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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-25 17:04:36 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-25 17:04:36 +0100
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--- /dev/null
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@@ -0,0 +1,745 @@
+\chapter{Réduction modulo $p$ : le théorème de Frobenius}
+
+Dans toute cette section on suppose choisies une clôture séparable $\sur{\QQ}$ de $\QQ$
+et pour chaque nombre premier $p$ une clôture séparable $\sur{\FF_p}$ de $\FF_p$
+Comme dans les chapitres précédents, un polynôme $f\in \QQ[X]$ étant
+donné, on notera $X_f$ l'ensemble de ses racines dans $\sur{\QQ}$.
+
+\section{Un résultat liminaire}
+
+Soient $X$ un ensemble fini de cardinal $d$ et $\{d_1,\dots,d_r\}$ une suite
+d'entier positifs de somme égale à $d$. Nous dirons que $\sigma\in \got{S}_X$
+est \emph{de type $d_1,\dots,d_r$} si $\sigma$ se décompose en le produit
+de $r$-cycles, d'ordres $d_1,\dots,d_r$. (En d'autres termes, l'action de $\sigma$
+sur $X$ a $r$ orbites, de cardinaux ces entiers.)
+
+Commençons par un résultat sur les corps finis :
+
+\begin{lmm}\label{cycles tautologiques}
+Soit $g=g_1\cdots g_r$ un produit de polynômes irréductibles
+distincts de $\FF_p[X]$, de degrés respectifs $d_1,\dots,d_r$.
+L'extension $\FFp(X_g)/\FFp$ est de degré $e=\mathrm{ppcm}_i\, d_i$
+et $\FR_p$, vu comme élément de $\got{S}_{X_g}$ est un élément
+de type $d_1,\dots,d_r$.
+\end{lmm}
+
+\begin{prp}\label{Dedekind} Soit $f=a_d X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme séparable de degré $d\geq 2$.
+Soit $p$ un nombre premier ne divisant pas $a_d$ et supposons que
+$$
+f\mod p = f_1\cdots f_r \in \FF_p[X],
+$$
+où les $f_i$ sont irréductibles, distincts et d'ordres respectifs $d_i$.
+Alors, il existe un élément $\sigma_p\in G_f\subset \got{S}_{X_f}$
+de type $d_1,\dots,d_r$.
+\end{prp}
+
+Remarquez que l'on ne suppose pas $f$ irréductible.
+Les hypothèses de séparabilité peuvent se résumer en $(p,\mathrm{disc}(f))=1$.
+
+\begin{dfn}
+Sous les hypothèses de la proposition, nous dirons que $f \mod p$ est \emph{
+de type $d_1,d_2,\dots,d_r$}.
+\end{dfn}
+
+\begin{exm}
+Soit $f=X^4+3X^2+7X+4\in \ZZ[X]$. On a :
+$$
+\begin{array}{lll}
+f \mod 2 & = & X(X^3+X+1) \\
+f \mod 11 & = & (X^2+5X-1)(X^2-5X-4)
+\end{array}
+$$
+Il en résulte que $f$ est séparable, et qu'il existe un $3$-cycle et un
+élément de type $2,2$ dans le groupe de Galois de $f$.
+Celui-ci agit donc transitivement sur $X_f$ ce qui est équivalent à dire
+que $f$ est irréductible.
+\end{exm}
+
+\begin{proof}
+Nous avons vu en \ref{spécialisation}, du moins si $a_d=1$,
+que $G_{f\mod p}$ est (non canoniquement)
+isomorphe à un sous-groupe de $G_{f}$ ; la conclusion résulte alors
+du lemme \ref{cycles tautologiques}\footnote{Le cas général
+en résulte en multipliant $f$ par $a_d^{d-1}$ et en posant $Y=a_d X$.}.
+Pour la commodité du lecteur,
+voici une autre démonstration (les deux premiers lemmes étant parfaitement
+identiques à ceux donnés en \emph{loc. cit.}).
+Rappelons (cf. appendice ?), que l'on note $\ZZ_{(p)}$ le localisé
+de $\ZZ$ en l'idéal maximal $(p)$. C'est un anneau principal local d'idéal maximal
+$(p)$, intégralement clos (\ref{normal}),
+que l'on identifiera au sous-anneau de $\QQ$,
+$\{\frac{a}{b} \in \QQ,\, a\in \ZZ, b\in \ZZ-(p)\}$.
+Les racines de $f$ sont entières (\ref{entier}) sur $\ZZ_{(p)}$ car
+$a_d$ est une unité de cet anneau.
+Notons $A_f=\ZZ_{(p)}[X_f]$ la sous-$\ZZ_{(p)}$-algèbre de $\sur{\QQ}$
+engendrée par les racines
+de $f$. Notons $n$ le degré de l'extension galoisienne $\QQ(X_f)/\QQ$. Les deux premiers
+lemmes sont, à la localisation en $(p)$ près, des cas particuliers de \ref{spécialisation}.
+\begin{lmm2} Il existe un morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FF_p}$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Un tel morphisme se factorise canoniquement par $A\otimes_{\ZZ}\FF_p\isononcan A_f/pA_f$ qui
+est une $\FF_p$-algèbre entière de type finie
+donc de dimension finie. Si $\MM_p$ est un idéal maximal
+de cette algèbre, son corps résiduel est donc fini et s'injecte dans $\sur{\FF_p}$.
+L'existence d'un tel idéal maximal revient à montrer que le quotient est non
+nul \cad $A_f\neq pA_f$. S'il en était ainsi, on pourrait écrire $pa=1$ pour un $a\in A_f$.
+En appliquant la norme $\mathrm{N}_{\QQ(X_f)/\QQ}$ on obtiendrait
+$p^n\cdot (\mathrm{\acute{e}l\acute{e}ment}\in \ZZ_{(p)})=1$, ce qui est absurde.
+\end{proof}
+
+\begin{lmm2}
+Tout morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FFp}$ induit par
+restriction une bijection $X_f\iso X_{f,p}$,
+où $X_{f,p}$ est l'ensemble des racines de $f\mod p$ dans $\sur{\FF_p}$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Comme $f=\prod_{\alpha\in X_f} (X-\alpha)$, $\varphi_p f=f \mod p$
+se factorise en $\prod_{\alpha\in X_f} \big(X-\varphi_p(\alpha)\big)$, qui
+doit être égal à $\prod_{\beta\in X_{f,p}}(X-\beta)$. Ainsi, $\varphi_p$ induit
+une surjection $X_f\surj X_{f,p}$ ; comme $f \mod p$ est séparable, $X_{f,p}$ a
+pour cardinal $d$ donc $\varphi_p$ induit bien une bijection.
+\end{proof}
+\begin{lmm2}Soient $\varphi'_p,\varphi_p:A_f\ra \sur{\FFp}$ deux homomorphismes.
+Il existe un unique $\sigma\in G_f$ tel que $\varphi'_p=\varphi_p\circ \sigma$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Si $\sigma\in G_f$, $\sigma:A_f\ra A_f$ induit une permutation de $X_f$ et est caractérisé
+par cette dernière. Ainsi, $\varphi_p\circ \sigma\neq \varphi_p\sigma'$ si $\sigma\neq \sigma'$.
+Il ne reste donc plus qu'à montrer que
+$$\# \Hom_{\mathrm{alg}.}(A_f,\sur{\FFp})\leq [\QQ(X_f):\QQ]=\# G_f.$$
+Pour cela, nous faisons appel au sous-lemme suivant :
+\begin{sslmm2}
+Soit $f\in \ZZ_{(p)}[X]$ un polynôme à coefficient dominant inversible.
+Alors, $\ZZ_{(p)}[X_f]$
+est un $\ZZ_{(p)}$-module libre de rang $[\QQ(X_f):\QQ]$.
+\end{sslmm2}
+On sait que $\Hom_{\ZZ-\mathrm{alg}.}(A_f,\sur{\FFp})\iso
+\Hom_{\FFp-\mathrm{alg}.}(A_f/p,\sur{\FFp})$ et que ce dernier ensemble est de cardinal
+au plus $\dim_{\FF_p}A_f/p$ d'après \ref{nbre points et degré}. Le sous-lemme dit que
+$\dim_{\FF_p}A_f/p=[\QQ(X_f):\QQ]$.
+\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
+Le $\ZZ_{(p)}$-module $\ZZ_{(p)}[X_f]$ est de type fini sur $\ZZ_{(p)}$ et
+sans torsion donc libre.
+De plus, $\ZZ_{(p)}[X_f]\otimes_{\ZZ_{(p)}} \QQ\sr{\ref{}?}{\isononcan}
+\mathrm{Frac}(\ZZ_{(p)}[X_f])=\QQ(X_f)$
+d'où l'égalité des rangs.
+%[CF. PAGE 22 DES NOTES]
+\end{proof}
+\end{proof}
+Partant d'un morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FF_p}$ (et il en existe !),
+on peut en construire un autre
+par composition avec $\FR_p:x\mapsto x^p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$. D'après le lemme
+précédent, il existe un unique $\sigma_p\in G_f$ tel que
+$\FR_p\circ \varphi_p=\varphi_p \circ \sigma_p$. En d'autres termes,
+si $\wp=\ker(\varphi_p)$, $\sigma_p(a)-a^p\in \wp$ pour tout $a\in A_f$.
+L'action de $\sigma_p$ sur $X_{f}$ correspond via $X_{f}\sr{\varphi_p}{\iso} X_{f,p}$
+au Frobenius agissant sur $X_{f,p}$. La conclusion résulte alors du lemme \ref{cycles
+tautologiques}
+\end{proof}
+
+\begin{rmr2}
+La notation $\sigma_p$ est ambiguë : elle dépend d'un choix de $\varphi_p$.
+On peut vérifier que les différentes subsitutions obtenues sont conjuguées
+dans le groupe de Galois.
+En particulier, si $G_f$ est abélien, la substitution de Frobenius est bien définie.
+Par exemple, si $f$ est le polynôme cyclotomique $\Phi_n$, $\sigma_p$, pour $(p,n)=1$,
+correspond à $p\in (\ZZ/n\ZZ)^{\times}$.
+\end{rmr2}
+
+
+%[BIZARRE : EN \ref{spécialisation} on n'utilise pas l'hypothèse sur le RANG
+%DE A ?!]
+
+\subsection{Application}
+
+\begin{thm2}[$\got{S}_n$ par réduction modulo $p$]\label{S_n-1}
+Pour tout $n\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
+de degré $n$ et de groupe de Galois le groupe symétrique $\got{S}_n$.
+\end{thm2}
+
+\begin{proof}
+Considérons trois polynômes de degré $n$ :
+$f_2\in \FF_2[X]$ le produit d'un terme linéaire et d'une polynôme irréductible,
+$f_3\in \FF_3[X]$ le produit d'un facteur irréductible de degré $2$ et de facteurs
+irréductibles de degrés impairs et enfin $f_5\in \FF_5[X]$ irréductible.
+L'existence de tels polynômes résulte de \ref{Zêta A^1}. Considérons des relèvements
+unitaires arbitraires $g_2,g_3,g_5$ de ces polynômes à $\ZZ[X]$ et posons
+$$f:=15g_2+10g_3+6g_5\in \ZZ[X] ;$$
+pour $p\in \{2,3,5\}$, $f \mod p = f_p$.
+D'après la proposition précédente (\ref{Dedekind}), le groupe de Galois de $f$
+contient donc un $(n-1)$-cycle, un $n$-cycle et le produit d'une transposition
+par des cycles d'ordres impairs. Un tel groupe est nécessairement le groupe
+symétrique entier (cf. lemme ci-dessous).
+\end{proof}
+
+\begin{lmm2}
+Soient $n\geq 2$ un entier et $G\leq \got{S}_n$ contenant un $(n-1)$-cycle,
+un $n$-cycle et le produit d'une transposition par des cycles d'ordres impairs.
+Alors, $G=\got{S}_n$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Quitte à élever l'élément du troisième type à une puissance impaire, et
+renuméroter, on peut supposer que $G$ contient $(12)$. En conjuguant $(12)$ par
+le $n$-cycle, on peut obtenir une transposition dont un des deux éléments
+est fixe par le $(n-1)$-cycle. Quitte à renuméroter, on peut donc supposer que
+$G$ contient $(12)$ et $(234\cdots n)$. Il en résulte que $G$ contient
+$(1i)$ pour tout $i\in [2,n]$ et finalement, $G=\got{S}_n$.
+\end{proof}
+
+[La remarque ci-dessous devrait être un énoncé, avec
+démonstration ; cité en la première page du chapitre
+deux.]
+
+\begin{rmr2}
+Le lecteur prouvera dans l'exercice \cite{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13,
+que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois
+$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles
+$[-N,N]$ avec $N\ra +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
+Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité.
+\end{rmr2}
+
+\subsection{Polynômes irréductibles sur $\FF_p[X]$}
+
+\subsubsection{Fonction Zêta de $\FF_p[X]$}\label{Zêta A^1}
+Commençons par la formulation élémentaire.
+Soient $q$ une puissance d'un nombre premier $p$, et $\FF_q$ un corps fini
+à $q$ éléments. C'est un corps de décomposition sur $\FF_p$ du
+polynôme $X^{q}-X$. Comme il en est également ainsi pour toute puissance
+de $q$, on a, pour tout $n\in \NN$ :
+$$
+X^{q^n}-X=\prod_{\begin{array}{l} P \ \text{irr\'ed.unit.}\in \FF_q[X]\\
+\deg\ \text{divisant}\ n \end{array}} P.
+$$
+La formule d'inversion de Möbius nous dit que le nombre de polynômes
+irréductibles sur $\FF_q$ de degré $d$ est :
+$$
+N(q^d):=\frac{1}{d}\sum_{d'|d} \mu(d')q^{\frac{d}{d'}}.
+$$
+Il en résulte que
+$$
+N(q^d)>\frac{q^d}{d}(\frac{q-2}{q-1})
+$$
+En particulier, il existe des polynômes irréductibles de tous degrés sur $\FF_q$.
+Plus précisément,
+
+Soit $$\zeta_{\FF_q[X]}(t)=\prod_{d\geq 1}\big(\frac{1}{1-t^d}\big)^{N(q^d)}=\prod_P
+\frac{1}{1-t^{\deg(P)}}\in 1+t\ZZ\[t\]$$
+la fonction zêta de $\FF_p[X]$.
+
+\begin{lmm2}
+$$\zeta_{\FF_q[X]}(t)=\frac{1}{1-qt}.$$
+\end{lmm2}
+
+Cela résulte de la proposition bien plus générale suivante :
+
+\begin{prp2}
+Soit $A$ une $\FF_q$-algèbre de type fini.
+\begin{enumerate}
+\item Pour tout idéal \emph{maximal} $\wp\in \SP(A)$, l'extension
+résiduelle $(A/\wp) / \FF_q$ est \emph{finie} ; on note son degré $\deg(\wp)$.
+\item On a l'égalité :
+$$
+\zeta_A(t):=\prod_{\wp\in \SP\mathrm{max}.(A)} \frac{1}{1-t^{\deg(\wp)}}=
+\exp\big(\sum_{n\geq 1} \#\Hom_{\FF_q}(A,\FF_{q^n})\frac{t^n}{n}\big).
+$$
+\end{enumerate}
+\end{prp2}
+
+Pour toute extension $\FF$ de $\FF_q$, l'ensemble $\Hom_{\FF_q}(A,\FF)$
+est souvent noté $A(\FF)$ et est appelé l'ensemble des points de $A$ à valeurs
+dans $\FF$. En effet, si $A=\FF_q[X_1,\dots,X_N]/(f_1,\dots,f_e)$,
+$$\begin{array}{l}
+\Hom_{\FF_q}(A,\FF)\ra \FF^N\\
+\varphi \mapsto \big(\varphi(X_1),\dots,\varphi(X_N)\big)
+\end{array}
+$$
+induit une bijection entre $\Hom_{\FF_q}(A,\FF)$ et le sous-ensemble
+de $\FF^N$ constitué des $N$-uplets solutions des équations
+$f_1=\cdots=f_e=0$.
+
+\begin{proof}
+Le premier point est un cas particulier du \emph{Nullstellensatz} de Hilbert \ref{Nullstellen}.
+Pour démontrer le second, on calcule :
+$$-t\frac{d\log}{dt}\zeta_A(t)=
+\sum_{d\geq 1} \Big(N(d)d t^d\sum_{r\geq 0} t^{dr}\Big)=\sum_{n\geq 1}
+\big(\sum_{d|n} N(d) d\big) t^n,$$
+où $N(d)$ est le nombre (fini) d'idéaux maximaux de degré $d$ de $A$.
+D'autre part,
+$$
+-t\frac{d\log}{dt}\exp\big(\sum_{n\geq 1} \#A(\FF_{q^n})\frac{t^n}{n}\big)=
+\sum_{n\geq 1} \#A(\FF_{q^n})t^n.
+$$
+L'égalité des deux séries formelles résulte alors
+de l'égalité
+$$
+ \#A(\FF_{q^n})=\sum_{d|n} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.(A), \deg(\wp)=d\}\cdot d,
+$$
+dont la vérification est laissée en exercice au lecteur.
+\end{proof}
+
+\begin{rmr2}
+Plus généralement, un théorème de B.~Dwork (\osn{1959}) et A.~Grothendieck (\osn{1963})
+affirme que la fonction zêta de toute $\FF_{q}$-algèbre de type finie
+est une fonction rationnelle. A.~Grothendieck a également démontré qu'elle
+vérifie une équation fonctionnelle et P.~Deligne (\emph{circa} \osn{1974}) a étudié
+les zéros et les pôles de ces fonctions (« hypothèse de Riemann sur les corps finis »).
+\end{rmr2}
+
+\subsubsection{« Algorithme » de Berlerkamp}\label{Berlerkamp}
+
+\begin{propsansnum}
+Soient $f\in \FF_p[X]$ un polynôme séparable de degré $d$
+et $A=\FF_p[X]/f$.
+Alors, $f$ est irréductible si et seulement si l'application
+$\FR_p-\mathbf{1}:A\ra A$, $x\mapsto x^p-x$, est de rang $d-1$.
+\end{propsansnum}
+
+Plus généralement, la dimension du noyau donne exactement le nombre
+de facteurs irréductibles.
+
+\begin{proof}
+En effet, $A$ est un produit de corps correspondants aux facteurs
+irréductibles de $f$. Chacun de ces corps contient $\FF_p$ sur lequel
+le morphisme de Frobenius agit trivialement. Ainsi, il n'y a qu'un corps
+si et seulement si son noyau est de dimension $1$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Irréductibilité générique}
+
+Nous allons montrer que la plupart des polynômes unitaires irréductibles de degré fixé
+sont irréductibles.
+
+Fixons un entier $d\geq 1$.
+Soient $p_1,\dots,p_r$, $r$ nombres premiers distincts.
+Posons
+$$\delta_i:=\frac{\#\{\text{polynômes irréductibles unitaires de degré }
+d \text{ sur } \FF_{p_i}\}}{p_i^d}.$$
+Il résulte du théorème de Bézout que la proportion
+de polynômes $f=X^d+a_1X^{d-1}+\cdots+a_d\in \ZZ[X]$ satisfaisant
+$0\leq a_i<p_1\cdots p_r$ et \emph{réductibles} modulo $p_1,\dots,p_r$
+est :
+$$
+(1-\delta_1)\cdots (1-\delta_r).
+$$
+Si $p_i\geq 3$, $\frac{p_i-2}{p_i-1}\geq \frac{1}{2}$ donc $\delta_i\geq \frac{1}{2d}$ ;
+il en résulte que la proportion de polynômes unitaires réductibles modulo $p_1,\dots,p_r$
+et à coefficients strictement inférieurs à $p_1\cdots p_r$ est
+au plus $(1-\frac{1}{2d})^r$. On en déduit aisément la proposition suivante :
+
+\begin{prp2}
+$$\frac{\#\{\text{polynômes unitaires de degré } d \text{ de } \ZZ[X],
+\text{ à coefficients dans } [0,N]\} } {N^d} \sr{N\ra +\infty}{\ra} 1.$$
+\end{prp2}
+
+
+\section{Le théorème de Frobenius : énoncés et quelques applications}
+
+\begin{thm}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
+Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
+Soit $G_f=\ga(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
+Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
+une partition de $d$.
+Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
+$$
+\sum_{\begin{array}{l} p\ \textrm{tel que}\,f \mod p\\ \textrm{soit de type}\ \lambda \end{array}}
+p^{-s} = \frac{g_\lambda}{g}\log(\frac{1}{s-1})+\mathsf{O}(1),
+$$
+où $g_f=\# G_f$ et $g_{\lambda}$ est le nombre d'élément de $G_f$ de type $\lambda$.
+\end{thm}
+
+Bien que nous n'en ferons que fort peu usage, voici une définition
+naturelle :
+
+\begin{dfn}
+Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
+$\delta$ si
+$$
+\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\sr{s\ra 1+}{\longrightarrow} \delta.
+$$
+\end{dfn}
+
+On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
+que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
+\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s\ra 1+$.
+Cela sera démontré plus loin \ref{} [À rédiger dans
+l'appendice ?].
+
+\begin{crl}
+Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
+Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas
+de racine dans $\FFp$.
+\end{crl}
+
+On peut également montrer que cet ensemble a une densité $\geq \frac{1}{d}$,
+cf. \cite{Jordan@Serre}.
+
+\begin{proof}
+Le polynôme $f$ a une racine dans $\FFp$ si et seulement si,
+la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{\FFp}$ a un point
+fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
+sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
+La formule
+$$
+\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\
+\textrm{par transitivit\'e}
+$$
+entraîne que $\#\mathrm{Fix}(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet,
+la contribution égale à $d\geq 2$ de l'identité jointe à ces inégalités larges
+entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)>1$.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
+Le polynôme $f \mod p$ se décompose totalement pour une infinité de nombre premiers $p$,
+de densité $\frac{1}{\# G_f}$.
+\end{crl}
+
+Pour un énoncé plus concret, voici :
+
+\begin{crl}
+Soit $a\in \ZZ$ un nombre entier qui est un carré modulo $p$ pour tout $p$.
+Alors, $a$ est un carré.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+Si $X^2-a$ était irréductible (\cad $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
+pas un carré pour une infinité de $p$.
+\end{proof}
+
+Avant d'aborder la démonstration, voici quelques exemples.
+
+\begin{exms}
+\begin{enumerate}
+\item $f=X^2+1$. $f$ a une racine modulo $p$ si et seulement si $p\equiv 1\mod 4$.
+D'après le théorème c'est le cas pour « la moitié » des nombres premiers.
+(C'est un cas particulier du théorème de Dirichlet.)
+\item $f_d=X^d-1$. Son discriminant est $(-1)^{\binom{d}{2}}d^d$.
+Voici le type de décomposition de $f_{12}$ modulo $p$, pour $(p,12)=1$.
+On note $a^b$ pour signifier qu'il y a $b$ facteurs irréductibles
+de degré $a$.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
+\hline
+$p\mod 12$ & type de d\'ecomposition \\
+\hline
+$1$ & $1^{12}$\\
+\hline
+$5$ & $1^4\cdot 2^4$\\
+\hline
+$7$ & $1^6\cdot 2^3$\\
+\hline
+$11$ & $1^2\cdot 2^5$\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+On obtient cette table en écrivant $f_{12}=\prod_{d|12} \Phi_d$ ; on sait
+que si $o$ est l'ordre de $p$ dans $\ZZ/d^{\times}$,
+chaque $\Phi_d$ modulo $p$ est le produit de $\varphi(d)/o$ polynômes irréductibles
+sur $\FF_p$ de degré $o$.
+
+De même, pour $d=10$, la décomposition de $f_{10}=X^{10}-1$ est :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
+\hline
+$p\mod 11$ & type de d\'ecomposition \\
+\hline
+$1$ & $1^{10}$\\
+\hline
+$3$ ou $7$ & $1^2\cdot 4^2$\\
+\hline
+$9$ & $1^2\cdot 2^4$\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+En particulier, on remarque que le type de décomposition de $f_d$ modulo $p$ ne permet pas
+toujours de retrouver la classe de $p$ modulo $d$. C'est pour cette raison que
+le théorème de Frobenius ci-dessus n'entraîne pas le théorème
+de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique.
+\end{enumerate}
+\end{exms}
+
+\begin{rmr}
+Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
+de \v Cebotarev. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
+de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
+plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
+%[DÉTAILLER]
+\end{rmr}
+
+\section{Démonstration du théorème de Frobenius}
+
+\begin{prp}\label{point clé Frob}
+Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$,
+comptés avec multiplicités.
+Alors,
+$$
+\sum_p n_p(F)p^{-s}\sr{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
+\ \QQ[X] \big)
+\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1).
+$$
+\end{prp}
+Ce que l'on résume en :
+\begin{quote}
+« le nombre moyen de racines est égal au nombre de facteurs irréductibles ».
+\end{quote}
+
+%[MULTIPLICITÉ(S)?] (orthographe)
+
+\begin{proof}
+Les racines étant comptées avec multiplicités, les termes de gauche et de droite
+sont additifs vis-à-vis d'une décomposition de $F$ en produit. On peut donc
+supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et changer
+de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers,
+on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$.
+Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$.
+L'application $\SP(A_F)\ra \SP(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un
+idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est
+au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise
+$\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.
+
+
+Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
+$A_F\surj \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
+soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
+car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
+Ainsi,
+$$
+Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
+N(\wp)=p\}p^{-s},
+$$
+où $N\wp:=\# A_F/\wp$.
+Cette série est convergente pour $s>1$ : comme
+$n_p(F)\leq d$, elle est majorée par $d\zeta_{\ZZ}(s)$, où
+$\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$.
+De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$,
+on a
+$$
+Z_F(s)=\sum_{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
+$$
+En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur
+de $d\zeta(2s)$.
+En particulier,
+le produit
+$$
+\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \SP(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
+\prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big)
+$$
+est également convergeant pour $s>1$
+%\footnote{On rappelle
+%que si $a_i\in \RR_{+}-\{1\}$, $i\in \NN$, le produit $\prod_{i\geq 0} \frac{1}{1-a_i}$
+%converge vers un nombre réel non nul si
+%la série $\sum a_i$ est convergeante.}
+%DONNER RÉFÉRENCE !!! Watson ?
+et l'on a :
+$$
+\log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
+$$
+Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
+c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
+L'inclusion $A_F\ra \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
+Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près,
+$\zeta_{A_F}$ coïncide
+avec $\zeta_{\OO_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
+En particulier,
+$$
+\log \zeta_{\OO_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
+$$
+La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind
+ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
+\end{proof}
+
+La démonstration procède en plusieurs étapes ; partant du polynôme $f$ qui nous
+intéresse, on construit de nombreux polynômes intermédiaires $F$ auxquels
+on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des groupes.
+
+\begin{lmm}\label{Frob_1}
+Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
+$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
+\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \got{S}_d$,
+il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
+suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
+\item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
+ s' S$.
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Le premier point n'est mis que pour mémoire : d'après le théorème de l'élément
+primitif, il existe $\Psi_S$ tel que $\QQ(X_1,\dots,X_d)^{S}=
+\QQ(\sigma_1,\dots,\sigma_d)(\Psi_S)$.
+Cherchons $\Psi_S$ de la forme :
+$$
+\Psi_S(X_1,\dots,X_d)=\prod_{s\in S}(u_0+u_1X_{s(1)}+\cdots+u_d X_{s(d)}),
+$$
+où les variables $u_i$ seront choisies plus tard dans $\ZZ$.
+Un tel polynôme est bien $S$-invariant.
+Le second point entraîne donc le second.
+\begin{sslmm2}
+Si $sS\neq s'S$, le polynôme $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$,
+vu comme élément de $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$, est non nul.
+\end{sslmm2}
+\begin{proof}
+L'anneau $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$ est factoriel et le
+polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles.
+L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait
+$u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d
+\alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes,
+cela force l'égalité $s=s'\sigma$ \cad $sS=s'S$.
+\end{proof}
+Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls
+pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$,
+tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
+\end{proof}
+
+\subsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
+$$
+f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
+$$
+C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
+défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant
+les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche).
+Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$
+leurs discriminants respectifs.
+Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
+divisant $\Delta\Delta_S$.
+
+Soit $p\notin \Sigma_S$ ; $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$
+sont donc à racines simples dans $\sur{\FFp}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]\ra \sur{\FFp}$
+et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$
+les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
+racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
+les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
+Le morphisme de Frobenius $\FR_p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$ agit sur les racines de
+ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à
+une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
+dans $\FFp$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\FR_p$, ce que l'on réécrit :
+$$
+\begin{array}{ll}
+(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in \FFp &\Longleftrightarrow
+\FR_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
+& \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\
+& \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S
+\end{array}
+$$
+On en tire :
+$$
+N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
+$$
+Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
+de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
+que $f_S$ n'est pas séparable si $S\neq \{1\}$ et
+que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.
+
+Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
+de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans
+$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
+se réécrit :
+$$
+(\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
+$$
+
+\subsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
+Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme :
+$$
+\xymatrix{
+\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
+& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
+\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
+}
+$$
+En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si
+il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
+est
+$$
+c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
+$$
+%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte :
+%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
+%de corps.
+Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de
+$\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
+des racines de $f_S$ :
+$\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
+pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
+pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$.
+Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
+En vertu de la formule précédente,
+les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
+sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
+\frac{g_f}{g_{e,S}}$.
+Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
+Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité,
+on obtient :
+$$
+\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
+$$
+où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
+En regroupant par type :
+$$
+\sum_{\lambda}
+\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
+\textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
+$$
+où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
+les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
+ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
+et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.
+
+Les égalités précédentes se combinent pour donner :
+$$
+(\star\star)\ m_S=\frac{d!}{g_f}\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}.
+$$
+
+On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») :
+$$
+\begin{array}{ll}
+\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \sr{(\star)}{=}
+\sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda}
+\big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\
+\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \sr{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=}
+\frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big)
+\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1),
+\end{array}
+$$
+où $\sum_p p_{\lambda}^{-s}$ est la somme sur les $p$ tel que $f\mod p$ soit
+de type $\lambda$.
+Posons :
+$$
+\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
+$$
+On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
+quand $s\ra 1+$.
+Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
+$$
+(\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1).
+$$
+
+\subsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
+variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
+Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ :
+$$
+\lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient
+l'inégalité opposée}.
+$$
+Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
+maximal le type d'un $d$-cycle.
+Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s \rangle$
+le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
+de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
+l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
+$$
+\frac{s_\lambda}{d!_\lambda}R_{\lambda}+\sum_{\lambda'<\lambda}(\textrm{idem})=\mathsf{O}_S(1).
+$$
+Ainsi, grâce à l'hypothèse de récurrence, $R_{\lambda}$ est une combinaison linéaire
+de fonctions bornées au voisinage de $1+$. Il ne reste plus qu'à remarquer
+que, pour $\lambda_0$ le type de l'identité, $R_{\lambda_0}=\mathsf{O}_{e}(1)$ ; la récurrence
+est donc amorcée.
+Cela achève la démonstration de \ref{thm Frobenius}, modulo la démonstration
+du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en 1 de Dedekind}.