séparabilité de $P_a$.)
+Enfin, l'extension $k(\alpha)$, étant normale, est galoisienne : les conjugués
+de $\alpha$ sont les $\alpha+\lambda$, $\lambda\in \FF_p$. Cela force le groupe
+de Galois à être comme indiqué.
+
+Réciproquement, soit $K/k$ une extension de groupe de Galois $G$
+cyclique d'ordre $p$.
+Soit $f:G\iso \ZZ/p\subset K$ un isomorphisme (correspondant au choix
+d'un générateur $c$ du groupe) ; tautologiquement, on a
+$$f(gg')=f(g)+g(f(g'))=f(g)+f(g')$$ \cad : $f$ est un \emph{cocycle}
+(pour la structure additive de $K$ cette fois).
+S'il existe $\alpha\in K$ tel que $f(g)=g(\alpha)-\alpha$ (\cad
+$f$ est un \emph{cobord}) pour
+tout $g\in G$, on aura en particulier $c(\alpha)=\alpha+1$
+si bien que $k(\alpha)=K$ ($\alpha$ n'est pas invariant).
+Comme $c\big(\alpha^p-\alpha\big)=(\alpha^p+1^p)-(\alpha+1)=\alpha^p-\alpha=:a$,
+ce dernier appartient à $k$ et $\alpha$ est donc une racine
+du polynôme $X^p-X-a$.
+
+Il reste donc a montrer que tout cocycle comme plus haut est un cobord
+(\cad « $\HH^1(G_{K/k},K)=\{\star\}$ »), ceci en supposant seulement que
+$K/k$ est une extension fini galoisienne (\cad non nécessairement cyclique).
+Une façon de procéder
+consiste à adapter la démonstration élémentaire de la trivialité
+de $\HH^1(G_{K/k},K^{\times})$ donnée plus haut (\ref{90}, voir \cite{Algebre@Lang}, chap. VI, §6 pour une démonstration) ou bien utiliser le résultat de la section
+suivante. %(cf. \emph{loc. cit.},).
+On peut également utiliser
+le fait que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_2(K))=\{*\}$ ; c'est ce que nous allons faire.
+Soit $f:G\ra K$ un cocycle à valeur dans $K$. Soit
+$\varphi:G\ra \mathrm{GL}_2(K)$ l'application
+$$
+g\mapsto \left(
+\begin{array}{ll}
+1 & f(g)\\
+0 & 1
+\end{array}
+\right)
+$$
+Un petit calcul montre que c'est un $1$-cocycle. Il existe donc une matrice
+$A\in \mathrm{GL}_2(K)$ telle que $g(A)\varphi(g)=A$ pour tout $g\in G$.
+Si
+$$
+A=\left(
+\begin{array}{ll}
+a & b\\
+c & d
+\end{array}
+\right)\in \mathrm{GL}_2(K)
+$$
+on a donc, pour tout $g\in G$ :
+$$
+\left( \begin{array}{ll}
+g(a) & g(b) \\
+g(c) & g(d)
+\end{array}
+\right)
+=
+\left(
+\begin{array}{ll}
+a & af(g)+b\\
+c & cf(g)+d
+\end{array}
+\right)
+$$
+Il est résulte immédiatement que $a,c\in k$
+et que $g(b)=af(g)+b$ pour tout $g\in G$. Si $a\neq 0$,
+on a donc $f(g)=g(ba^{-1})-ba^{-1}$. De même, si $c\neq 0$,
+$f$ est un $1$-cobord. Comme $\mathrm{d\acute{e}t}(A)\neq 0$,
+$a$ et $c$ ne peuvent être simultanément nuls. CQFD.
+\end{proof}
+
+\begin{rmr}
+À défaut de prétendre, à tort, que cette démonstration du fait
+que $\HH^1(G_{K/k},K)=\{\star\}$ est la plus courte possible, nous avons vu
+ici comment exploiter une information pour un groupe $\mathrm{GL}_2$
+pour en déduire une propriété d'un autre groupe (ici un sous-groupe).
+Dans le même genre d'idée, nous proposons au lecteur de démontrer
+que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{SL}_2(K))$ est trivial
+en utilisant le fait que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_2(K))$ l'est.
+Pour une vue d'ensemble de ces résultats, ainsi que beaucoup d'autres,
+on renvoie le lecteur à \cite{CG@Serre}.
+\end{rmr}
+
+\section{Le théorème de la base normale, d'après N.~Bourbaki}\label{base-normale}
+
+Soient $k$ un anneau et $G$ un groupe. Rappelons que l'on note $k[G]$ l'algèbre
+de groupe $G$. Par définition, c'est le $k$-module libre $k^{(G)}$,
+de base $[g]$, $g\in G$, dont le produit est défini par $[g][g']=[gg']$,
+étendu par $k$-linéarité. Soit $M$ un $k$-module. Rappelons également
+que la donnée d'une action $k$-linéaire du groupe $G$ sur $M$ (\cad
+un morphisme $G\ra \Aut_k(M)$)
+est équivalente à la donnée d'une structure de $k[G]$-module sur $M$.
+
+\begin{thm}
+Soit $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$. Il existe $x\in K$ tel que
+les $g(x)$, pour $g\in G$, forment une base de $K$ sur $k$. En d'autres termes,
+le $k[G]$-module $K$ est libre de rang $1$.
+\end{thm}
+
+La démonstration procède en
+deux étapes : on « monte », par tensorisation $-\otimes_k K$,
+de $k$ à $K$ ---
+où le théorème est relativement transparent --- puis on « redescend » l'énoncé obtenu
+sur $K$, à $k$.
+
+Commençons par la deuxième étape, qui présente un intérêt indépendant du théorème.
+
+\begin{prp}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre, \emph{non nécessairement commutative}.
+Soient $M_1$, $M_2$ deux $A$-module à gauche de dimensions finies sur $k$.
+Alors $M_1\isononcan_A M_2$ si et seulement si il existe une extension
+$K/k$ telle que $M_1\otimes_k K \isononcan_{A\otimes_k K} M_2\otimes_k K$.
+\end{prp}
+($M_i\otimes_k K$ est muni d'une structure de $A\otimes_k K$-module à gauche
+via $(a\otimes \lambda)\cdot (m\otimes \lambda')=(am\otimes \lambda \lambda')$.)
+
+Appliquons cette proposition à $A=k[G]$, $M_1=A$ et $M_2=K$. (Rappelons que l'on veut
+montrer que $K$ est isomorphe comme $A$-module à $A$.)
+Cela revient donc à vérifier que le $\big(K[G]=k[G]\otimes_k K\big)$-module
+$K\otimes_k K$ est libre de rang $1$. Ici, $\lambda g\in K[G]$ agit par
+$\lambda g\cdot a\otimes b=g(a)\otimes \lambda b$. Cela résulte
+de \ref{auto décomposition}.
+
+
+\begin{proof}[Démonstration de la proposition dans le cas où $k$ est infini]
+(Le cas où $k$ est fini est traité dans \ref{Lam} [un livre de Lam],\P 19.5
+mais nous ne nous en servirons pas.)
+Soient $M_1,M_2$ comme plus haut, que l'on suppose de même dimension sur $k$, sans
+quoi ils ne peuvent être isomorphes sur $A$ ou $A_K:=A\otimes_k K$.
+On cherche donc $\phi\in \Hom_A(M_1,M_2)$
+qui soit inversible, \cad de déterminant sur $k$ non nul. Le $k$-espace vectoriel
+$\Hom_A(M_1,M_2)$ est un sous-espace vectoriel de $\Hom_k(M_1,M_2)$ ; il est donc de
+dimension finie et possède en conséquence une base $\phi_1,\dots,\phi_r$.
+Il existe donc un morphisme $\phi$ comme plus haut si et seulement si on peut trouver
+$\lambda_1,\dots,\lambda_r\in k$ tels que
+$$\det(\lambda_1\phi_1+\cdots+\lambda_r\phi_r)\neq 0.$$
+\begin{lmm2}
+Pour toute extension $K/k$, $\Hom_A(M_1,M_2)\otimes_k K\iso \Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K})$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}[Démonstration du lemme](Rappelons que l'on suppose
+$M_1$ et $M_2$ de dimensions finies sur $k$.)
+Soit $X\subset A$ un sous-ensemble \emph{fini} tel que l'image de $X$ dans $\mathrm{End}_k(M_1)$
+engendre l'image de $A$, comme $k$-espace vectoriel.
+Sous cette hypothèse, la suite
+$$
+\xymatrix{
+0 \ar[r]& \Hom_A(M_1,M_2) \ar@{^(->}[r] & \Hom_k(M_1,M_2) \ar[r] & \Hom_k(M_1,M_2)^{(X)} \\
+& & f \ar[r] & \big(f(a\cdot)-af(\cdot)\big)_{a\in X}
+}
+$$
+est exacte. De plus, $\Hom_k(M_1,M_2)\otimes_k K\iso \Hom_K(M_{1K},M_{2K})$
+(cf. \ref{localisation-changement de base plat et pf}
+[À écrire : sorites pour l'appendice])
+et $X\subset A_K$ engendre également $A_K$ dans $\End_K(M_{1K})$.
+Ainsi, on a un diagramme commutatif de suites exactes :
+$$
+\xymatrix{
+0 \ar[r]& K\otimes_k\Hom_A(M_1,M_2) \ar[d] \ar@{^(->}[r] & K\otimes_k\Hom_k(M_1,M_2) \ar[d]
+\ar[r] &
+K\otimes_k \Hom_k(M_1,M_2)^{(X)} \ar[d]\\
+0 \ar[r]& \Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K}) \ar@{^(->}[r] & \Hom_K(M_{1K},M_{2K}) \ar[r] &
+\Hom_K(M_{1K},M_{2K})^{(X)}
+}
+$$
+où les deux dernières flèches verticales sont des isomorphismes.
+La première flèche verticale est donc également un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+Ainsi, les $\phi_i\otimes_k K$ forment une base de $\Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K})$
+sur $K$. Supposons qu'il existe une famille $(\Lambda_i)\in K^r$
+telle que le déterminant ci-dessus soit non nul. Ce dernier, vu comme polynôme
+à coefficient dans $k$ est donc non identiquement nul ; puisque $k$ est infini,
+il prend une valeur non nul en un point $(\lambda_i)\in k^r$.
+
+
+Il nous reste donc à démontrer le théorème dans le cas particulier où $k$ est fini.
+Supposons donc maintenant $k$ fini, de cardinal $q$, et $K/k$ (galoisienne) de degré $r$.
+%Un $x\in K$ tel que les $x,\FR_{k}(x)=x^q,\dots,\FR^{r-1}_{k}(x)=x^{q^{r-1}}$
+%soient linéairement indépendants sur $k$ est nécessairement une
+%racine primitive $(q^r-1)$-ième de l'unité :
+%dans le cas contraire, il existerait $i<r$ tel que $x^{q^i}$ soit égal égal $x$.
+%Voyons que réciproquement, une telle racine primitive de l'unité
+%(également générateur multiplicatif du groupe $K^{\times}$) convient.
+Exploitant le fait que $\ga(K/k)$ est ici cyclique (d'ordre $r$), voyons
+$K$ comme un $k[X]$-module, où $X$ agit via $\FR_{k}$. Montrons que l'annulateur $\got{a}\subset
+k[X]$ de $K$ est l'idéal $(X^r-1)$. Soit $a\in \got{a}$ ; par
+division euclidienne, $$a=\lambda_0+\lambda_1 X+\cdots \lambda_{r-1} X^{r-1}+(X^r-1)b,$$
+où $b$ est un polynôme et les $\lambda_i$, $0\leq i \leq r-1$ sont dans $k$.
+Finalement l'application $k$-linéaire $\lambda_0+\lambda_1 \FR_k+\cdots+\lambda_{r-1} \FR_k$
+est nulle. D'après \ref{indep linéaire}, cela entraîne les égalités
+$\lambda_0=\cdots=\lambda_{r-1}=0$, \cad $a\in (X^r-1)$ ou encore $\got{a}=(X^r-1)$.
+Le polynôme $X^r-1$ est le ppcm des annulateurs des éléments de $K$, et donc d'un
+nombre fini d'éléments $x_1,\dots,x_n$ de
+$K$\footnote{Ici $K$ est fini mais cela est vrai plus généralement
+car $\dim_k K$ est finie.}. Pour chaque $i\in [1,n]$, soit $p_i$ l'annulateur de $x_i$.
+Par hypothèse $X^r-1=\mathrm{ppcm}_i\,p_i$. Si $p_i=r_i q_i$, l'annulateur
+de $q_i(x_i)$ est $r_i$. On peut donc supposer les $p_i$ premiers entre eux.
+Dans ce cas, $y:=p_1(x_1)+\cdots+p_n(x_n)$
+a pour annulateur $\mathrm{ppcm}_i\,p_i$. Ainsi les
+$y,X\cdot y=\FR_k(y),X^2\cdot y=\FR_k(y),\dots,X^{r-1}\cdot y=\FR_k(y)$ sont linéairement
+indépendants sur $k$, CQFD.
+%[DÉMO À LA MAIN ?]
+\end{proof}
+
+\begin{rmr2}
+Bien entendu, on ne prétend pas que $K$, en tant que $k$-algèbre
+soit isomorphe à $k[G]$. Cette dernière n'est d'ailleurs pas intègre pour $G$ fini non
+trivial. Sa structure est d'ailleurs intimement liée aux représentations irréductibles
+du groupe $G$.
+\end{rmr2}
+
+\section{Résolubilité par radicaux}
+
+Dans cette section, nous allons démontrer un théorème, dû à É.~Galois, qui fut sa
+principale motivation pour établir sa théorie.
+
+\begin{dfn}
+Soient $k$ un corps et $k\sep$ une clôture séparable. On note
+$k^{\mathrm{rad}}$ le plus petit sous-corps de $k\sep$ qui soit stable
+par les opérations $\sqrt[n]{\ }$, $(n,\mathrm{car}.k)=1$ et également $\sqrt[\wp]{\ }$ si
+$\mathrm{car}.k>0$. C'est une clôture \emph{radicale} de $k$.
+\end{dfn}
+
+\begin{thm}\label{extension radicale}
+Soit $K/k$ une extension galoisienne finie contenue dans $k\sep$. Alors
+$K\subset k^{\mathrm{rad}}$ si et seulement si le groupe $G_{K/k}$ est \emph{résoluble}.
+\end{thm}
+
+Rappelons qu'un groupe est dit résoluble (\cite{Bourbaki})
+s'il existe une filtration finie croissante
+$(G_i)$ de $G$ telle que, pour les indices adéquats,
+$G_i\triangleleft G_{i+1}$ et $G_{i+1}/G_i$ soit abélien. Cela entraîne en particulier
+que les sous-groupes sont en fait distingués dans $G$. Si $G$ est fini, on peut
+supposer les quotients cycliques d'ordre premier.
+
+\begin{proof}
+Supposons $K/k$ galoisienne finie de groupe de Galois $G$ résoluble et écrivons
+$\#G=p^{\alpha}n$ où $p=\mathrm{exp.car.}k$ est premier à $n$. Soit $k_n=k(\zeta_n)$
+l'extension (Galoisienne) de $k$ engendrée par une racine primitive $n$-ième de l'unité.
+Soit $\tilde{G}$ le groupe de Galois de l'extension $K_n=K k_n/k_n$. On a vu
+en \ref{fonctorialité} que $\tilde{G}$ s'injecte canoniquement dans $G$ ; il est
+en particulier résoluble. Il suffit donc de montrer que $K_n\subset k^{\mathrm{rad}}$.
+Ainsi, il suffit de démontrer le théorème dans le cas particulier où $k$ contient
+les racines de l'unité d'ordre divisant l'ordre de $G$. (Ceci afin d'utiliser la théorie
+de Kummer.) Nous ferons donc cette hypothèse supplémentaire.
+Dans ce cas, la filtration de $G$ par des sous-groupes $\{1\}=G_0\leq
+G_1\leq \cdots G_r=G$ induit une filtration de $K/k$ en
+$$k=K_r\subset \cdots K_i=K^{G_i} \cdots \subset K_{r-1} \subset
+K_1 \subset K_0=K.$$ Le groupe de Galois de $K/K^{G_i}$ est $G_i$ donc
+et celui de $K^{G_i}/K^{G_{i+1}}$ est $G_{i+1}/G_i$, que l'on peut supposer cyclique
+d'ordre premier $\ell$. Il résulte des théories de Kummer et d'Artin-Schreier
+que $K_i=K_{i-1}(\sqrt[\ell]{a})$, $a\in K_{i-1}$, où soit $\ell\neq p$ est un nombre premier
+soit $\ell=\wp$.
+
+
+Réciproquement, si $K\subset k^{\mathrm{rad}}$. Il existe une suite d'extensions
+$k\subset k_1 \subset \cdots \subset k_r$ du type précédent telle que $K\subset k_r$.
+Par la correspondance de Galois encore, le groupe de Galois de l'extension $k_r/k$ est
+résoluble et se surjecte sur celui de $K/k$. Ce dernier est donc résoluble.
+\end{proof}
+
+Que $K/k$ soit galoisienne n'est pas essentiel : il importe seulement
+qu'elle soit séparable et que le groupe de Galois de sa
+clôture galoisienne soit résoluble. Cela résulte du théorème précédent
+et du lemme suivant :
+
+\begin{lmm}
+Soit $K/k$ séparable finie. Alors, $K\subset k^{\mathrm{rad}}$ si et seulement si il
+en est ainsi de la clôture galoisienne de $K$ dans $k\sep$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Supposons $K\subset k^{\mathrm{rad}}$. Il est donc contenu dans
+l'aboutissement $k_r$ d'une tour d'extensions $k_{i+1}=k_i(\sqrt[n_i]{a})$ où
+$n_i\in \NN$, que l'on peut supposer premier à $p$, ou $n_i=\wp$.
+Dans le dernier cas, l'extension correspondante est galoisienne. Dans le premier
+cas elle ne l'est pas nécessairement mais si l'on introduit $k'=k(\mu_{\prod n_i}(k\sep))$,
+on voit immédiatement que $k'/k$ est galoisienne et que $k'k_{i+1}/k'k_{i}$ l'est
+également. Ainsi, $K$ est contenu dans $k'k_r$ qui est bien galoisienne
+sur $k$ et contenue dans $k^{\mathrm{rad}}$. La conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+Étant donné un corps $k$, on dira qu'une « équation » $f\in k[X]$
+est résoluble par radicaux si les racines de $f$ sont contenues
+dans $k^{\mathrm{rad}}$. (En particulier, $f$ est séparable.)
+Cela signifie que l'on peut écrire les racines
+à partir des coefficients en s'autorisant à extraire des racines, éventuellement
+$\wp$-ièmes, ainsi que les autres opérations algébriques classiques.
+
+\begin{crl}[N.~Abel]
+L'équation générale de degré $n\geq 5$ sur un corps quelconque n'est pas résoluble
+par radicaux.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+Le groupe de Galois de l'extension générale :
+$$
+X^n-\sigma_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n\in k(\sigma_1,\dots,\sigma_n)[X]
+$$
+est le groupe symétrique $\got{S}_n$. Celui-ci n'est pas résoluble pour $n\geq 5$.
+(En effet, le groupe alterné correspondant est simple.)
+Cf. \cite{}.
+\end{proof}
+%[PAGE 14' zappée !]
+Remarquons qu'il n'est \emph{a priori} pas évident que le théorème d'Abel
+entraîne qu'il existe ne serait-ce qu'une équation à coefficients rationnels
+qui ne soit pas résoluble : on pourrait penser qu'il n'existe pas de formule
+valable pour toutes les équations mais que pour chaque polynôme, il existe une
+formule adaptée. Il n'en est rien.
+
+\begin{thm}\label{S_n}
+Soit $n\geq 1$ un entier. Il existe un polynôme unitaire $f_n$ de degré $n$ à coefficients
+rationnels de Galois groupe $S_n$.
+\end{thm}
+
+D'une certaine façon, la majeure partie du reste de l'ouvrage consiste
+à présenter les idées qui nous permettrons
+de donner trois démonstrations totalement différentes
+de ce théorème : une par « réduction modulo $p$ » \ref{S_n-1} (\cad via
+$\QQ\supset \ZZ\surj \FF_p$), une par « spécialisation » \ref{S_n-3} (\cad via $\QQ[t]\surj \QQ$)
+et enfin une démonstration $p$-adique \ref{S_n-2} (\cad via $\QQ\hra \QQ_p$), avec l'hypothèse
+supplémentaire que $4$ ne divise pas $n$ mais l'avantage d'écrire explicitement le polynôme.
+
+\section{Comportement par spécialisation}\label{spécialisation}
+Cette section peut-être omise en première lecture.
+Soient $A$ un anneau intègre, intégralement clos\footnote{Par
+exemple $A=\ZZ$ ou $A=\QQ[T]$.} (cf. \ref{normal}), $K$ son corps des fractions.
+Soient $$f=X^d+\cdots+a_0\in A[X]$$ un polynôme séparable
+sur $K$, et $L=K(X_f)$ un corps de décomposition de $f$, où $X_f$ est
+l'ensemble des racines de $f$ dans $L$. Notons $G_f$ le groupe
+de Galois de l'extension $L/K$.
+Soit $\MM_A$ un idéal maximal de $A$, de corps résiduel $\kappa:=A/\MM_A$.
+Soit $\lambda=\kappa(X_{\sur{f}})$ un corps de
+décomposition de $\sur{f}:=f\ \mathrm{mod}\ \MM_A\in \kappa[X]$
+sur $\kappa$. \emph{Supposons l'extension finie $\lambda/\kappa$
+séparable} ; notons $G_{\sur{f}}$
+son groupe de Galois.
+
+\begin{prp}Sous les hypothèses précédentes,
+il existe un sous-groupe (non canonique) $D\leq G_{f}$,
+appelé \emph{sous-groupe de décomposition} et une \emph{surjection}
+naturelle $D\surj G_{\sur{f}}$.
+Si l'on suppose $\sur{f}$ \emph{séparable}, c'est un \emph{isomorphisme}.
+Autrement dit, dans ce cas, \emph{le groupe de Galois de l'équation réduite $\sur{f}$
+s'identifie (non canoniquement) à un sous-groupe du groupe de Galois de l'équation $f$}.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Soit $B:=A[X_f]$ la $A$-sous-algèbre de $L$ engendrée par les racines de $f$.
+On veut exprimer $\lambda$ comme un quotient de cette algèbre. Supposons qu'il existe
+un idéal maximal $\MM_B$ de $B$ au-dessus (via l'application $\SP(B)\ra \SP(A)$)
+de $\MM_A$. Soit $\lambda'$ le quotient $B/\MM_B$ ; c'est une extension de $\kappa=A/\MM_A$ et
+le polynôme $\sur{f}$ est scindé sur $\lambda'$ : l'image $X'_f$ de $X_f$ dans $\lambda'$
+est l'ensemble
+des racines. De plus, $\lambda'$ est engendré par $X'_f$ sur $\kappa$. C'est donc un corps
+de décomposition, $\kappa$-isomorphe à $\lambda$.
+Ainsi, moyennant l'existence de $\MM_B$, on a montré qu'on a un diagramme commutatif :
+$$
+\xymatrix{
+L \supset B = A[X_f] \ar@{.>>}[r] \ar@<4ex>[d]^{G_f} & \lambda=\kappa[X_{\sur{f}}] \\
+K \supset A \ar@{-}[u] \ar@{->>}[r] & \kappa \ar@{-}[u]
+}
+$$
+L'existence de $\MM_B$ est équivalente au fait que l'anneau quotient $B/\MM_A B$ soit
+non nul. Ce dernier est nul si et seulement si $B=\MM_A B$, \cad si l'on peut
+écrire $1_B=m_A b$ où $m_A\in \MM_A$ et $b\in B$. En prenant la norme $N_{L/K}$
+on obtient $1_A=m_A^n N_{L/K}(b)$ où $n=[L:K]$ et $N_{L/K}(b)$, entier sur $A$
+(comme produit d'éléments entiers) et dans $K$ (c'est une norme), est nécessairement
+un élément de l'anneau $A$, intégralement clos par hypothèse. On aurait donc $1_A\in
+\MM_A$, ce qui est absurde.
+
+Dans la situation du diagramme précédent, considérons
+$$
+D:=\{g\in G_{f}, g\MM_B\subset \MM_B\}\leq G_{f}.$$
+On définit alors :
+
+$$
+\begin{array}{l}
+D\ra \ga(\lambda/\kappa)\\
+\sigma \mapsto \sur{\sigma}:\big(b \mod \MM_B \mapsto \sigma(b) \mod \MM_B\big).
+\end{array}
+$$
+(Le morphisme $\sur{\sigma}$ est bien défini.)
+
+On va montrer que ce morphisme est une surjection.
+\begin{lmm}
+Pour tout $\beta\in \lambda$, il existe $b\in B$ tel que $b\mod \MM_B=\beta$
+et $b\in \sigma(\MM_{B})$ pour tout $\sigma\in G_{f}-D$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Soient $\MM_1,\dots,\MM_r$ les différentes images $\sigma(\MM_B)$ pour $\sigma\notin D$.
+Il s'agit d'idéaux maximaux de $B$ car tout automorphisme
+$\sigma$ de $B$ induit un isomorphisme $B/\MM_B\ra \sigma(B)/\sigma(\MM_B)=B/\sigma(\MM_B)$
+; par le théorème chinois, l'application
+$$
+B\ra B/\MM_B\times B_{\MM_1}\times\cdots\times B_{\MM_r}
+$$
+est donc surjective.
+Un $b\in B$ relevant $(\beta,0,\dots,0)$ répond à la question.
+\end{proof}
+
+Soient maintenant $\beta\in \lambda$ un élément primitif de l'extension séparable
+$\lambda/\kappa$,
+et un $b\in B$ comme plus haut.
+Soit $P=\prod_{g\in G_{f}} (X-g(b))\in K[X]\cap B[X]=A[X]$. La réduction $\sur{P}\in \kappa[X]$
+de $P$ modulo $\MM_A$ s'annule en $\beta$ ; par hypothèse sur $b$, les racines non
+nulles de $\sur{P}$ sont les $\sur{\sigma}(\beta)$ pour $\sigma\in D$. Ainsi, tout
+conjugué de $\beta$ est de cette forme. La morphisme $D\ra G_{\sur{f}}$ est donc surjectif.
+
+Supposons maintenant $\sur{f}$ séparable.
+Le morphisme précédent est alors
+injectif car si $\sigma(x)\equiv x \mod \MM_B$ pour tout $x\in X_f$,
+les racines de $\sur{f}$ étant simples (donc $X_{f}\iso X_{\sur{f}}$),
+on a alors $\sigma(x)=x$ pour tout $x\in X_{f}$. Comme $X_f$ engendre $L$ sur $K$,
+l'automorphisme $\sigma$ est l'identité.
+\end{proof}
+
+Le morphisme est en fait surjectif sans l'hypothèse de séparabilité sur $\lambda/\kappa$,
+cf. \cite{CL@Serre}, \textsc{i}, prop.~20.
+
+Si l'on part de l'équation générique $f_{g\acute{e}n,n,k}\k(\{\sigma_i\}_{i\leq n}[X]$
+de degré $n$, de groupe $S_n$,
+la question de savoir pour quelles spécialisations des coefficients $\sigma_i\mapsto
+s_i\in k$ le groupe de Galois de $\sur{f}$ (supposée séparable) est encore le groupe symétrique
+entier est délicate.
+En \ref{degré 4} et \ref{degré 5}, nous avons vu que cela se traduit par
+l'absence de racines à des équations
+associées (les résolvantes introduites dans \emph{loc. cit.}),
+dont les coefficients sont des polynômes en les coefficients de l'équation
+originale.
+
+\section{Un critère pour $G_f=\got{S}_p$, $p$ premier, et $f$ de degré $p$}
+
+\begin{lmm}
+Soit $G\leq \got{S}_p$ un sous-groupe transitif\footnote{C'est-à-dire agissant
+transitivement sur $[1,p]$.}. Si $G$ contient une transposition, alors $G=\got{S}_p$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Comme $G$ est transitif, $p|\# G$. D'après un théorème de Cauchy, il contient
+donc un élément d'ordre $p$ ; c'est nécessairement un $p$-cycle que l'on peut
+supposer être $c=(1,2,3,\dots,p)$, quitte à renuméroter.
+Comme pour tout $i\neq 1$, on a $\langle c,(1i) \rangle=\got{S}_p$,
+la conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+On en déduit la proposition suivante.
+
+\begin{prp}
+Soit $f\in \QQ[X]$ un polynôme irréductible de degré $p$ ayant exactement deux
+racines non réelles dans $\CC$. Alors, $G_f=\got{S}_p$.
+\end{prp}
+
+En effet, l'automorphisme induit par la conjugaison complexe permute
+les deux racines non réelles et laisse invariantes les autres.
+
+\begin{exm}
+Soit $f=X^5-6X+3\in \QQ[X]$. C'est un polynôme irréductible par exemple d'après
+\ref{Eisenstein} ou bien l'irréductibilité sur $\FF_5$ (que l'on peut vérifier
+à l'aide de \ref{Berlerkamp}).
+Soit $\alpha\in \{\pm \sqrt[4]{\frac{6}{5}}\}$
+une racine réelle de $f'$. On a $5f(\alpha)=-24\alpha+15$. Comme $|\alpha|>1$,
+$\mathrm{sgn}(f(\alpha))=-\mathrm{sgn}(\alpha)$. Ainsi, les deux extréma locaux
+de $f$ sont de signes opposés et $f$ a trois racines réelles.
+Finalement
+$$
+\ga(X^5-6X+3/\QQ)=\got{S}_5.
+$$
+En particulier, cette équation n'est pas résoluble par radicaux.
+\end{exm}
+
+\section{Calculs explicites des racines}
+
+\subsection{Équations de degré $3$, en caractéristique $>3$}\label{racines équation degré 3}
+
+Soient $k$ un corps de caractéristique différente de $2$ ou $3$
+et $g$ un polynôme unitaire séparable de degré $3$ à coefficients dans $k$.
+Choisissons une clôture séparable $k\sep$ de $k$ et notons $X_g$ l'ensemble
+$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ des racines de $g$ dans $k\sep$.
+
+Supposons $g$ irréductible ; si $\Delta\in k$ est le discriminant
+de $g$, l'extension $k(X_g)/k(\sqrt{\Delta})$ est une donc une extension de degré $3$ et
+notons $c$ un générateur du groupe de Galois.
+Soit $j\in k\sep$ une racine primitive cubique de l'unité. Il résulte de la théorie de Kummer
+que $k(X_g,j)=k(\sqrt{\Delta},j)(\sqrt[3]{x})$ pour un $x\in k(\sqrt{\Delta},j)$ à trouver.
+Un tel $x\neq 0$ est caractérisé par le fait que $c(x)=jx$ ou $c(x)=j^2x$ ; cet $x$ sera
+automatiquement un élément primitif, de cube dans le corps de base $k(\sqrt{\Delta},j)=:k_0$.
+
+Afin de simplifier les calculs, on supposera que la somme $\sigma_1$ des
+racines de $g$ est nulle. On ramène le cas général à ce cas particulier
+en changeant $g(T)$ en $g(T+\frac{\sigma_1}{3})$ ; c'est possible
+$3$ est inversible dans $k$. Ainsi on écrira classiquement
+$$
+g(X)=X^3+pX+q
+$$
+
+Les racines $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ ne sont pas linéairement indépendantes sur
+$k_0$ (la preuve en est que leur somme est nulle) mais il existe
+$\lambda,\mu\in k_0$ tels que $\alpha_1+\lambda\alpha_2+\mu \alpha_3$
+soit un élément primitif de $k(X_g)$ (cf. \ref{k infini élément primitif}
+ou bien la démonstration qui suit).
+
+Il est donc naturel de chercher $x$ de la forme $\alpha_1+\lambda \alpha_2 +
+\mu \alpha_3$. Comme l'automorphisme $c$ permute les racines, l'élément
+$$
+u:=\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3
+$$
+satisfait $c(u)\in \{ju,j^2u\}$. Si $u$ est non nul (ce qui se révélera être vrai),
+$k_0(\sqrt[3]{u})=k_0(X_g)$. Il reste à calculer $u$ et exprimer
+les racines en fonctions de $u$.
+Remplaçant $j$ par son conjugué $j^2$, on introduit :
+$$
+v:=\alpha_1+j^2\alpha_2+j\alpha_3
+$$
+Il résulte immédiatement de ces deux définitions et du fait que
+$$
+0=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3
+$$
+que $$u+v=3\alpha_1$$ et, plus généralement, par l'inversibilité de la matrice
+de Vandermonde construite sur $1,j,j^2$ (ou bien d'un rapide calcul explicite),
+que les $\alpha_i$ ($1\leq i \leq 3$)
+s'expriment linéairement en $u$ et $v$ (avec des coefficients dans $k(j)$).
+Remarquons en passant que
+$$uv=-3p ;$$
+en particulier $v,u\neq 0$.
+Calculons $u^3$, qui appartient à $k_0$. Introduisons, pour le meilleur
+ou pour le pire, une notation. Si $H\leq \got{S}_3$ est un sous-groupe,
+celui-ci agit sur $k_0[X_1,X_2,X_3]$ par permutation
+des variables. Pour $f\in k_0[X_1,X_2,X_3]$, notons
+$$\mathrm{Sym}^+_H(f(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))=
+\sum_{g\in H\cdot f} g(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$$
+la somme sur les $H$-orbites de $f$ ; de même pour $\mathrm{Sym}^\times$ pour
+le produit.
+Avec cette convention,
+$$
+u^3=\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}(\alpha_1^3+3j \alpha_1^2 \alpha_2+3j^2 \alpha_1 \alpha_2^2)+6
+\mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1).
+$$
+Comme $$\sqrt{D}:=\delta:=-\mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1-\alpha_2)=
+\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^2 \alpha_2) -
+\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1\alpha_2^2),$$
+on en tire $\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}\alpha_1^2 \alpha_2=
+\frac{1}{2}(\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)+\delta)$, et
+$\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}\alpha_1 \alpha_2^2=
+\frac{1}{2}(\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)-\delta).$
+Finalement, comme $j+j^2=-1$ et $j-j^2=\frac{\sqrt{-3}}{2}$\footnote{Ce par quoi
+on entend que $2(j-j^2)$ est une racine carrée de $-3$, dénotée $\sqrt{-3}$.},
+$$u^3=\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^3)-
+\frac{3}{2}\cdot \mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)+
+6\cdot \mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1)+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta.$$
+Il reste à calculer les expressions
+$\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^3)$ et
+$\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)$
+en fonction des fonctions symétriques élémentaires. Se rappelant que
+$$(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3)=X^3+pX+q,$$
+on trouve après un court calcul (exercice)\footnote{L'absence de terme en $p$
+dans la formule ci-dessous résulte \emph{a priori} de considérations de degrés
+($u^3$ est de degré $3$ en les racines) et du fait que $p\sigma_1$, de degré $3$
+également, est nul.}
+$$u^3=-\frac{27}{2}q+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta ; $$
+changeant $j$ en $j^2$, on change la racine carrée $\sqrt{-3}$ en sa conjuguée
+$-\sqrt{-3}$ et ainsi,
+$$v^3=-\frac{27}{2}q-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta.$$
+On remarquera que ces quantités appartiennent bien à $k_0$.
+Enfin on rappelle (\ref{discriminant}), que $\delta^2=-4p^3-27q^2$.
+(Changer un choix de $\delta$ en un autre, échange $u^3$ et $v^3$.)
+
+Résumons. Soit $X^3+pX+q$ une équation de discriminant $D=-4p^3-27q^2\neq 0$
+sur un corps de caractéristique $\neq 2,3$. Soient $\delta$ une racine carrée de $D$
+dans $k\sep$ et $j$ une racine cubique primitive de l'unité dans $k$.
+Soit $u_1,u_2,u_3$ (resp. $v_1,v_2,v_3$) les racines cubiques de
+$-\frac{27}{2}q+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta$ (resp.
+$-\frac{27}{2}q-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta$).
+
+Choisissons $u_1,v_1$ de telle sorte que $u_1v_1=-3p$ : on peut faire un tel choix
+de trois façons différentes ; chacun correspond à la détermination de la
+numérotation des éléments sur $X_g$ (multiplier $u$ plus haut par $j$ revient
+à permuter les racines $\alpha_i$).
+
+Alors, $\alpha:=\frac{1}{3}(u_1+v_1)$ est une racine de l'équation.
+On aime parfois écrire cette formule :
+$$
+\alpha=\frac{1}{3}\big( \sqrt[3]{-\frac{27}{2}q+
+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\sqrt{-4p^3-27q^2}}
++ \sqrt[3]{-\frac{27}{2}q - \frac{3}{2}\sqrt{-3}\sqrt{-4p^3-27q^2}}\big).
+$$
+
+Les autres racines de $X^3+pX+q$ s'obtiennent en remplaçant $u_1$ par
+$j^ru_1$ et $v_1$ par $j^{-r}v_1$.
+
+%[EXPLIQUER COMMENT DEVINER QU'IL Y A UNE RELATION SUPPLÉMENTAIRE $UV=-3p$
+%D'OÙ ÇA SORT !? ]
+
+\subsection{Équations de degré $4$, en caractéristique $>4$}
+
+Nous allons procéder comme dans la section précédente pour calculer
+les racines d'une équation de degré $4$ sur un corps $k$ de caractéristique différente
+de $2$ ou $3$.
+Ici encore, il est commode de supposer
+que cette équation est de la forme : $f=X^4+pX^2+qX+r$. (On utilise
+le fait que $4$ est inversible dans $k$.)
+
+La théorie de Galois, et spécialement le théorème \ref{extension radicale},
+montre que cette question est intimement liée aux filtrations de Jordan-Hölder
+du groupe $\got{S}_4$.
+
+Dans le cas universel $G_{f}\iso \got{S}_{X_f}$,
+on a la correspondance suivante, où les degrés des extensions
+sont notés à droite :
+$$
+\xymatrix{
+\{1\} \ar@{-}[d] & K \\
+\ZZ/2 \ar@{-}[d] & K^{\ZZ/2} \ar@{-}[u]^2\\
+V_4=\{(12)(34),(13)(24),(14)(23),1\} \ar@{-}[d] & K^{V_4} \ar@{-}[u]^2\\
+\got{A}_4 \ar@{-}[d] & K^{\got{A}_4}=k(\sqrt{D}) \ar@{-}[u]^3 \\
+\got{S}_4 & k \ar@{-}[u]^2
+}$$
+où $V_4$ est \emph{un} sous-groupe « de Klein » de $\got{S}_4$. De façon générale,
+on notera, pour $\got{H}\leq \got{S}_{4}$, $K^{\got{H}}:=K^{\got{H}\cap G_{f}}$ ; avec
+cette convention, le diagramme ci-dessus vaut encore mais les degrés des extensions
+peut-être des diviseurs des degrés indiqués.
+
+On doit procéder de bas en haut. Notons $\sous{x}:=(x_1,\dots,x_4)$ les racines (ordonnées)
+de $f$ dans une clôture séparable de $k$.
+L'extension galoisienne de degré divisant $3$,
+$K^{V_4}/K^{\got{A}_4}$ est engendrée par n'importe quel élément de $k(X_f)$
+qui est l'évaluation en $\sous{x}$ d'un polynôme de $k(X_1,X_2,X_3,X_4)$
+qui est invariant sous $V_4$ mais pas sous $\got{A}_4$.
+Un tel polynôme est
+$$(X_1+X_2)(X_3+X_4).$$
+\begin{rmr} Ce polynôme n'est pas un générateur de $k(X_1,X_2,X_3,X_4)^{\got{A_4}}$ ;
+cela est dû à l'existence d'un groupe non contenu dans $\got{A}_4$,
+$V_4\leq D_4\leq \got{S}_4$, ici $D_4=V_4\cup \{(12),(34),(1324),(1432)\}$,
+laissant invariant cette expression.
+\end{rmr}
+
+Soient
+$$
+\begin{array}{l}
+\theta_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4)\\
+\theta_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4)\\
+\theta_3=(x_1+x_4)(x_2+x_3)
+\end{array}
+$$
+les évaluations en $\sous{x}$ des trois orbites de $(X_1+X_2)(X_3+X_4)$ sous
+l'action de $\got{A}_4$. Un calcul (cf. par exemple \cite{Algebra@VdW} donne
+$$
+(\Theta-\theta_1)(\Theta-\theta_2)(\Theta-\theta_3)=\Theta^3-2p\Theta^2+(p^2-4r)\Theta+q^2.
+$$
+Que $\sqrt{D}$ n'apparaisse pas dans les coefficients, résulte du fait que les $\theta_i$
+forment aussi une orbite sous l'action de $\got{S}_4$ tout entier (cf. remarque).
+D'après la section précédente, on sait résoudre cette équation.
+On cherche maintenant une expression $\ZZ/2$-invariante mais non $V_4$ invariante, pour
+un $\ZZ/2\leq V_4$. Le polynôme $X_1+X_2$ en est un, pour le groupe
+$\{(12)(34),1\}\leq V_4$.
+Comme
+$$
+(Y-(x_1+x_2))(Y-(x_3+x_4))=Y^2-(x_1+x_2+x_3+x_4)Y+(x_1+x_2)(x_3+x_4),
+$$
+on a $x_1+x_2=\sqrt{-\theta_1}$ (cf. $\sigma_1=0$), pour un choix d'une telle racine, et
+$x_3+x_4$ est son opposé $-\sqrt{-\theta_1}$.
+De même façon, pour les deux autres choix de groupes cycliques d'ordre $2$ dans $V_4$,
+on a
+$$
+\begin{array}{l}
+x_1+x_3=\sqrt{-\theta_2}\\
+x_1+x_4=\sqrt{-\theta_3}
+\end{array}
+$$
+Le choix des racines carrées doit être fait de telle sorte que le produit
+$$\prod_{i=1}^3 \sqrt{-\theta_i}=(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)\sr{\text{calcul}}{=}
+-q.$$
+Enfin, comme $2x_1=(x_1+x_2)+(x_1+x_3)+(x_1+x_4)=\sum_{i=1}^3 \sqrt{-\theta_i}$,
+on obtient $x_1$.
+
+\section{Extension cyclotomiques}
+
+Dans cette section, nous supposons choisie une fois pour toute une clôture
+séparable $\sur{\QQ}$ de $\QQ$.
+
+\subsection{Rappels}
+Nous renvoyons le lecteur par exemple à \cite{Algebre@Bourbaki}, \cite{Algebre@Lang}.
+pour les détails.
+Sur $\ZZ$, le polynôme $X^n-1$ se factorise en
+$$X^n-1=\prod_{d|n}\Phi_d(X),$$
+où
+$$
+\Phi_d(X)=\prod_{\begin{array}{l} \zeta^d=1 \\ \text{primitive} \end{array}} (X-\zeta)\in \ZZ[X],
+$$
+de degré la valeur en $d$, notée $\varphi(d)$, de l'indicatrice d'Euler.
+
+\begin{thm}[K.F. Gau\ss]
+Les polynômes $\Phi_d$ sont irréductibles.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+La démonstration procède par réduction modulo $p$, alors que les polynômes
+$\Phi_{d,\FF_p}=\Phi_{d} \mod p$ ne sont pas en général irréductibles.
+Cf. \emph{op. cit.}.
+\end{proof}
+% À FAIRE !?
+\begin{crl}
+Soit $n\geq 1$ un entier.
+L'extension $\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ}))/\QQ$ est galoisienne,
+et le morphisme
+$$
+\begin{array}{l}
+\Aut(\mu_n(\sur{\QQ}))\ra \ga(\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ}))/\QQ)\\
+s \mapsto \sigma=\big(\zeta\mapsto s(\zeta)\big)
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme. En particulier, $$[\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ})):\QQ]=\varphi(n).$$
+\end{crl}
+
+On réécrit souvent cet isomorphisme sous la forme, moins canonique mais peut-être
+plus parlante :
+
+$$
+\begin{array}{l}
+(\ZZ/n)^{\times}\iso \ga(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\\
+(a \mod n) \mapsto \sigma_a=\big(\zeta_n \mapsto \zeta_n^a\big),
+\end{array}
+$$
+où $\zeta_n$ est une racine primitive $n$-ième quelconque de l'unité.
+
+Voyons quelques applications de ce fait.
+
+\begin{crl}[3,5,17,257,65537,?]
+Soient $n\geq 1$ un entier et $\zeta_n$ une racine primitive $n$-ième
+de l'unité. Alors, $[\QQ(\zeta_n):\QQ]\in 2^{\NN}$
+si et seulement si $n$ est une puissance de $2$ multipliée par un produit de
+nombres premiers de Fermat distincts.
+\end{crl}
+
+La condition que le degré de l'extension soit une puissance de $2$ signifie
+exactement que $\zeta_n$ est \emph{constructible (à la règle et) au compas}
+(cf. \emph{loc. cit.} et \cite{Lecons@Lebesgue}). Pour les constructions
+avec 折紙 (origami), cf. \cite{Galois@Cox}.
+
+
+Rappelons qu'un nombre premier de Fermat est un nombre premier de la forme
+$2^{r}+1$ ($r$ est alors nécessairement une puissance de $2$).
+
+Au début du \textsc{xxi}-ième siècle, seuls les nombres de Fermat premiers connus
+du grand public sont ceux indiqués plus haut.
+
+\begin{crl}
+Tout groupe fini abélien est isomorphe au groupe de Galois d'une extension
+de $\QQ$.
+\end{crl}
+
+On conjecture même que \emph{tout groupe fini est groupe de galois sur $\QQ$}
+(cf. \cite{Topics@Serre}).
+
+\begin{proof}
+Nous aurons besoin du lemme suivant :
+\begin{lmm2}
+Soit $n$ un entier, il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Si l'entier $r$ tend vers $+\infty$, l'entier $\Phi_n(nr)$ tend vers $+\infty$
+également ; en particulier il est $>1$ pour $r$ grand.
+Soit $p$ un diviseur d'une telle valeur. En particulier,
+$p$ divise $(nr)^n-1$. Cela entraîne que $p$ et $n$ sont premiers entre eux.
+Ainsi, pour chaque diviseur strict $d$ de $n$,
+$p$ ne divise pas $(nr)^d-1$ ; s'il en était ainsi,
+$X^n-1$, qui est divisible par $\Phi_n(X)\cdot \Phi_d(X)$ aurait
+une racine double modulo $p$, ce qui est absurde compte tenu du fait qu'il
+est séparable. Ainsi $n$ est l'ordre de $nr$ modulo $p$ et $n$ divise
+donc $p-1=\#\FF_p^{\times}$.
+En remplaçant par exemple $n$ par un multiple, on voit qu'il existe
+une infinité de tels nombre premiers.
+\end{proof}
+Ainsi, pour $n$ fixé et $p=1+an$ comme plus haut,
+$$
+(\ZZ/p)^{\times}\isononcan \ZZ/(p-1)=\ZZ/an,
+$$
+donc
+$\ZZ/n$ est un quotient de $(\ZZ/p)^{\times}\isononcan
+\ga(\QQ(\zeta_p)/\QQ)$, où $\zeta_p$ est une racine $p$-ième non triviale
+de l'unité.
+D'après la théorie de Galois, il existe donc une sous-extension $K_{n,p}$
+$$
+\xymatrix{
+\QQ(\zeta_p) \ar@{-}[dd] & \\
+& K_{n,p} \ar@{-}[lu] \ar@{-}[dl]\\
+\QQ \ar@/^1pc/[uu]^{(\ZZ/p)^{\times}} \ar@/_1pc/[ur]_{\ZZ/n}}
+$$
+
+\begin{lmm2}\label{Linéairement disjointes}
+Soient $p_1,\dots,p_r$ des nombres premiers \emph{distincts} et
+$\zeta_{p_i}$ des racines primitives de l'unité d'ordre $p_i$
+dans une clôture algébrique $\sur{\QQ}$ de $\QQ$. Alors,
+le morphisme de multiplication
+$$\QQ(\zeta_{p_1})\otimes_{\QQ}\cdots \otimes_{\QQ} \QQ(\zeta_r)\ra \QQ(\zeta_{p_1\cdots p_r})=
+\QQ(\zeta_{p_1})\QQ(\zeta_{p_2})\cdots \QQ(\zeta_r)
+$$
+est un isomorphisme.
+%On a $\QQ(\zeta_{p_i})\cap \QQ(\zeta_{p_j})=\QQ$ pour tout $i \neq j$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Le degré sur $\QQ$ de la $\QQ$-algèbre de gauche est $\prod_i \varphi(p_i)$ ;
+celui de celle de droite est $\varphi(\prod_i p_i)$. La conclusion en résulte
+par « multiplicativité » de $\varphi$.
+\end{proof}
+
+De façon générale, on fait la définition suivante (ou le lecteur pourra
+supposer $I$ fini s'il le souhaite) :
+\begin{dfn2}
+Soient $(K_i)_{i\in I}$ une famille d'extension d'un corps $k$ et
+$K$ une extension composée de $(K_i)_{i\in I}$. On dit que ces extensions
+sont \emph{linéairement disjointes} si le morphisme
+$\bigotimes_{i\in I} K_i \ra K$ est un isomorphisme.
+(Le produit tensoriel est pris sur $k$.)
+\end{dfn2}
+
+Cela revient à supposer que le produit tensoriel est intègre \cad ici un corps.
+Il résulte immédiatement de la définition que pour tout $J\subset I$,
+les $(K_j)_{j\in J}$ sont également linéairement disjoints.
+
+\begin{lmm2}
+Sous les hypothèses de la définition, pour tout $i\neq j \in I$,
+$K_i\cap K_j=k$, l'intersection étant prise dans $K$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Soit en effet $a\in K_i\cap K_j$.
+L'élément $a\otimes 1-1\otimes a$ s'envoie sur $0$ dans l'extension
+composée $K_iK_j$ ; il est donc nul
+dans $K_i\otimes_{k} K_j$.
+S'il en est ainsi, il est également nul dans $K_iK_j\otimes_{k} K_iK_j$.
+Or on a vu en \ref{descente-libre}
+que si $d(a)=a\otimes 1 - 1\otimes a=0$, $a\in k$.
+\end{proof}
+
+Soit $C=\prod_{i=1}^r \ZZ/n_i$ un groupe abélien fini. On a vu qu'il existe
+$r$ nombres premiers distincts $p_1,\dots,p_r$ et $r$ sous-extensions
+de $\QQ(\zeta_{p_i})/\QQ$, notées $K_{n_i,p_i}$, de groupes de galois $\ZZ/n_i$.
+Considérons $K$ l'extension composée des $K_{n_i,p_i}$, $1\leq i \leq r$.
+Comme les extensions $K_{n_i,p_i}$ sont également linéairement disjointes
+il résulte par applications successives de \ref{prop fonctorialité}
+que $\ga(K/\QQ)\isononcan C$. (On utilise implicitement
+le fait que $\QQ(\zeta_{p_1,\dots,p_i})$ et $\QQ(\zeta_{p_{i+1}})$ soient
+linéairement disjointes.
+\end{proof}
+
+\begin{rmr}[Kronecker-Weber]
+Réciproquement, il est vrai, et difficile à démontrer, que
+\quote{Toute extension finie abélienne de $\QQ$ est contenue dans une extension cyclotomique.}
+\end{rmr}
+
+\subsection{Démonstration explicite et élémentaire de la constructibilité de $\zeta_{3,5,17,257,65537,?}$ : sommes de Gauß et de Jacobi}
+
+Soient $p$ un nombre premier, $\zeta_p$ une racine primitive $p$-ième de l'unité et
+$\chi:\FF_{p}^{\times}\ra \CC^{\times}$ un morphisme de groupes (un « caractère
+multiplicatif de $\FF_p$ »). Par commodité, on pose $\chi(0)=0$.
+Notons $\mathbf{1}$ le caractère trivial \cad
+constant de valeur $1$. Suivant, au signe près, Gauß et Jacobi, posons :
+$$
+g(\chi):=-\sum_{x\in \FF_p}\chi(x)\zeta_p^x
+$$
+et
+$$
+J(\chi,\chi'):=-\sum_{x+y=1} \chi(x)\chi'(y).
+$$
+
+La somme des racines $p$-ièmes de l'unité étant nulle, on a
+$g(\mathbf{1})=1$. Dualement\footnote{La formule précédente
+se réécrirait $g(\mathbf{1})=0$ si l'on avait pris la convention
+que $\mathbf{1}(0)=1$.}, si $x\in \FF_{p}^{\times}$ n'est pas l'unité,
+$$
+\sum_{\chi} \chi(x)=0,
+$$
+où $\chi$ parcourt l'ensemble des caractères de $\FF_{p}^{\times}$
+\footnote{Rappelons que le groupe des caractères
+$\widehat{\FF_p^{\times}}:=\Hom(\FF_p^{\times},\CC^{\times})$ est cyclique
+d'ordre $p-1$. Plus généralement si $G$ est un groupe fini,
+$\# G = \# \widehat{G}$ et $G\iso \widehat{\widehat{G}}$ canoniquement.}
+
+\begin{lmm2}
+\begin{enumerate}
+\item Si $\chi\neq \mathbf{1}$, $g(\chi)g(\sur{\chi})=p$. En particulier,
+$|g(\chi)|=\sqrt{p}$,
+\item $g(\chi)g(\chi')=g(\chi\chi')J(\chi,\chi')$.
+\end{enumerate}
+\end{lmm2}
+
+La démonstration est laissée en exercice au lecteur
+(cf. \cite{Ireland-Rosen}). [Cf. notes cours à Hyères, à
+inclure partiellement ?.]
+
+Supposons maintenant que $p=2^n-1$ soit un nombre premier de Fermat.
+La constructibilité de $\zeta_p$ s'explique simplement : d'une part
+par construction $J(\chi,\chi')\in \ZZ[\zeta_{p-1=2^n}]$ (chaque $\chi(x)$ isolément
+est une racine $p-1$-ième de l'unité) et
+$\zeta_p$ est une combinaison linéaire à coefficient $\QQ$ en les sommes de Gauß ;
+ces dernières sont dans $\ZZ[\zeta_{p-1=2^n}]$ en vertu du lemme précédent. Voici les
+détails.
+
+\begin{lmm2}
+$$
+\zeta_{p}=-\frac{1}{p-1}\sum_{\chi\in \widehat{\FF_p^{\times}}} g(\chi).
+$$
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Calculons :
+$$
+\begin{array}{ll}
+\sum_{\chi} -g(\chi)&=\sum_{x\in \FF_p^{\times}} \zeta_p^{x}\big(\sum_{\chi}\chi(x)\big) \\
+& =\zeta_{p}(p-1)
+\end{array}
+$$
+la contribution des facteurs pour $x\neq 1$ étant nulle.
+\end{proof}
+
+Il reste donc à montrer que chaque $g(\chi)$ est constructible (\cad
+de degré sur $\QQ$ une puissance de $2$) ; comme $g(\mathbf{1})=1$,
+supposons $\chi$ non trivial et d'ordre $2^r$, $r>1$.
+Calculons :
+$$\begin{array}{ll}
+g(\chi)^{2^r}=g(\chi)\cdots g(\chi)&=\big(g(\chi)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-2}\\
+&=J(\chi,\chi)\big(g(\chi^2)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-4}\\
+&=J(\chi,\chi)J(\chi^2,\chi)\big(g(\chi^3)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-6}\\
+&= \cdots \\
+&=\big(\prod J(\chi^i,\chi)\big) g(\mathbf{1})
+\end{array}
+$$
+Finalement $g(\chi)^{2^r}$ est constructible et $g(\chi)$, qui en est
+une racine $2^r$-ième, aussi.
+
+\subsection{Réduction modulo $p$ des $\Phi_n$}
+
+\begin{prp2}
+Le polynôme $\Phi_8(X)=X^4+1$ est irréductible sur $\QQ$ mais sa réduction
+modulo $p$ notée $\Phi_{8,\FF_p}$, est réductible sur $\FF_p$
+pour chaque nombre premier $p$.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Supposons $p\geq 3$ ; $\Phi_{8,\FF_2}(X)=(X+1)^4$.
+Soit $x$ une racine de $X^4+1$ dans $\FF_p$. On a donc $x^8=1$. Comme pour $p\geq 3$,
+$8$ divise $p^2-1$, $x$ appartient à $\FF_{p^2}$ \cad $x$ est de degré $2$ sur $\FF_p$.
+\end{proof}
+
+En particulier, on remarquera que l'irréductibilité d'un polynôme à coefficients
+entiers ne se vérifie pas simplement en réduisant modulo les nombres premiers.
+Malgré tout, on montre que $X^p-X+1\in \ZZ[X]$ est irréductible, en remarquant par exemple
+que sa réduction modulo $p$ l'est dans $\FF_p[X]$.
+
+Plus précisément, on a :
+
+\begin{prp2}
+Soient $n$ un entier, $p$ un nombre premier ne divisant pas $n$ et
+$\FF_p(\zeta_n)/\FF_p$ le corps de décomposition de $\Phi_{n,p}$.
+Alors, $[\FF_p(\zeta_n):\FF_p]=f$, où $f$ est l'ordre de $p$ dans $(\ZZ/n)^{\times}$.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+En effet, $\zeta_n\in \FF_{q=p^r}$ si et seulement si $\zeta_n^{q-1}=1$.
+Cela ne se produit que si $n$ divise $q-1$ car $\zeta_n$ est exactement d'ordre
+$n$ (cf. $(p,n)=1$).
+\end{proof}
+
+Il en résulte que $\Phi_{n,\FF_p}$ est un produit de $\frac{\phi(n)}{f}$ polynômes irréductibles
+de degré $f$.
+
+Par exemple, $\Phi_{12}(X)=X^4-X^2+1$ et $\Phi_{12,\FF_5}=(X^2-2X-1)(X^2-2X-1)\in \FF_{5}[X]$ ;
+$5^2\equiv 1 \mod 12$.
+
+\begin{exo2}
+Montrer que $n$ étant donné, il existe $p$ premier à $n$
+tel que $\Phi_{n,\FF_p}$ soit irréductible si et seulement si
+$n=1,2,4,\ell^{\alpha},2\ell^{\alpha}$ pour un nombre premier $\ell$.
+On pourra utiliser le théorème de la progression arithmétique
+pour une des deux implications.\end{exo2}
+